积分发散。 7、讨论 女y+x)在的敛散性 解:利用 Taylor公式:ln(1+1)=1--+(2),(1+1)2=1+1+() [n(1+-)2=[ +()=[1-+()2 (+()+(= √x4x为 +(3),故当x→+∞时 (x)-4,,因此原积分收敛 8、讨论积分 x sinx dx(q≥0)的敛散性 解:记I 1+12 0≤f(x)= x1+x9-X=xy故P>-2时1收敛,p≤-2时发散 sInxx 考察12:注意到x,→1,所以分q-p>1和q-p≤1两种情形来讨论 ①q-p>1:f(x)≤,→12绝对收敛 ②0<q-p≤1:由 Dilichlet判别法知l2收敛,并且是条件收敛 ③q-p≤0:f(x)=xsx x+1,P-q≥0,q≥0,可知l2发散。 综上得到:原积分当p>-2且q-P>1时绝对收敛;p>-2且0<q-P≤1时条件收 敛:p≤-2或q-p≤0时发散。 、研究F()= dx关于t∈(0,1)的连续性 sinx 解:只须证明上述积分在t∈(-∞,1)上内闭一致收敛积分发散。 7、 讨论 1 1 1 ( ln(1 ) ) dx x x + − +  的敛散性。 解：利用 Taylor 公式 ： 2 1 2 2 1 ln(1 ) ( ) , (1 ) 1 ( ) 2 2 t + t = − + + = + t t t t + t , 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 [ln(1 )] [ ( )] [1 ( )] x x x x 2x x x 2 + = − + = − + = 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 [1 ( ( )) ( )] ( ) 1 1 2 2 4 x x x x x x x + − + + = − + ，故当 x → + 时 3 2 1 1 ( ) 4 f x x  ，因此原积分收敛。 8、 讨论积分 0 sin ( 0) 1 p q x x dx q x +  +  的敛散性。 解：记 1 1 2 0 1 I I I + = + = +   。 1 0 1 (1 ) 1 1 sin 1 0 ( ) , 2 2 1 p x p q p x x f x x p I p I x x x + → + − +  =  =  −  − + 故 时 收敛， 时 发散。 考察 2 I ：注意到 1 1 1 1 p x q p q x x q p q p x →+ −  → −  −  + ，所以分 和 两种情形来讨论。 ① 1 : ( ) 1 p q x q p f x x −    + 2 I 绝对收敛 。 ② 0 1:  −  q p 由 Dilichlet 判别法知 2 I 收敛，并且是条件收敛。 ③ sin 0 : ( ) , 0 , 0 1 p q q x x q p f x p q q x − − −  = −   + ，可知 2 I 发散。 综上得到：原积分当 p q p p q p  − −   −  −  2 1 2 0 1 且 时绝对收敛； 且 时 条件收 敛； p q p  − −  2 0 或 时发散。 9、 研究 0 ( ) (0 ,1) sin x t e F t dx t x + − =   关于 的连续性。 解：只须证明上述积分在 t  − ( ,1) 上内闭一致收敛