由条件agf()=,得O=,e"=1,故所求分式线性函数为 例68求将上半平面lm()>0保形映照为圆|w-wok<R的分式线性函数w=f(),并使 解观察线性函数 显然,此映照将圆|w-1kR映照成单位圆|vk1,又由函数(6.7),分式线性函数 把上半平面Im(z)>0映照为单位圆|vk1,且当z=i时,w=0.于是函数 把上半平面Im(z)>0映照成圆|w-0kR,且把z=i映照为w=Wo 又=Re 2纽 Re1,则由条件r(o)>0得 Re"1=3 从而有-x=0,日=五,e"=1,故所求线性函数为 l=n+i三- 6.4指数函数与幂函数所确定的映照 6.4.1指数函数w=e所确定的映照 因为w=e在复平面内处处解析,且w'=ε≠0,所以指数函数w=ε所确定的映照是保形映 由于w=e以2ri为周期,所以我们只须讨论当z在由0<lm(x)<2x所定义的带形域B 中变化时,函数w=e的映照性质.设w的实部及虚部分别为u及v 设在带形区域B中,z从左向右描出一条直线L:Im(x)=y0(如图6.4(a)),则w=e 于是|=e2从0(不包括0)增大到+∞,而argw=y保持不变所以,w描出一条射线 L1:argw=y(不包括0,如图6.4(b).这样,L和L上的点一一对应 让υ从0(不含0)递增到2π(不含2π),那么直线L扫过带形区域B,而相应的射线L按 反时针方向从w平面的正实轴(不包括正实轴)变到正实轴(不包括正实轴).故指数函数 w=e确定了从带形区域B:0<lm()<2到w平面除去原点和正实轴的保形映照.明显地由条件 ' arg ( ) 2 2 i f π = ，得 2 π θ = ， i e θ = i ，故所求分式线性函数为 2 1 2 iz w iz + = + . 例 6.8 求将上半平面 保形映照为圆 Im( ) 0 z > 0 | | ww R − < 的分式线性函数 ，并使 w fz = ( ) 0 f ( )i w= ， . ' f i() 0 > 解 观察线性函数. 0 w R ω −ω = ， 显然，此映照将圆 映照成单位圆| | 0 | | ww R − < w <1，又由函数(6.7)，分式线性函数 i z i w e z i θ − = + 把上半平面 映照为单位圆 Im( ) 0 z > | | w <1，且当 z i = 时， w = 0 .于是函数 0 i z i e R z ω ω− θ i − = + ， 即 0 Rei z i w w z i θ − = + + 把上半平面 映照成圆 ，且把 Im( ) 0 z > 0 | | ww R − < z i = 映照为 w w= 0 . 又 ( )2 2 Re d i i dz z i ω θ = + ； 1 Re 2 i z i d dz i ω θ = = ，则由条件 f i ′() 0 > 得 1 2 Re 0 2 2 i i R e i π θ θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = > ， 从而有 0 2 π θ − = ， 2 π θ = ， ，故所求线性函数为 i e θ = i 0 z i w w iR z i − = + + . 6.4 指数函数与幂函数所确定的映照 6.4.1 指数函数 z w e = 所确定的映照 因为 z w e = 在复平面内处处解析，且 0 z w e ′ = ≠ ，所以指数函数 z w e = 所确定的映照是保形映 照. 由于 z w e = 以 2πi 为周期，所以我们只须讨论当 z 在由0 Im( ) 2 < z < π 所定义的带形域 中变化时，函数 B z w e = 的映照性质.设 w 的实部及虚部分别为u 及v . 设在带形区域 中， B z 从左向右描出一条直线 0 L z : Im( ) = y (如图 6.4(a))，则 0 x iy w e + = ， 于是| | x w e = 从 0 (不包括 0)增大到+∞，而 0 argw y = 保持不变.所以， 描出一条射线 (不包括 0，如图 6.4(b)).这样， w 1 L w : arg = 0 y L 和 L1上的点一一对应. 让 从 0 (不含 0)递增到 2 0 y π (不含 2π )，那么直线 L 扫过带形区域 ，而相应的射线 按 反时针方向从 平面的正实轴(不包括正实轴)变到正实轴(不包括正实轴).故指数函数 B L1 w z w e = 确定了从带形区域 B z : 0 Im( ) 2 < < π 到 w 平面除去原点和正实轴的保形映照.明显地