微分是很妙的东西,因此你可以把积分号丢掉,就说我们拿dx,dy造一个外 代数,对这个外代数有个外微分,外微分很简单,就是假使微分各项的条候, 其实是对每项系数微分,结作我得到一个多项式,这个多项式的次数高 个.作地函数就变地一次微分式了,所以次数高一个,因此就作地原来是k次 的话,得到一个k+1次的微分式.这个是格林定理中如何把曲线微分的微分 式变地区域微分式,一重微分变地二重微分的公式这个就很好了,因地这 里面有一个外代数,所以把这个微分式乘起来,用一个外乘法,微分的乘法 是念对称.然后呢,现在我有一个微分,它把k次的外微分式变地k+1次的 外微分式,这样子就把这个外微分式中间给了一个新的结构,可以微分,这 个微分跟普通的微分不一样,它是把k次变地k+1次,微分一般么总是加 次.这个外微分是最早条候 Frobenius, Darboux和我的老师 Elie Cartan引进 来的.他们最初引进这个观反是对于一次微分式,是 Frobenius, Darboux引 入的一次微分式.而 Elie c artan是法做的教授,是我的老师,他恐怕是 十世纪,也就是上个世纪最伟大的几何学家,法做巴黎大学的教授我想这 种教授很是模范,他不做别的活动,专做数学,条常功课是完全新的.有 年,他给了一门课,是《解析力学》( Analytical Mechanics),他把外微分的 观反从 Frobenius, Darboux从一次式的定义推广到高次式,所以整个的外微 分是 Elie Cartan引进来的,这是有用的东西.这个外微分有奇怪的现象:是 用两次之后等于0 0, 即这个外微分用两次等于0.我们要证明(1.1),就是对懂论一个k次微分式 微分一次就变地k+1次,两次就变地k+2次微分式,它一定是0.要证明这 一点,我证明对于函数对了,就行了.所以我要证明对于任意的函数∫,把 这个d,外微分用两次,就等于0,即2f=0就行了.那么地什么呢?因地 显然我要证明d=0,只要证明正2作用在只有一项上对就行了,这是因地它 是线性的,所以如作线性一项有这个性质,那么整个的和就等于0.那么 项的话,都是一个函数乘上一组dx,我现在选dx2,就是假定在高维,在n维 x就是x1到xn,在高维条,如作有一个函数ff是x1,…,xn的一个函数,对于 这个函数,用外微分两次,一定等于0.事实上,因地外微分一次就得到a是f❻■✹✐➱④➚Ü, ❖✩✜✱✶➨è■❘➾➠, Ò⑨➲➣üdx, dy✆✘➬✐ ❙❥, é❨➬✐❙❥❿➬✐❻■, ✐❻■✐❀❭, Ò✹✧✫❻■➮✶④✣⑧, Ù✧✹é➎✶ø❥❻■, ❼✯➲③t✘➬õ✶✯, ❨➬õ✶✯④✬❥➦✘ ➬. ✯➃❁❥Ò★➃✘✬❻■✯ê, ➘✶✬❥➦✘➬, ❖✩Ò✯➃➷✉✹k✬ ④➏,③t✘➬k + 1✬④❻■✯. ❨➬✹➶õ➼➤➙➌❬➨▼✧❻■④❻■ ✯★➃❑➢❻■✯, ✘➢❻■★➃✓➢❻■④Ú✯. ❨➬Ò✐Pê, ❖➃❨ ➦➪❿✘➬✐❙❥, ➘✶➨❨➬❻■✯➷å✉, ⑦✘➬✐➷✛, ❻■④➷✛ ✹✬é➪. ❧⑨✑, ✙ó➲❿✘➬❻■, ➬➨k✬④✐❻■✯★➃k + 1✬④ ✐❻■✯, ❨ø✝Ò➨❨➬✐❻■✯➙✲➱ê✘➬❝④❼è, ✱✶❻■, ❨ ➬❻■❐✃✴④❻■❳✘ø, ➬✹➨k✬★➃k + 1✬, ❻■✘➘➃✎✹✜✘ ✬. ❨➬✐❻■✹✦￾✣⑧Frobenius, Dauboux❩➲④➄✓Elie Cartan❩➓ ✉④. ➷➣✦ð❩➓❨➬✡✬✹é➉✘✬❻■✯, ✹Frobenius, Dauboux❩ ➐④✘✬❻■✯. ✌Elie C artan✹✛✮④s●, ✹➲④➄✓, ➷✾❨✹✓ ✛✲✖, ✎Ò✹Þ➬✲✖✦➉▲④✁❬➛✛, ✛✮➤➞▲➛④s●. ➲✳❨ ➠s●✐✹Ü✮, ➷❳✮✴④Ù➘, Û✮❥➛, ✣➒Õ✶✹q❭❝④. ❿✘ ★, ➷➱ê✘➔✶, ✹✕❽Û➴➛✖(Analytical Mechanics), ➷➨✐❻■④ ✡✬✱Frobenius, Dauboux✱✘✬✯④➼❇▼✒t➦✬✯, ➘✶r➬④✐❻ ■✹Elie Cartan❩➓✉④, ❨✹❿⑦④➚Ü. ❨➬✐❻■❿Û✆④✙✻: ✹ ⑦Ü✬❷⑨⑧➉0. d 2 = 0, (1.11) ý❨➬✐❻■⑦Ü✬⑧➉0. ➲➣✞②Ò(1.11), Ò✹é➹❳✘➬k✬❻■✯, ❻■✘✬Ò★➃k + 1✬, Ü✬Ò★➃k + 2✬❻■✯, ➬✘➼✹0. ✞②Ò❨ ✘➎, ➲②Òé➉❁❥éê, Òqê. ➘✶➲✞②Òé➉⑧❄④❁❥f, ➨ ❨➬d, ✐❻■⑦Ü✬, Ò⑧➉0, ýd 2 f = 0 Òqê. ￾➃➃✤➃✑Ú❖➃ ✗❧➲✞②Òd 2 = 0, ➄✞②Òd 2✯⑦ó➄❿✘✶ÞéÒqê, ❨✹❖➃➬ ✹✧✉④, ➘✶➌✯✧✉✘✶❿❨➬✉➓, ￾➃r➬④❩Ò⑧➉0. ￾➃✘ ✶④➏, Ñ✹✘➬❁❥➷Þ✘✜dx, ➲✙ó➔dxi , Ò✹✧➼ó➦➅,ón➅, xiÒ✹x1txn, ó➦➅✣, ➌✯❿✘➬❁❥f,f✹x1, · · · , xn④✘➬❁❥, é➉ ❨➬❁❥, ⑦✐❻■Ü✬, ✘➼⑧➉0. ✴✧Þ, ❖➃✐❻■✘✬Ò③tai✹fi 6