< d x (t<1) F(t)= dx dx≤ ≤)ek,由此即知积分 sIn 在t∈(-∞,1)上内闭一致收敛,从而F(t)= dx关于t在(0,1)连续 o Sinx 10、设f(x)∈CI0,+∞),Jf(x)d绝对收敛,则 f(xx=0im」f(xmpx)=0 证明:因∫(x)收敛,所以存在4>0,当A≥时 f(x) sin px)dsf(x)dx<E。对任意p>0,以二为步长等分[0,41得 了nxmh=xm=几5)mp)h k=1x-1 ∑/(4)inpx)hk=∑() esin'xdx=∑()x=g/(5) (其中a=「 sinxdx,△x4=x-x1=x) 令p→+∞(必有n→>+∞)得到 f( x)(sin px)x→f(x)t,于是有 J(x)sin px)d-a[f(x)dx<f(x)(sin px)(f(x)dx+ +厅了 )(sin px)-了rx<3(只要p充分大 4 即imnJ((sin px)'dx=“∫f(x),因此命题成立。( 1) 2 2 1 0 0 0 1 2 ( 1) sin sin sin 2 1 k t t t t t t k dx dx dx dx t x x x x t        + − = =  =  −     ， ( 1) 0 0 0 0 0 ( ) sin sin sin 1 x x k k k t t t k k k k e e dx F t dx dx e e x x x t       + − − + + + + − − = = = = =   −       ，由此即知积分 在 t  − ( ,1) 上内闭一致收敛，从而 0 ( ) (0 ,1) sin x t e F t dx t x + − =  关于 在 连续。 10、 设 0 f x C f x dx ( ) [0 , ) , ( ) +  +  绝对收敛，则 ： 4 0 0 ( ) 0 lim ( )(sin ) 0 p f x dx f x px dx + + →+ =  =   。 证明：因 0 0 0 f x dx A A A ( ) 0, +    收敛，所以存在 当 时 4 ( )(sin ) ( ) A A f x px dx f x dx  + +     。对任意 p  0 ，以 p  为步长等分 0 [0 , ] A 得 0 1 1 4 4 4 0 1 1 ( )(sin ) ( )(sin ) ( ) (sin ) k k k k A x x n n k k k x x f x px dx f x px dx f px dx  − − = =    = =   ( ) k k x p  = = 4 1 0 ( ) (sin ) p n k k f px dx   =   = 4 1 1 1 0 1 ( ) sin ( ) ( ) n n n k k k k k k k a a f x dx f f x p p      = = =      = =  4 1 0 ( sin , ) k k k a x dx x x x p   其中 = = − =  − 。 令 p n → + → + ( ) 必有 得到 0 0 4 0 0 ( )(sin ) ( ) A A a f x px dx f x dx    → ，于是有 0 0 4 4 0 0 0 0 ( )(sin ) ( ) ( )(sin ) ( ) A A a a f x px dx f x dx f x px dx f x dx   + + −  − +     + 0 0 4 ( )(sin ) ( ) 3 ( A A a f x px dx f x dx p   + + −    只要 充分大） 即 4 0 0 lim ( )(sin ) ( ) p a f x px dx f x dx  + + →+ =   ，因此命题成立