w=e将0<lm(z)<π保形映照为上半平面Imn(x)>0;而把x<Im()<2z保形映照为下半 面Im()<0 在带形区域B中取直线Re(=)=x0,那么w=w=e= e"(cos y+ IsIn)(0<y<2)表示w 平面上的以0为圆心,e为半径的一个圆,除去u轴上的一点e.即函数w=e把直线 Re()=x在B上的一段映照成平面上除去u轴上的一点e的圆|we.特别地,当 x=0时,w=e将虚轴Re(=)=0在B上的一段映照成w平面上的单位圆|v=1,除去点 1,从而w=e把半带形域0<Im(z)<2π,-<Re(=)<0保形映照为单位圆w=1的内部 除去正实轴:而把半带形区域0<Im()<2丌,0<Re()<+映照成单位圆|w=1的外部,除 去正实轴 用同样的方法可知,函数w=e把任何带形区域Ba:a<lm(z)<a+2z保形映照成除去0 及射线argw=a的w平面,其中a是任意实数;特别,它确定从带形Bn(n=0,1,2,…)到w 平面除去0及正实轴的保形映照 由以上分析不难看出:映照w=e的特点是将扩充z平面上带形区域 0<lm()<h(0<h≤2x)映照成扩充w平面的角形区域0<argw<h 例6.9求将带形区域0<Im(z)<丌保形映照为单位圆vk<l的映照 解指数函数w=e将带形区域0<lm()<π保形映照为上半平面Im(w)>0 又由例6.4,函数=aa把上半平面lm()>0映照成单位圆lwkl.其中w0为一虚部大 于零的复数,6为任一实数于是所求映照为"=cms-e (为任意实 例6.10求把区域D1=k2且|z-i1,保形映照为上半平面Im(w)>0的映照 解显然D的边界为相切于z=2的圆C1|=2和C2|-i=1.由于C1与C2在z=2处相切 (即在z=2i处的夹角为0),则映照 将C1和C2映照为两平行直线1,I2(因为z=2时w=∞)又显然此映照将虚轴映照为虚轴 而C1,C2都和虚轴正交,由映照的保角性知直线r和I2也必与虚轴正交,即n,I2为与 实轴平行的直线,又当=2时,1+i:当z=0时,w=.于是为:mn)1r,为 把区域D映照成带形区域 B: - Im() 再作映照 4x(w--),z w e = 将0 I < < m( )z π 保形映照为上半平面 ；而把 Im( ) 0 z > π < Im( ) 2 z < π 保形映照为下半平 面 Im( ) 0 w < . 在带形区域 中取直线 B Re( )z x = 0 ，那么 w= 0 0 (cos sin ) x iy x we e yi y + == + (0 2 ) < < y π 表示 平面上的以 O 为圆心， 为半径的一个圆，除去 轴上的一点 .即函数 w 0x e u 0x e z w e = 把直线 Re( )z x = 0 在 上的一段映照成 平面上除去 B w u 轴上的一点 的圆 0x e 0 | | x w e = .特别地，当 x0 = 0 时， z w e = 将虚轴 在 上的一段映照成 平面上的单位圆| | ，除去点 ，从而 Re( ) 0 z = B w w =1 w =1 z w e = 把半带形域0 Im( ) 2 < < z π ，−∞< < Re( ) 0 z 保形映照为单位圆| | 的内部， 除去正实轴；而把半带形区域 w =1 0 Im( ) 2 < < z π ，0 R< e( )z < +∞ 映照成单位圆| | 的外部，除 去正实轴. w =1 用同样的方法可知，函数 z w e = 把任何带形区域 B z : Im( ) 2 α α < < + α π 保形映照成除去0 及射线argw =α 的 平面，其中 w α 是任意实数；特别，它确定从带形 到 平面除去 0 及正实轴的保形映照. 2 ( 0,1,2, B n nπ = L) w 由以上分析不难看出：映照 z w e = 的特点是将扩充 平面上带形区域 z 0 Im( ) (0 2 ) < < <≤ zh h π 映照成扩充 平面的角形区域 w 0 arg < w h < . 例 6.9 求将带形区域0 I < < m( )z π 保形映照为单位圆| | w <1的映照. 解 指数函数 z w e = 将带形区域0 I < < m( )z π 保形映照为上半平面 Im( ) 0 w > . 又由例 6.4，函数 0 0 i w e θ ω ω ω ω − = − 把上半平面 映照成单位圆 Im( ) 0 w > | | w <1.其中 为一虚部大 于零的复数， w0 θ 为任一实数.于是所求映照为 0 0 z z i z z e e w e e e θ − = − (θ 为任意实数). 例 6.10 求把区域 D z :| | 2 < 且| z i − >| 1，保形映照为上半平面 的映照. i Im( ) 0 w > 解 显然 D 的边界为相切于 的圆 z = 2 1 C z :| | 2 = 和 2 C zi :| | 1 − = .由于 与 在 处相切 (即在 处的夹角为 0)，则映照 C1 C2 z = 2i z = 2i 1 2 w z i = − 将 和 映照为两平行直线 ， C1 C2 Γ1 Γ2 (因为 z = 2i 时 w = ∞ )又显然此映照将虚轴映照为虚轴， 而 ， 都和虚轴正交，由映照的保角性知直线 C1 C2 Γ1和Γ2也必与虚轴正交，即 ， 为与 实轴平行的直线，又当 Γ1 Γ2 z = 2 时， 1 4 i w + = ；当 z = 0 时， 2 i w = .于是Γ1为： 1 Im( ) 4 w = ， 为Γ2 1 Im( ) 2 w = .因此 1 2 w z i = − 把区域 D 映照成带形区域 1 1 : Im( ) 4 2 B w < < ， 再作映照 4( ) 4 i ζ π = − w