定理1()= 证明1°对于每个a=(a,a2…)∈P,定义 f(x)=∑axn,Vx=(x)∈ f是上的线性泛函,并且 1(x)∑|sp>!=p 从而/ supla|=l 2反之,若fe(),取=10…01 n≥1,易知 en∈l.令an=∫(en),首先 a/ le=f.若令a=(a,a2…) 则a∈P"并且|L= supla, s任取x=(x)∈P,设x=∑xe 则 →)∞ 由∫的连续性 f(x)=lim/(ro)=lim 2x/(e)=2a, ns 这说明式(4)是7上线性泛函的一般形式 3°令T:()→P,m=a.由1,T是到上的线性映射r与 2-起说明L=l=/,v(P).从而T是一一映射,()与3 定理 1 ( ) 1 l l ∗ ∞ = . 证明 1° 对于每个 ( ) 1 2 a aa l , , ∞ = ∈ " ，定义 ( ) 1 n n n f x ax ∞ = = ∑ ， ( ) 1 n ∀x = ∈ x l . ( ) 4 f 是 1 l 上的线性泛函，并且 ( ) 1 1 1 sup nn n n n n n f x ax a x ∞ ∞ = = ≥ ≤ ≤ ∑ ∑ 1 sup . n n a x ≥ = 从而 sup n n f a a ∞ ≤ = . 2° 反之，若 ( ) 1 f l ∗ ∈ ， 取 0, ,0,1,0, n n e   =       " " ， n ≥1，易知 1 n e l ∈ ． 令 a fe n n = ( ) ，首先 n n a fe f ≤ = ．若令 a = (a a 1 2 , ,") ， 则 a l ∞ ∈ 并且 sup n n a af ∞ = ≤ . 任取 ( ) 1 i x = x l ∈ ，设 ( ) 1 n n i i i x x e = = ∑ ， 则 ( ) ( ) 1 0 . n i i n xx x n ∞ = + − = → →∞ ∑ 由 f 的连续性 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim lim , n n i i nn n n i n f x f x xf e ax ∞ →∞ →∞ = = == = ∑ ∑ 这说明式 ( ) 4 是 1 l 上线性泛函的一般形式. 3° 令 ( ) 1 Tl l : ∗ → ∞ ，Tf = α ．由 1°，T 是到上的线性映射. 1 D 与 2D 一起说明 Tf a f ∞ ∞ = = ， ( ) 1 f l ∗ ∀ ∈ .从而 T 是一一映射，( ) 1 l ∗ 与