§2广义积分的收敛性 主要知识点:广义积分及其敛散性概念 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法 一般函数广义积分收敛性的Abel、 Dilichlet判别法; 广义积分与级数的关系。 、讨论积分 dx的敛散性。 n(1+x) 解:x→+时“分子”~1,“分母” 2、证明积分 dx 收敛。 。1+xsin2x 解:取a40,则1=∑+∫+∑v,其中0≤n=∫≤26 (k+1)z-5k+1(k+1)x-5k 1+(kz)sm·取6B,则∑收敛 M(x-4+1-) 又055 ≤,,可见∑v也收敛 3、证明积分 收敛。 0(I+x(- x 解:注意到(sinx)3=[sin(x-n 故=∑∫=∑n,由于 0≤S-2 d,故∑un收敛 sIn x 4、讨论积分 dx的敛散性 1+kcos 解:(1)-1<k<1时fx)只可能以0,x为瑕点,且当x→∞时分别与 同阶,故当a>0时积分收敛。 (2)k=±1时,f(x)的可能瑕点仍是0,r。I= k=1时,将cosx在点丌处展成 Taylor公式,可知1+cosx与(x-r)2同阶。于是l1仅§2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的 Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分 1 1 2 1 ( 1) [ln(1 )] x e dx x   + − − +  的敛散性。 解： 2 1 1 x , x x → +时“分子” “分母”   。 2、 证明积分 4 2 0 1 sin dx x x + +  收敛 。 1 0 0 , 0 2 k k k k k k k k k I v v v         − + −  = + +  =     解：取 则 ，其中   ， 1 1 ( 1) ( 1) 4 2 1 1 1 ( ) sin k k k k k k k k k k v k           + − + − + + + + +  =  +   。 4 3 1 , k k v k 取 则 收敛；  =  1 1 4 4 3 3 ( ) 0 , k k k k M M v v k k    − − + 又 可见 也收敛。       3、 证明积分 1 2 2 3 0 (1 )(sin ) dx x x + +  收敛 。 解：注意到 ( 1) 2 2 3 3 (sin ) [sin( )] , n n n x x n I u    + = − = = 故    ，由于 2 2 2 2 3 0 2 1 0 , 1 sin n n u dx u n x     +  故 收敛 。  4、 讨论积分 1 0 sin 1 cos x dx k x    − +  的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1 时 f(x)只可能以 0, 为瑕点，且当 x → 时分别与 1 1 1 1 , x x ( )    − − − 同阶，故当   0 时积分收敛。 ⑵ k = ±1 时，f(x)的可能瑕点仍是 0, 。 1 1 2 0 1 I I I  = + = +   k = 1 时，将 cos x 在点  处展成 Taylor 公式，可知 1 cos + x 与 2 ( ) x − 同阶。于是 1 I 仅