则A=UA,往证每个A是有限集。设x…,x∈A,不妨设x1<x1 i=1,…,k-1.在[a,b中取5,512…,5k使得5。=a x<51<x+1(=1,k-1).由于f是单调增加的,因此成立 f(-1)≤∫(x1-0)≤f(x1+0)≤f(51),i=1,…,k 因此我们有 (f(x+0)-f(x2-0)≤∑((5)-f(5)=f(b)-f(a) 故必有k≤m(f(b)-f(a).即A,是有限集.由此知道A是可数集■ 推论2设∫是定义在区间[a,b]上的单调函数,则∫在[a,b上是 Riemann可积的, 因而也是 Lebesgue可积的 证明由定理1,∫的不连续点的全体至多是一可数集,因而是 Lebesgue零测度集 由§44定理2知道∫在[a,b]上是 Riemann可积的,因而也是 Lebesgue可积的 下面我们讨论单调函数的可导性.为此需要先作一些准备 定义3设E是R的子集,S={n}是一族区间(l可以是开的,闭的或半开半闭的 但不能退化为单点集)若对任意E>0和x∈E,存在ln∈9,使得x∈L并且|< 则称9为E的一个Vita覆盖 引理4(Vtai覆盖定理)设EcR,其 Lebesgue外测度m(E)<+∞,9是E的一 个al覆盖.则对任意E>0,存在有限个互不相交的区间l1,…,ln∈9,使得 (E-U1)< 证明由于对任意l12…,n∈9,1,…,ln的端点的全体是一个L零测度集,故不 妨设G中的每个区间都是闭区间.由于m(E)<+∞,由§2.3定理5容易知道,存在开 集G彐E使得m(G)<+∞.又不妨设9中的每个区间均包含在G中,否则用 9={:l∈骈併且cG}代替只.若存在9中的有限个区间1,…,ln使得EcU1, 则m(E-U1)=0.此时定理的结论当然成立。现在设对任意1,…,n∈9 E∪在G中任取一个区间记为1,假定1,…已经选取由于E-U1≠②,142 则 . 1 U ∞ = = n A An 往证每个 An 是有限集 . 设 , , , 1 k An x L x ∈ 不妨设 , i < i+1 x x i = 1,L, k −1. 在 [a,b] 中 取 ξ ξ ξ k , , , 0 1 L 使 得 , 0 ξ = a b, ξ k = ( 1,, 1). xi < ξ i < xi+1 i = k − 由于 f 是单调增加的, 因此成立 ( ) ( 0) ( 0) ( ), 1, , . 1 f f x f x f i k ξ i− ≤ i − ≤ i + ≤ ξ i = L 因此我们有 ( ( 0) ( 0)) ( ( ) ( )) ( ) ( ). 1 1 1 f x f x f f f b f a n k k i i i k i ≤ ∑ i + − i − ≤ ∑ − = − = − = ξ ξ 故必有 k ≤ n( f (b) − f (a)). 即 An 是有限集. 由此知道 A 是可数集. 推论 2 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调函数, 则 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的, 因而也是 Lebesgue 可积的. 证明 由定理 1, f 的不连续点的全体至多是一可数集, 因而是 Lebesgue 零测度集. 由 4.4 定理 2 知道 f 在[a,b]上是 Riemann 可积的, 因而也是 Lebesgue 可积的. 下面我们讨论单调函数的可导性. 为此需要先作一些准备. 定义3 设 E 是 1 R 的子集, { }α G = I 是一族区间( α I 可以是开的, 闭的或半开半闭的, 但不能退化为单点集). 若对任意ε > 0和 x ∈ E, 存在 Iα ∈ G , 使得 α x ∈ I 并且 ε, Iα < 则称G 为 E 的一个 Vitali 覆盖. 引理 4 (Vitali 覆盖定理)设 E ⊂ , 1 R 其 Lebesgue 外测度 ( ) < +∞, ∗ m E G 是 E 的一 个 Vitali 覆盖. 则对任意ε > 0, 存在有限个互不相交的区间 I1 ,L,I n ∈G, 使得 ( ) . 1 − < ε = ∗ U n i i m E I 证明 由于对任意 I1 ,L,I n ∈G, n I , ,I 1 L 的端点的全体是一个 L 零测度集, 故不 妨设G 中的每个区间都是闭区间. 由于 ( ) < +∞, ∗ m E 由 2.3 定理 5 容易知道, 存在开 集 G ⊃ E 使 得 m(G) < +∞. 又不妨设 G 中的每个区间均包含在 G 中 , 否则用 { : } G1 = I I ∈G并且I ⊂ G 代替G. 若存在G 中的有限个区间 n I , ,I 1 L 使得 , 1 U n i i E I = ⊂ 则 ( ) 0. 1 − = = ∗ U n i i m E I 此时定理的结论当然成立 . 现在设对任意 I1 ,L,I n ∈G, . 1 U n i i E I = ⊄ 在G 中任取一个区间记为 . 1 I 假定 k I , ,I 1 L 已经选取. 由于 , 1 − ≠ ∅ = U k i i E I