故至少存在一个I∈9,使得Ⅰ与I1,…,lk都不相交(为什么?).令 λ=Sup{:I∈9,I∩l=②,l=1…k} 既然9中的每个区间都包含于G中,故Ak≤m(G)<+∞,在9中选取一个区间l+1 使得 lkn=o 继续这个过程我们就得到9中的一列互不相交的区间{4},使得对每个k≥1满足(1) 由于U1cG,因此有 ∑||≤m(G)<+ 于是存在一个n使得∑<令A=E-U1若能证明m()<E,则引理就得 k=n+1 证设x∈A由于U是闭集并且xU,故存在一个区间∈9使得/包含x并 且与l12…,J都不相交.若进一步Ⅰ与{k}kn中的每个区间都不相交,则对任意k>n 均有≤k<2/k+由(2)知道当k→∞时→0,于是7=0.但这是不可能的 因此必与{k}kn中的某个区间相交.令k0=min{k:I∩lk≠}.则k>n并且 川41<2|记L的中心为x,半径为,由于x∈并且∩1≠②,故x 与x的距离 5+2524+2=214 于是x∈J=[x6-5,x+5]对每个k∈{1kkm,令J是与有相同的中心 且长度为的5倍的区间,则由上面所证知道Ac∪J,因此 <E. k=n+1 设∫在x0∈R的某一邻域内有定义的实值函数令 143143 故至少存在一个 I ∈ G, 使得 I 与 k I , ,I 1 L 都不相交(为什么?). 令 sup{ I : I , I I , i 1, , k}. λk = ∈G ∩ i = ∅ = L 既然G 中的每个区间 I 都包含于G 中, 故 ≤ m(G) < +∞. λk 在G 中选取一个区间 k+1 I 使得 , 2 1 k 1 k I + > λ , 1, , . 1 I I i k k+ ∩ i = ∅ = L (1) 继续这个过程, 我们就得到G 中的一列互不相交的区间{ }, k I 使得对每个 k ≥ 1满足(1). 由于 , 1 I G k k ⊂ ∞ = U 因此有 ( ) . 1 ∑ ≤ < +∞ ∞ = I m G k k (2) 于是存在一个 n 使得 . 5 1 ε ∑ < ∞ k=n+ k I 令 . 1 U n k k A E I = = − 若能证明 ( ) < ε , ∗ m A 则引理就得 证. 设 x ∈ A. 由于U n k k I =1 是闭集并且 , 1 U n k k x I = ∉ 故存在一个区间 I ∈ G 使得 I 包含 x 并 且与 n I , ,I 1 L 都不相交. 若进一步 I 与 k k n I > { } 中的每个区间都不相交, 则对任意 k > n 均有 2 . ≤ k < k+1 I λ I 由(2)知道当 k → ∞ 时 → 0, k I 于是 I = 0. 但这是不可能的. 因此 I 必与 k k n I > { } 中的某个区间相交. 令 min{ : }. k0 = k I ∩ I k ≠ ∅ 则 k > n 0 并且 2 . 0 1 0 k k I ≤ < I λ − 记 0 k I 的中心为 , 0 k x 半径为 . 0 k r 由于 x ∈ I 并且 , I ∩ I k0 ≠ ∅ 故 x 与 0 k x 的距离 . 2 5 2 1 2 2 1 ( , ) 0 0 0 0 0 k k k k k d x x ≤ I + I ≤ I + I = I 于是 [ 5 , 5 ]. 0 0 o 0 o k k k k k x ∈ J = x − r x + r 对每个 { } , k k k n I I ∈ > 令 k J 是与 k I 有相同的中心 且长度为 k I 的 5 倍的区间, 则由上面所证知道 . 1 U ∞ = + ⊂ k n k A J 因此 ∑ ∑ ∞ = + ∞ = + ∗ ≤ = < 1 1 ( ) 5 . k n k k n k m A J I ε 设 f 在 x0 ∈ 1 R 的某一邻域内有定义的实值函数. 令