数列极限与函数极限补充习题（解答） 宗语轩1 数列极限： 1.对h∈心及a>1,设，=1+云+元++石证明数列a}收敛 提示.类比证明α=1时该数列发散的方法证明a>1时该数列收敛 证明.易知，{an}是严格递增数列.而 =1++)+（哈++）++(@++》 2k-1 ≤1+ 2a+ (2k-1)a 1+ 21 2a-1 2a-1 1-（） 1 1-207 2a-1 2a-1-1 故数列{an}有一子列{a2m-}是有上界的.又因为{an}是递增数列，由此得到{an} 有上界，从而数列{an}收敛。 2.设a,b,c是给定的三个实数，令ao=a,bo=b,co=c,数列{an},{bn},{cn}满足 an=b-1+9n- on= an-1+Cn-1 neN.证明：lna=lim bo=limG=a+b+c 7●0 3 Gn= an-1千bn-1 2 提示.由条件知an+bn+G=an-1+bn-1+9n-1及a-bn=(-1)na-1二bn-l 证明.两式作差得lan-bn= |an-2-bm-2 ==2 n→+90. 22 因此，(an-bn)=0.同理，nl钟（6-c）=0,n(an-G）=0 1就读于中国科学技术大学2019级数学科学学院概率统计系.讲义如有错误欢迎联系我：zyx240014@mai1. ustc.edu.cn.我的个人主页：http:/home.ustc.edu.cn/-zyx240014/index.html 1数列极限与函数极限补充习题 (解答) 宗语轩1 数列极限: 1. 对 ∀n ∈ N ∗ 及 α > 1, 设 an = 1 + 1 2 α + 1 3 α + · · · + 1 nα . 证明: 数列 {an} 收敛. 提示. 类比证明 α = 1 时该数列发散的方法证明 α > 1 时该数列收敛. 证明. 易知,{an} 是严格递增数列. 而 a2 k−1 = 1 + ( 1 2 α + 1 3 α ) + ( 1 4 α + · · · + 1 7 α ) + · · · + ( 1 (2k−1 ) α + · · · + 1 (2k − 1)α ) ⩽ 1 + 2 2 α + 4 4 α + · · · + 2 k−1 (2k−1 ) α = 1 + 1 2 α−1 + ( 1 2 α−1 ) 2 + · · · + ( 1 2 α−1 ) k−1 = 1 − ( 1 2 α−1 ) k 1 − 1 2 α−1 < 2 α−1 2 α−1 − 1 故数列 {an} 有一子列 {a2n−1} 是有上界的. 又因为 {an} 是递增数列, 由此得到 {an} 有上界, 从而数列 {an} 收敛. 2.  设 a, b, c 是给定的三个实数, 令 a0 = a, b0 = b, c0 = c, 数列 {an},{bn},{cn} 满足   an = bn−1 + cn−1 2 , bn = an−1 + cn−1 2 , cn = an−1 + bn−1 2 , n ∈ N ∗ . 证明: lim n→+∞ an = lim n→+∞ bn = lim n→+∞ cn = a + b + c 3 . 提示. 由条件知 an + bn + cn = an−1 + bn−1 + cn−1 及 an − bn = (−1)n an−1 − bn−1 2 . 证明. 两式作差得 |an − bn| =     an−1 − bn−1 2     =     an−2 − bn−2 2 2     = · · · =     a − b 2 n     n→+∞ −−−−→ 0. 因此 lim n→+∞ (an − bn) = 0. 同理, lim n→+∞ (bn − cn) = 0, lim n→+∞ (an − cn) = 0. 1就读于中国科学技术大学 2019 级数学科学学院概率统计系. 讲义如有错误欢迎联系我:zyx240014@mail. ustc.edu.cn. 我的个人主页:http://home.ustc.edu.cn/~zyx240014/index.html 1