r等距同构,即()=° 类似地可以证明()=F(1<p<∞,p-+q=1),此外用类似的 方法还可以证明c=l,cn=l 根据Hahn- Banach定理(见本节开头提到的式子),我们有 up∑anx 这里a=(an)∈P 定理2[=[a1(<p<∞p2+q-=) 证明1°对于每个a()∈I"[ab],定义 (x)=x(a(n dt, Va( ELp [a, b] ∫是LP[a6]上的线性泛函,由 Holder不等式, 故f≤|l‖ 2°若v∈L[a6,令x=x为[小的特征函数,并且记 f(x)=g(x).对于[a]中的任一组区间[a,b], a≤a1<b1≤…≤an<bn≤b, 记E=(g(b)-g(a)g()-g(a)(当g(b)-g(a)=0时 E,=0),则4 l ∞ 等距同构，即 ( ) 1 l l ∗ ∞ = . 类似地可以证明 ( ) ( ) 1 1 1, 1 p q l l p pq ∗ − − = ＜ ＜∞ += ，此外用类似的 方法还可以证明 1 c l ∗ = , 1 0 c l ∗ = . 根据 Hahn－Banach 定理(见本节开头提到的式子)，我们有 1 1 sup q p n n a n x a x ∞ ≤ = = ∑ ， ( ) p n ∀x = ∈ x l （5） 这里 ( ) q n aa l = ∈ . 定理 2 [ ] [ ]( ) * 1 1 , ,1 , 1 p q L ab L ab p p q − − = ∞ += ＜ ＜ . 证明 1°对于每个 ( ) [ , ] q a t L ab ∈ ，定义 ( ) () () b a f x x t a t dt = ∫ ， ( ) [ , ] p ∀ ∈ a t L ab . ( ) 6 f 是 [ , ] p L ab 上的线性泛函，由 Holder 不等式， ( ) () () b p q a f x x t a t dt x a = ≤ ∫ , 故 q f ≤ a . 2° 若 [ , ] p f L ab ∗ ∀ ∈ ，令 t [ ] a t, χ = χ 为 [a t, ] 的特征函数，并且记 f (χt ) = g x( ) . 对于 [ ] a b, 中的任一组区间 [a bi i , ], 1 1 n n aa b a b b ≤ ≤≤ ≤ ＜ ＜ " ， 记 ( ) () () () () 1 i i ii i ε gb ga gb ga − =− − （ 当 ( ) ( ) 0 i i gb ga − = 时 0 i ε = ），则