例3.1.2证明limx2=4。 证对任意给定的ε>0,要找δ>0,使得当0<x-2kδ时,成立 4 <E 因为|x2-4|=x-2x+2,保留因子|x-21,而将因子 x+2放大,为此加上条件 2<1,即1<x<3, 于是x+2<5,从而有 4<5x-2 取6=min12},则当0<x-2<6时,成立 X+2< E 所以 lim x=4 x→2例3.1.2 证明 2 2 lim 4 x x → = 。 证 对任意给定的ε > 0，要找δ > 0 ，使得当0 | 2| < x − < δ 时，成立 ｜ 2 x − 4 ｜< ε 。 因为｜ 2 x − 4 ｜= xx +⋅− 22 ， 保留因子｜ x − 2 ｜，而将因子 ｜ x + 2 ｜放大，为此加上条件 x − 2 1 < ， 即1 3 < x < ， 于是 x + 2 5 < ，从而有 2 x x − 45 2 < − 。 取δ = min ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ 5,1 ε ，则当0 2 < x − < δ 时，成立 ｜ 2 x − 4 ｜= xx +⋅− 22 5 5 ε <⋅ = ε ， 所以 2 2 lim 4 x x → =