当α>0时收敛,仅当a<0时收敛,从而原积分不收敛。 k=-1时,将cosx在点0处展成 Taylor公式,可知1-cosx与x2同阶。于是1仅 当a<0时收敛,I2仅当a>0时收敛,故原积分不收敛 (3)|k>1,记O=arco 则 cost~l 饣,sinθ≠0。fx)的可能瑕点为 0,x,O。取a、b使0<a<日<b<,I=∫+「+∫+∫=1+2+1+14。在 点O处将cosx展开成or公式:cosx=-+(x-0)imO+(x-0),于是 (1+ k cos x)=x- O)sin 8+(x-b)与(x-b)同阶。因此,当且仅当a<1时I2,I 收敛;又仅当α<0时l1,4收敛,所以当且仅当0<α<1时原积分收敛。 5、设f(x)>0且单调减少,试证:「f(x)x与「f(x)sin2xd同敛散。 证:(1)设!mf(x)=0.注意到∫f(x)sin2xdr=jf(x)dtx-「f(x)cos2xdr, 2 由Dih判别法知右边第二个积分收敛,因此∫f(xx与∫f(xim2xd同敛散 (2、limf(x)=A>0(包括+∞),此时「f(x)x发散,且存在M>0,当x≥M时 ∫(如70。取使>M,则当k≥k时 (k+1)x (k+1)丌 ∫f(x)sin2xax/sin2xh可70叫hy准则,「f(x)sin2x也发 散 6、设P>0,讨论∫一5x女的敛散性。 x(x”+sinx) 解:当P>时,由比较判别法即知积分收敛 dx 当P≤时, 发散,由上题知 SIn x dx发散,再由比较法知原 x"(x"+1)当   0 时收敛， 2 I 仅当   0 时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将 cos x 在点 0 处展成 Taylor 公式，可知 1－cos x 与 2 x 同阶。于是 1 I 仅 当   0 时收敛， 2 I 仅当   0 时收敛，故原积分不收敛。 ⑶ 1 1 k 1, arccos( ) , cos , sin 0 k k  = − = −  记 则    。 f(x) 的 可能 瑕 点 为 0, ， 。 1 2 3 4 0 0 , a b a b a b a b I I I I I        = + + + = + + +   取 、 使  。在 点  处将 cos x 展开成 Taylor 公式： 1 cos ( )sin ( ) x x x k = − + − + −    ，于是 (1 cos ) [( )sin ( )] k x x x   + = − + −    与 ( ) x  − 同阶。因此，当且仅当  1 时 2 3 I I, 收敛；又仅当   0 时 1 I ， 4 I 收敛，所以当且仅当 0 1    时原积分收敛。 5、 设 2 ( ) 0 ( ) ( )sin a f x f x dx f x x dx  +    + a 且单调减少，试证： 与 同敛散。 证：⑴ 设 2 1 1 lim ( ) 0 . ( )sin ( ) ( )cos 2 x 2 2 a a a f x f x xdx f x dx f x xdx + + + →+ = = − 注意到    ， 由 Dilichlet 判别法知右边第二个积分收敛，因此 2 ( ) ( )sin a f x dx f x x dx  +   + a 与 同敛散。 ⑵、lim ( ) 0 ( ) , ( ) 0 x a f x A f x dx M + →+ =  +   包括 此时 发散，且存在  ，当 x M 时 ( ) 0 2 A f x r  =  。 取 0 0 0 k k M k k 使 则当 时    , 1) ( 1) 2 2 ( )sin sin 0 2 k k k k r f x x dx r x dx      + +  =    （ ，由 Cauchy 准则， 2 ( )sin a f x x dx +  也发 散。 6、 设 2 2 sin 0 , ( sin ) p p x p dx x x x +  + 讨论  的敛散性。 解：当 1 2 p  时，由比较判别法即知积分收敛。 当 1 2 p  时， 2 ( 1) p p dx x x + +  发散，由上题知 2 2 sin ( 1) p p x dx x x + +  发散，再由比较法知原