而三式相加得an+bn+Cn=am-1+bn-1+G-1=…=a+b+c. g=an+bn+cn)+（an-十an-n可知iman=&十6+( C.同理， 3 ibn litp ca=lim an =c n→+ n→+ 3 推广1.设a,b是给定的两个正数，且a>b>0.令ao=a,bo=b,数列{an},{bn}满 足a=-1十b=,n=Var-a-,neN.证明：lim on=lm bn 2 n→+cd 推广2.设a,b是给定的两个正数，且a>b>0.令ao-a,b-b,数列{an},{bn}满足 an 2a-b,bn=Vabn-,ner.i证明idn=.当a1=23,b=3 an-1 +on-1 n→+o0 时，证明：lim an=lim on=. 3.设数列{xn}收敛，对n∈N,令n=n(xn-xn-i).证明：若数列{yn}收敛，则 lim yn=0. 提示.运用Stolz定理， 证明.设lim Zn=A,lim in=B.由Stoz定理知A=lim nn=lim(ncn一 n-+oo n-0 n→+onn→+∞ (n-1)xn-)=A+B.所以B=0,即lim=0. ◆ n→十c 4.设数列{an},{bn}N*,且满足a=b1=1,an+1+V30n+1=(an+V3bn)尸，n∈N*.证 明：数列 收敛，并求出其极限值， an 提示.由{an},{bn}CN知 an+1=a2+3b on+1 2anbn 令Gn= 两式作商得c+1=2c+。后续过程同教材习题1.2.18(3) Cn 5.设数列{an}满足a1>0,an+1=an+一，n∈N.证明：lim an=1,并进一步证 an n→+oV2n 明：，lin（am-V2m)=0. 提示.对a1>0,an+1=am十 两边平方，先证明an”+巴+0，然后用Stol业定理 an 1 +>听+2.所 证明.数归可得an>0.对a+1=a+两边平方，得2+1=2+2+ 以a2>a2-1+2>a2-2+4>…>a听+2(m-1)”++00.因此ann++0.由 Stolz定理知lim ah一lim a+1-a4=im(1+22)=1.所以1imn=1 n→+oo2nn→+o2 n→+ooV2m 2而三式相加得 an + bn + cn = an−1 + bn−1 + cn−1 = · · · = a + b + c. 由 an = (an + bn + cn) + (an − bn) + (an − cn) 3 可知 lim n→+∞ an = a + b + c 3 . 同理, lim n→+∞ bn = lim n→+∞ cn = lim n→+∞ an = a + b + c 3 . 推广 1. 设 a, b 是给定的两个正数, 且 a > b > 0. 令 a0 = a, b0 = b, 数列 {an},{bn} 满 足 an = an−1 + bn−1 2 , bn = p an−1bn−1, n ∈ N ∗ . 证明: lim n→+∞ an = lim n→+∞ bn. 推广 2. 设 a, b 是给定的两个正数, 且 a > b > 0. 令 a0 = a, b0 = b, 数列 {an},{bn} 满足 an = 2an−1bn−1 an−1 + bn−1 , bn = p anbn−1, n ∈ N ∗ . 证明: lim n→+∞ an = lim n→+∞ bn. 当 a1 = 2√ 3, b1 = 3 时, 证明: lim n→+∞ an = lim n→+∞ bn = π. 3. 设数列 {xn} 收敛, 对 ∀n ∈ N ∗ , 令 yn = n(xn − xn−1). 证明: 若数列 {yn} 收敛, 则 lim n→+∞ yn = 0. 提示. 运用 Stolz 定理. 证明. 设 lim n→+∞ xn = A, lim n→+∞ xn = B. 由 Stolz 定理知 A = lim n→+∞ nxn n = lim n→+∞ (nxn − (n − 1)xn−1) = A + B. 所以 B = 0, 即 lim n→+∞ yn = 0. 4. 设数列 {an} , {bn} ⊆ N ∗ , 且满足 a1 = b1 = 1, an+1 + √ 3bn+1 = (an + √ 3bn) 2 , n ∈ N ∗ . 证 明: 数列  bn an  收敛, 并求出其极限值. 提示. 由 {an} , {bn} ⊆ N ∗ 知    an+1 = a 2 n + 3b 2 n bn+1 = 2anbn . 令 cn = an bn , 两式作商得 cn+1 = 1 2 (cn + 3 cn ). 后续过程同教材习题 1.2.18(3) 5. 设数列 {an} 满足 a1 > 0, an+1 = an + 1 an , n ∈ N. 证明: lim n→+∞ an √ 2n = 1, 并进一步证 明: lim n→+∞ (an − √ 2n) = 0. 提示. 对 a1 > 0, an+1 = an + 1 an 两边平方, 先证明 an n→+∞ −−−−→ +∞，然后用 Stolz 定理. 证明. 数归可得 an > 0. 对 an+1 = an+ 1 an 两边平方, 得 a 2 n+1 = a 2 n+2+ 1 a 2 n > a2 n+2. 所 以 a 2 n > a2 n−1 + 2 > a2 n−2 + 4 > · · · > a2 1 + 2(n − 1) n→+∞ −−−−→ +∞. 因此 an n→+∞ −−−−→ +∞. 由 Stolz 定理知 lim n→+∞ a 2 n 2n = lim n→+∞ a 2 n+1 − a 2 n 2 = lim n→+∞ (1 + 1 2a 2 n ) = 1. 所以 lim n→+∞ an √ 2n = 1. 2