第一讲微分与积分 2001年10月11日 1微积分的起源:牛顿与莱布尼兹 讲到微积分最要紧的两个人是牛顿( (Issac Newton,1642-1727)跟莱布尼 兹(〔 ottpied leibniz,1646-1716),微积分就是他们发现的.关于牛顿,有兴 趣的是他做这个工作是在学生的时候,也许比你们的岁数还要小,那个时候 也就是17世纪那个时候,欧洲瘟疫很厉害,欧洲死了很多人.他在英国剑桥 大学,因为瘟疫的关系,学校放假了,他就回家在家里做关于微积分的这些 工作.莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人,数学是他的兴趣的一部分 他的兴趣到宗教、法律各方面都有.他们两人之间有点争论,是因为争论谁 是微积分的发现者.这个争论是不幸的,也没有什么意义.实质上是莱布尼 兹头一个发表关于微积分论文的人,他的论文在1684年发表.牛顿做这个工 作早于莱布尼兹,而莱布尼兹发表论文早于牛顿,牛顿有了这个工作后没有 发表什么任何的东西.而莱布尼兹不但发表了这些东西,同时还引用了一些 符号,也许我们现在还在用.那么后来两个人有一个争论,大概都是跟数学 没有关系的人在那里造成的情况,这不是一个什么有意思的事情 2微积分基本定理 微积分是数学里头很重要的方面.至于什么是微积分呢?我想微分的发现 跟笛卡儿发现坐标非常有关系,因为笛卡儿发现坐标之后,数学主要的目 的就是研究函数,研究两组数的关系,有种种的关系.我们知道,函数有种 种,有线性的,非线性的,三角函数等种种函数,那么要怎么样地研究函数的 性质?我们都知道,函数可以用曲线来表示,如y=f(x)这条曲线.在这条 曲线的每点,如果它是可以微分的话,那么它在每点有个切线.微分就是把 这个曲线用它的切线来研究它的性质.所以也等于说它是把函数线性化,线
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性化之后,可以加、减、乘、除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要 是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研 究曲线的性质.积分来得早了因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面 积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周 的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实 际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个 极限的观念.曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲 线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言 之,积分的发展在微分之前.中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关 系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟 两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去 算这个区域的面积,是个定积分/af(x)dx,(读作f(x)定积分从a→x).这 是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表 个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意 的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个r的函数,这个函数,我叫它A(x) 就是我图上的面积,是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函 数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关 系呢?很简单地看看,假如求A(x)=Jaf(x)dx的微分,求它的微分嘛,就是 说,求s=x,x+δx所围成的这个小条区域的面积.现在如果你拿δc除的话 我想很容易看出来了,这个极限就是∫(x).所以很容易看出来A(x)这个函数 的微分就是f(x),因此 dac 这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分 的时候,就得f(x),这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微 积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这 个关系式写成 f(a)d ls f(a)d o 形状左边积分是个不定积分 (indefinite integra),不定积分是个函数,左式 2
✉➎❷⑨, ✱✶✜✁❃✁➷✁ø, ✱✶✎➤, ❖✩✱✶③t❥ñ✉. ❥➛✞ ✹✕ê③t❥ñ✉, ✎✹✐✞➏④. ➘✶❻■▲➊✹⑨⑦▼✧④★✧✉Ï ➘▼✧④✉➓. è■✉③ê,❖➃è■✧✓Þ▲➋❨å✉, ➬✹✞✎➤➪ è. ➃✧✫➨➪Þ❿✘➬❑➢, ❸▼✧✉✮➃✣➂, ➬④➪è❿õ▲, ❐➧ ④➪è❿õ▲, ❨➦④➥☛✹è■④✌✮, ✎✹è■➢✞④ø④. ❖✩, ✧ ✓Þ, è■④✕✵ó❻■❷✄. è■❤✣✎➊❿✘➼④➼❇, è■Ò✹❿➬ ô✦④✡✬. ▼✧➘➀➶④❑➢✘➘✳✛✝⑦❺✧✉✆↔, ✫③✆↔④▼ ✧❏➉✜④✣➂④✣⑧, Ò❿➬ô✦, Ò✹❨➬❑➢④➪è. ➘✶, ✎✌Ó ❷, è■④✕✵ó❻■❷✄. ➙✲❨Ü➬➥☛P✻➊❿✞ø, ❜✹Ù✧❨✞ ø✿➒④➲★. è■❿❳õ✹❻■④✬ä➤. ✞✵⑨, ✧✫✜❋❨✣❺✧❐ Ü✣✒✧➘➘❑➢④➪è, ❨Ü✣✒✧, ✘➬✹s = a,✘➬✹s = x, ✜✞❱ ➤❨➬❑➢④➪è, ✹➬➼è■ R x a f(x)dx, (Ö✯f(x)➼è■✱a → x). ❨ ✹❤★t❨✚û④♥❘, ❨➬è■④♥❘✏➘❨ø, ❖➃è■✎✹❙✱✘ ➬❩, R❙✱❩(sum). ✧÷➪è✘✣❸s = a ④❺✧✯✣➂, ☞✘✣✹⑧❄ ④x, ✜➨x❨✣❺✧★➘④➏, Ò③t✘➬x④❁❥, ❨➬❁❥, ➲✇➬A(x), Ò✹➲❈Þ④➪è, ✹➬è■, ➘✶➬✹✘➬❥ø, ➛x❿✞, ➘✶✹x④❁ ❥. ❨➬❁❥❐▼✧✵➬y = f(x)❨➬❁❥❿➲★✞ø. ➃✤➃❿➲★④✞ ø✑Ú✐❀❭➃✗✗, ✧➌❋A(x) = R x a f(x)dx④❻■, ❋➬④❻■❧, Ò✹ ⑨, ❋s = x, x + δx ➘➀➘④❨➬❇✣❑➢④➪è. ✙ó➌✯✜üδxø④➏, ➲✳✐➂✹✗ñ✉ê, ❨➬ô✦Ò✹f(x). ➘✶✐➂✹✗ñ✉A(x)❨➬❁❥ ④❻■Ò✹f(x), ❖✩ dA(x) dx = f(x). (1.1) ❨Ò✹❻■✸è■④äý④✞ø. ❨➬✞ø⑨A(x)✹✘➬è■, ❋➬④❻■ ④✣⑧, Ò③f(x). ❨➬✘➘➃, ✇✮❻è■④äý➼➤. ➲✱✄ó✟✌✬❻ è■④✣⑧, ✮➟❳➹➃✤➃❨✹✘➬❻è■④äý➼➤, ❖➃✘➘➃➨❨ ➬✞ø✯❯➘ Z f(x)dx| b a = Z b a f(x)dx (1.2) ♦ç. ✫✣è■✹➬❳➼è■(indefinite integral), ❳➼è■✹➬❁❥, ✫✯ 2
是函数在b的值减去函数在a的值,等于这个定积分 definite integral).所以 从这个关系知道要求积分的话,只需要求一个函数,它的微分是已知的,就 是f(x),即微分是已知的.所以这样微分跟积分连起来了.互相的,积分等 于微分的反运算,有了f(x),要找一个函数,它的微分等于f(x),是个反运算 因此微、积分有密切的关系. 多元微积分 上面讲的是一个变数的微积分.下面讲高维的,要多变数的.多变数的话, 有新的现象,是什么样的呢?我想对于多变数的,我们先不看别的,先看两 个变数的情形,x跟y,那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分 等于跟y分开求微分.积分的观念推广是重积分.二重积分( double integral) 是在2维的情形,在高维的情形是多重的.先看2维,2维的情形就有了区域 我们叫它△,那么它的边界叫它γ.所以积分的一个自然推广是一个2重积分, 普通积分把c分成小段,然后取小段再乘上这个函数,求一个和在2重积分 的时候,方法也是把区域分成小块,然后取每一小块的面积,在其上函数值 乘上它的面积,然后求它的和很不得了的,假使函数好的话,无论你如何圈 你的区域极限是一样的,所以这极限就是2重积分 I=///(a,v)dardy 在2维的时候,甚至高维的时候,一个重要的现象是,我们现在有2个变数x,y, 换变数怎么样?所以我现在换变数,换变数当然是在微积分里是很重要的 个办法,因为很多的问题是看你的变数是否选择得适当,有时换变数,问 题就立刻简单化了,就可以解决了.现在我换变数 (1.4) y=y(a',y) 其中,(x,y)是另外一组坐标.我们发现一个事实,在高维的时候微分的乘 法,我们写成dx∧dy,这是一个乘法,怎么乘呢? dr n dy在微积分上是最微 妙的观点.什么叫微分?什么是dx?这个是困扰了数学家几百年的事.怎么
✹❁❥ób④❾❃❱❁❥óa④❾, ⑧➉❨➬➼è■(definite integral). ➘✶ ✱❨➬✞ø⑧✇✞❋è■④➏, ➄❽✞❋✘➬❁❥, ➬④❻■✹✳⑧④,Ò ✹f(x), ý❻■✹✳⑧④. ➘✶❨ø❻■❐è■❐å✉ê. ➄★④, è■⑧ ➉❻■④✬ä➤, ❿êf(x), ✞■✘➬❁❥, ➬④❻■⑧➉f(x), ✹➬✬ä➤. ❖✩❻✁è■❿➲★④✞ø. 3 õ➹❻è■ Þ➪❨④✹✘➬★❥④❻è■. ✆➪❨➦➅④, ✞õ★❥④. õ★❥④➏, ❿❝④✙✻, ✹✤➃ø④✑Ú➲✳é➉õ★❥④, ➲➣☛❳✗✴④, ☛✗Ü ➬★❥④❁♦, x❐y, ➃➲➣⑧✇❨➬✣⑧❻■④✡✬④▼✒✹➔❻■, ⑧➉x❐y■✌❋❻■. è■④✡✬▼✒✹➢è■. ✓➢è■(double integral) ✹ó2➅④❁♦, ó➦➅④❁♦✹õ➢④. ☛✗2➅, 2➅④❁♦Ò❿ê❑➢, ➲➣✇➬∆, ➃➬④✣➂✇➬γ. ➘✶è■④✘➬✞❧▼✒✹✘➬2➢è■, ✃✴è■➨x■➘❇ã, ❧⑨❘❇ãò➷Þ❨➬❁❥, ❋✘➬❩. ó2➢è■ ④✣⑧, ✵✛✎✹➨❑➢■➘❇▲, ❧⑨❘➎✘❇▲④➪è, óÙÞ❁❥❾ ➷Þ➬④➪è, ❧⑨❋➬④❩. ✐❳③ê④, ✧✫❁❥P④➏, ➹❳✜➌❬❲ ✜④❑➢,ô✦✹✘ø④, ➘✶❨ô✦Ò✹2➢è■ I = Z Z f(x, y)dxdy. (1.3) ó2➅④✣⑧, ☎➊➦➅④✣⑧, ✘➬➢✞④✙✻✹, ➲➣✙ó❿2➬★❥x, y, ➛★❥✍➃øÚ➘✶➲✙ó➛★❥, ➛★❥❤❧✹ó❻è■➦✹✐➢✞④ ✘➬❮✛, ❖➃✐õ④➥☛✹✗✜④★❥✹❞➔✡③✼❤, ❿✣➛★❥, ➥ ☛Ò➪✴❀❭➎ê, Ò✱✶❽ûê. ✙ó➲➛★❥Õ ( x = x(x 0 , y0 ) y = y(x 0 , y0 ) (1.4) Ù➙, (x 0 , y0 )✹☞✐✘✜✰✮. ➲➣✕✙✘➬✴✧,ó➦➅④✣⑧,❻■④➷ ✛, ➲➣❯➘dx ∧ dy, ❨✹✘➬➷✛, ✍➃➷✑Údx ∧ dyó❻è■Þ✹✦❻ ➱④✡➎. ✤➃✇❻■Ú✤➃✹dxÚ❨➬✹❤✈ê❥➛✛✁➸★④✴. ✍➃ 3
样定微分的定义跟究竞什么是dx,这个很麻烦,可以做到很满意,不过把它 讲清楚需要有一定的时间.所以我马马虎虎说有一个dx.在dx,dy这种微分 之间要建立乘法∧.什么叫dx∧dy?这个问题更复杂了,你如果dx,dy本身 是什么都不清楚,乘了以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题.在这方 面有一个大的进步,就是引进外代数和外微分.假定dx∧dy这个乘法是反对 称 这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然 dx adx=0.事 实上,因为 de a dx=- d x a dx,所以 de a dx=0,在反对称的乘法之下, 把 daa dy看成变数,因为乘法是反对称的,dx2=0,所以就没有高次的东西 了.这样得到的代数叫做外代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换 变数公式为 dx n dy= o(a, y) o(,yrrda'ndy 假使我们的微分用的是偏微分,所以 现在用外乘法一乘,dr'Adr'=dy∧dy=0.而dx∧dy/因为乘法是反对称 的,所以是刚好乘以x=x(x,y),y=y(x,)的雅可比a,这个符号是 雅可比,是四个偏微分所成的行列式,所以 d(a, y) dr'a dy d(a, y) 这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系我们知道重积分要是换变数的 话,它应该乘上雅可比.所以这个结论就是,对重积分的 Integra,即积分下 的式子,把积分号丢掉, Integra是一个微分多项式,乘法是反对称的.所以 假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的 Integral可看成是外代 数的多项式,那么换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通 常,你要证明换变数的公式的时候,假定雅可比是正的,不然的话,乘上雅 可比的绝对值,使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个
ø➼❻■④➼❇❐➘➽✤➃✹dx, ❨➬✐❢✫, ✱✶✮t✐✇❄, ❳✱➨➬ ❨✽ù❽✞❿✘➼④✣✲. ➘✶➲❥❥➁➁⑨❿✘➬dx. ódx, dy❨➠❻■ ❷✲✞❖➪➷✛∧. ✤➃✇dx ∧ dyÚ❨➬➥☛❮❹ìê, ✜➌✯dx, dyýü ✹✤➃Ñ❳✽ù, ➷ê✶⑨✹✤➃➚Ü❮✹✘➬✐❻➱❤✡④➥☛. ó❨✵ ➪❿✘➬▲④➓❩, Ò✹❩➓✐❙❥❩✐❻■. ✧➼dx ∧ dy❨➬➷✛✹✬é ➪, dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (1.5) ❨➬➥☛Ò✽ù❀❭ê. ❖➃➷✛➌✯✹✬é➪④➏,❤❧dx ∧ dx = 0. ✴ ✧Þ, ❖➃dx ∧ dx = −dx ∧ dx, ➘✶dx ∧ dx = 0, ó✬é➪④➷✛❷✆, ➨dx ∧ dy✗➘★❥, ❖➃➷✛✹✬é➪④, dx2 = 0, ➘✶Ò➊❿➦✬④➚Ü ê. ❨ø③t④❙❥✇✮✐❙❥. ❨➬❙❥✐➱④. ❿✘➬➪✴④❼❳Õ➛ ★❥Ú✯➃ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.6) ✧✫➲➣④❻■⑦④✹➔❻■, ➘✶ dx = ∂x ∂x0 dx0 + ∂x ∂y0 dy0 , dy = ∂y ∂x0 dx0 + ∂y ∂y0 dy0 . (1.7) ✙ó⑦✐➷✛✘➷, dx0 ∧ dx0 = dy0 ∧ dy0 = 0. ✌dx0 ∧ dy0❖➃➷✛✹✬é➪ ④, ➘✶✹➛P➷✶x = x(x 0 , y0 ), y = y(x 0 , y0 ) ④➘✱✞ ∂(x,y) ∂(x0 ,y0) , ❨➬♥❘✹ ➘✱✞, ✹➃➬➔❻■➘➘④qï✯, ➘✶ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.8) ❨➬➛✜✹➲➣➢è■➛★❥④✘➬✞ø.➲➣⑧✇➢è■✞✹➛★❥④ ➏, ➬❛➈➷Þ➘✱✞. ➘✶❨➬❼❳Ò✹, é➢è■④Integral, ýè■✆ ④✯✝, ➨è■❘➾➠, Integral✹✘➬❻■õ✶✯, ➷✛✹✬é➪④. ➘✶ ✧✫õ➢è■❿3➅, 4➅tn ➅④✽✲, õ➢è■④Integral✱✗➘✹✐❙ ❥④õ✶✯, ➃➛★❥Ò✞❧éê. ❨➦❃❿✘➎❻➱④➃✵, ❖➃✴ ➒, ✜✞②Ò➛★❥④Ú✯④✣⑧, ✧➼➘✱✞✹t④, ❳❧④➏, ➷Þ➘ ✱✞④ýé❾, ✫➬✹t④. ❨➬✹➦➅✁❬❻➱④➚Ü, Ò✹✽✲❿➬ 4
可( Orietation,你转的时候,有2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向 的话,雅可比是负值,因此我们一个结论是多重积分的 Integral应该是一个外 代数多项式,是dx,dy的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的 当然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的外乘法是妙得很呐,是 不会有高次的,所以比较简单,平方一下,就是0. 4外微分 上面讲了这么样一种关系,甚至这关系还更要好,我们讲高等微积分的时候, 个重要的定理是格林定理( Green's Theorem).就是说,假使你有个区域 在边界上的微分是可以变为区域上的微分,是一个一重积分和二重积分的 关系,这是个非常重要的关系.比方龚升教授有一本小书,讲到这个关系,他 认为这是整个微积分的基本定理,我是同意的.这样的关系现在通常写格林 定理的时候,往往是写成有积分 ab aA Adr +bdy=ar ay 如果有一个问题,有时候你可以只管 Integral,不要管其它,那么 Integra就是 把一个一次微分式变为两次微分式,这怎么变呢?公式定理是这样子:我就 引入一个外微分,我们刚才讲 d r A dy是一个多项式,是一个外代数的一个 式子,就象我们普通多项式一样,不但如此,对于这样的式子,我们还可以定 义它一个微分, d(Ad. + Bdy)=dan dx+dB ndy= Aydy A dr + Brd r A dy. (1.10) 叫外微分( Exterior differential calculus).外微分很简单,假设有Adx+Bdy, 它的微分就是微分它的系数,也就是微分函数.A与B是x,y的函数,所以 就微分A,B.A的微分就是Adx+A2dy,B的微分就是Bdx+Bdy,可 是A2 dr dx=0就得到 Aydy a de,第二项就得B2d^dy.但是因为乘法是 反对称的,所以就得(Bn-A),这是格林定理里头2重积分的系数,所以格林 定理把单次积分变成两次积分,它的 Integral实际上是个外微分.可以看出外 5
✺(Orietation),✜Ý④✣⑧, ❿2➬★✬Ý④✵✺. Ý④✣⑧, ✧✫➉ê✵✺ ④➏, ➘✱✞✹❿❾, ❖✩➲➣✘➬❼❳✹õ➢è■④Integral❛➈✹✘➬✐ ❙❥õ✶✯, ✹dx, dy④õ✶✯, ➷✛✹✬é➪, ❨ø➛★❥q❭✱✶é④, ❤❧➲➄✮ê2➅④➽✝. ➦➅✹✐Ò✗④, ✸ø④.✐➷✛✹➱③✐þ, ✹ ❳❒❿➦✬④, ➘✶✞✈❀❭, ➨✵✘✆,Ò✹0. 4 ✐❻■ Þ➪❨ê❨➃ø✘➠✞ø, ☎➊❨✞ø↕❮✞P, ➲➣❨➦⑧❻è■④✣⑧, ✘➬➢✞④➼➤✹➶õ➼➤(Green’s Theorem). Ò✹⑨, ✧✫✜❿➬❑➢, ó✣➂Þ④❻■✹✱✶★➃❑➢Þ④❻■, ✹✘➬✘➢è■❩✓➢è■④ ✞ø, ❨✹➬✿➒➢✞④✞ø. ✞✵×☞s●❿✘ý❇❱, ❨t❨➬✞ø, ➷ ⑨➃❨✹r➬❻è■④äý➼➤, ➲✹✸❄④. ❨ø④✞ø✙ó✴➒❯➶õ ➼➤④✣⑧, ⑨⑨✹❯➘❿è■, Z γ Adx + bdy = (∂B ∂x − ∂A ∂y )dxdy. (1.9) ➌✯❿✘➬➥☛, ❿✣⑧✜✱✶➄☛Integral, ❳✞☛Ù➬, ➃IntegralÒ✹ ➨✘➬✘✬❻■✯★➃Ü✬❻■✯, ❨✍➃★✑ÚÚ✯➼➤✹❨ø✝: ➲Ò ❩➐✘➬✐❻■, ➲➣➛❜❨dx ∧ dy ✹✘➬õ✶✯, ✹✘➬✐❙❥④✘➬ ✯✝, Ò✻➲➣✃✴õ✶✯✘ø,❳❜➌✩, é➉❨ø④✯✝, ➲➣↕✱✶➼ ❇➬✘➬❻■, d(Adx + Bdy) = dA ∧ dx + dB ∧ dy = Aydy ∧ dx + Bxdx ∧ dy. (1.10) ✇✐❻■(Exterior differential calculus). ✐❻■✐❀❭, ✧÷❿Adx + Bdy, ➬④❻■Ò✹❻■➬④ø❥, ✎Ò✹❻■❁❥. A➛B✹x, y④❁❥, ➘✶ Ò❻■A, B . A④❻■Ò✹Axdx + Aydy, B④❻■Ò✹Bxdx + Bydy, ✱ ✹Axdx ∧ dx = 0 Ò③tAydy ∧ dx, ➅✓✶Ò③Bxdx ∧ dy. ❜✹❖➃➷✛✹ ✬é➪④, ➘✶Ò③(Bx − Ay), ❨✹➶õ➼➤➦❃2➢è■④ø❥, ➘✶➶õ ➼➤➨❭✬è■★➘Ü✬è■, ➬④Integral✧✓Þ✹➬✐❻■. ✱✶✗ñ✐ 5
微分是很妙的东西,因此你可以把积分号丢掉,就说我们拿dx,dy造一个外 代数,对这个外代数有个外微分,外微分很简单,就是假使微分各项的条候, 其实是对每项系数微分,结作我得到一个多项式,这个多项式的次数高 个.作地函数就变地一次微分式了,所以次数高一个,因此就作地原来是k次 的话,得到一个k+1次的微分式.这个是格林定理中如何把曲线微分的微分 式变地区域微分式,一重微分变地二重微分的公式这个就很好了,因地这 里面有一个外代数,所以把这个微分式乘起来,用一个外乘法,微分的乘法 是念对称.然后呢,现在我有一个微分,它把k次的外微分式变地k+1次的 外微分式,这样子就把这个外微分式中间给了一个新的结构,可以微分,这 个微分跟普通的微分不一样,它是把k次变地k+1次,微分一般么总是加 次.这个外微分是最早条候 Frobenius, Darboux和我的老师 Elie Cartan引进 来的.他们最初引进这个观反是对于一次微分式,是 Frobenius, Darboux引 入的一次微分式.而 Elie c artan是法做的教授,是我的老师,他恐怕是 十世纪,也就是上个世纪最伟大的几何学家,法做巴黎大学的教授我想这 种教授很是模范,他不做别的活动,专做数学,条常功课是完全新的.有 年,他给了一门课,是《解析力学》( Analytical Mechanics),他把外微分的 观反从 Frobenius, Darboux从一次式的定义推广到高次式,所以整个的外微 分是 Elie Cartan引进来的,这是有用的东西.这个外微分有奇怪的现象:是 用两次之后等于0 0, 即这个外微分用两次等于0.我们要证明(1.1),就是对懂论一个k次微分式 微分一次就变地k+1次,两次就变地k+2次微分式,它一定是0.要证明这 一点,我证明对于函数对了,就行了.所以我要证明对于任意的函数∫,把 这个d,外微分用两次,就等于0,即2f=0就行了.那么地什么呢?因地 显然我要证明d=0,只要证明正2作用在只有一项上对就行了,这是因地它 是线性的,所以如作线性一项有这个性质,那么整个的和就等于0.那么 项的话,都是一个函数乘上一组dx,我现在选dx2,就是假定在高维,在n维 x就是x1到xn,在高维条,如作有一个函数ff是x1,…,xn的一个函数,对于 这个函数,用外微分两次,一定等于0.事实上,因地外微分一次就得到a是f
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对x的一个偏微分,那么再用一次呢,它的系数就是从x;1到x微分a2,a 是∫的对x1的微分,所以这是f对从x;到x的二一阶微分 d(aid.ri=odx, A d ri (1.12 这个函数对于i,j是对称的.事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次 序没有关系,是对称的.如果一个对称的函数是 dz a dy的系数,宗dx∧dy是 反对称的,那么它就等于0了.d是一个外微分,是对外代数的多项式的 个运算,这个运算运用两次就等于0了,这是一个了不得的关系.因为几何 上讲,假使你有一个区域,你取这个区域的边界,再取这个边界的边界,就 没有边界了.假使你取的边界是整个球,那么球没有边界.所以几何上讲有 个运算求边界,求边界的话,用两次,就等于0.有一个区域的求一次边界 是一个很好的区域,即不再有边界了,这个几何的性质跟外微分的性质是对 偶的.求两次边界一定等于0,这是个几何的性质;求外微分两次等于0,是 个分析的性质.这两个东西不是两个互不相关的东西,是完全对偶的,是 回事.一个边界通常用符号O表示,边界两次等于0,即2=0.它跟外微分 是对偶的.这是一个了不得的几何关系,了不得的数学上的关系,妙得不得 了,因为求边界是一个几何的问题,更是一个整体的问题,一定关拿整个区 域乘上边界,但是求外微分是个分析的问题,是个局部的问题.关外微分只 关知道这个微分式在一点附近的性质就有了.这一个局部的运算跟一个整 体的运算有这样对偶的关系是很难得的事情,是一个重关的几何现象,是重 关的数学现象.为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广,就是 Stokes定 理. Stokes定理讲,假使有一个区域,把它封闭上,Δ是这样一个k维的区 域,所以它的边界就是边界△k.那么假使有一个微分式叫做a,它的次数 是k-1(dega=k-1),于是我们就有这么一个关系:a在边界的积分等 于d在△的积分, 这是重关极了的定理,通常用 Stokes名义. Stokes是英国的应用数学家,你 们大概在这个课中已经听到 Stokes定理. Stokes定理就把两个普通的运算 7
éxi④✘➬➔❻■, ➃ò⑦✘✬✑, ➬④ø❥Ò✹✱xi txj❻■ai , ai ✹f④éxi ④❻■, ➘✶❨✹fé✱xitxj④✓⑦❻■: d(aidxi) = ∂ai ∂xj dxj ∧ dxi , (1.12) ❨➬❁❥é➉i, j✹é➪④. ✴✧Þ➲➣⑧✇✘➬❁❥❻■Ü✬④➏❐✬ ➇➊❿✞ø, ✹é➪④. ➌✯✘➬é➪④❁❥✹dx ∧ dy④ø❥, ✌dx ∧ dy✹ ✬é➪④, ➃➬Ò⑧➉0 ê. d ✹✘➬✐❻■, ✹é✐❙❥④õ✶✯④✘ ➬ä➤, ❨➬ä➤ä⑦Ü✬Ò⑧➉0 ê, ❨✹✘➬ê❳③④✞ø. ❖➃✁❬ Þ❨, ✧✫✜❿✘➬❑➢, ✜❘❨➬❑➢④✣➂, ò❘❨➬✣➂④✣➂, Ò ➊❿✣➂ê. ✧✫✜❘④✣➂✹r➬❊, ➃❊➊❿✣➂. ➘✶✁❬Þ❨❿ ✘➬ä➤❋✣➂, ❋✣➂④➏, ⑦Ü✬, Ò⑧➉0. ❿✘➬❑➢④❋✘✬✣➂ ✹✘➬✐P④❑➢, ý❳ò❿✣➂ê, ❨➬✁❬④✉➓❐✐❻■④✉➓✹é ❙④. ❋Ü✬✣➂✘➼⑧➉0,❨✹➬✁❬④✉➓; ❋✐❻■Ü✬⑧➉0, ✹ ➬■Û④✉➓. ❨Ü➬➚Ü❳✹Ü➬➄❳★✞④➚Ü, ✹q❭é❙④, ✹✘ ➹✴. ✘➬✣➂✴➒⑦♥❘∂✱✰, ✣➂Ü✬⑧➉0, ý∂ 2 = 0. ➬❐✐❻■ ✹é❙④. ❨✹✘➬ê❳③④✁❬✞ø, ê❳③④❥➛Þ④✞ø, ➱③❳③ ê, ❖➃❋✣➂✹✘➬✁❬④➥☛, ❮✹✘➬r✍④➥☛, ✘➼✞ür➬❑ ➢➷Þ✣➂, ❜✹❋✐❻■✹➬■Û④➥☛, ✹➬Û❭④➥☛. ✞✐❻■➄ ✞⑧✇❨➬❻■✯ó✘➎➂↔④✉➓Ò❿ê. ❨✘➬Û❭④ä➤❐✘➬r ✍④ä➤❿❨øé❙④✞ø✹✐✡③④✴❁, ✹✘➬➢✞④✁❬✙✻, ✹➢ ✞④❥➛✙✻. ➃✤➃é❙✑ÚÙ✧❨Ò✹➶õ➼➤④▼✒, Ò✹Stokes➼ ➤. Stokes➼➤❨, ✧✫❿✘➬❑➢, ➨➬❯✔Þ, ∆k✹❨ø✘➬k➅④❑ ➢, ➘✶➬④✣➂Ò✹✣➂∂∆k . ➃✧✫❿✘➬❻■✯✇✮α, ➬④✬❥ ✹k − 1(degα = k − 1), ➉✹➲➣Ò❿❨➃✘➬✞ø: α ó✣➂④è■⑧ ➉dα ó∆k④è■, Z ∂∆k α = Z ∆k dα. (1.13) ❨✹➢✞ôê④➼➤, ✴➒⑦Stokes Ö❇. Stokes ✹❪✮④❛⑦❥➛✛, ✜ ➣▲➊ó❨➬✶➙✳➨✫tStokes ➼➤. Stokes ➼➤Ò➨Ü➬✃✴④ä➤, 7
个是等于区域的边界的运算,一个是等于外微分的积分,这两个有简单的 关系.假使我们把外微分的积分写成这个关系 (0△,a)=(△,da) (1 这个外微分成一个矢量空间( Vector Space),可以加减,这个区域也是另外 个矢量空间,也可以加减假使这两个矢量空间经过积分,因此就有一个所 谓的“对”(pair),这个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到 个正数,得到一个数,那么 St okes定理就是说这个 paring使得对△的作用 的算子与外微分d是伴随的( adjoint),是对偶的“对”,这就是 Stokes定理的 意义.高维时,及任意维时都是对的龚升教授在他的小书里说,这个是微积 分的基本定理.从它就给出我们普通微积分的基本定理.因为假使k=1, 那么我们的区域是一个线段,从a到b的线段,这个线段就是△,它的边界呢, 是b点减a点a在这里是一个函数,上次讲的d是个积分,在一维的情形就 是用到直线上.因此在一维的情形△是个线段,它的边界是b-a,a是一个函 数f,所以da是df,于是 (b-a,=(4,40)→f(b)-f(a)=/可f 这就是说函数在b点的值减去函数在a点的值等于可在这个线段上的积分, 这个就是所谓微积分的基本定理.也就是说右边是从a到b积分df,左边就 是f(b)-f(a),这就是我们的基本定理,所以 Stokes定理是微积分的基本定 理在高维的推广.因此在多元的微积分里头也是个进步,非常有用,因为外 微分包含很多材料.有一个公式很容易证明的,就是你把两个外微分的式 子a跟相乘,而求这个的外微分, d(a∧B)=da∧B+(-1)oa∧dB (1.16) 这个公式很容易证明,因为简单地只要假定a和β都单项就行了.这是由于对 于a和β都是线性的.假定它们都是单项的,就可以写成dxr1,…,dxk,…,dxrn 前头乘个函数一算就可以得到了.所以它们这个乘法之间和外微分有这 样一种简单的关系.这个关系不但如此,还可以更远的,因为假使有
✘➬✹⑧➉❑➢④✣➂④ä➤, ✘➬✹⑧➉✐❻■④è■, ❨Ü➬❿❀❭④ ✞ø. ✧✫➲➣➨✐❻■④è■❯➘❨➬✞ø, (∂∆, α) = (∆, dα). (1.14) ❨➬✐❻■➘✘➬✪Þ✽✲(Vector Space), ✱✶✜❃, ❨➬❑➢✎✹☞✐✘ ➬✪Þ✽✲,✎✱✶✜❃. ✧✫❨Ü➬✪Þ✽✲➨✱è■, ❖✩Ò❿✘➬➘ ➣④“é”(pair), ❨➬✪Þ✽✲④✘➎❩➬✪Þ✽✲✘➎❐ó✘å✹③t ✘➬t❥, ③t✘➬❥, ➃St okes➼➤Ò✹⑨❨➬paring✫③é∆④✯⑦ ④➤✝∂ ➛✐❻■d ✹✃➧④(adjoint), ✹é❙④“é”, ❨Ò✹Stokes➼➤④ ❄❇. ➦➅✣, ù⑧❄➅✣Ñ✹é④.×☞s●ó➷④❇❱➦⑨, ❨➬✹❻è ■④äý➼➤. ✱➬Ò➱ñ➲➣✃✴❻è■④äý➼➤. ❖➃✧✫k = 1, ➃➲➣④❑➢✹✘➬✧ã, ✱a tb④✧ã, ❨➬✧ãÒ✹∆, ➬④✣➂✑, ✹b➎❃a➎. α ó❨➦✹✘➬❁❥, Þ✬❨④dα✹➬è■, ó✘➅④❁♦Ò ✹⑦t❺✧Þ. ❖✩ó✘➅④❁♦∆✹➬✧ã, ➬④✣➂✹b − a, α✹✘➬❁ ❥f,➘✶dα✹df, ➉✹ (b − a, f) = (∆, df) =⇒ f(b) − f(a) = Z b a df. (1.15) ❨Ò✹⑨❁❥ób➎④❾❃❱❁❥óa➎④❾⑧➉dfó❨➬✧ãÞ④è■, ❨➬Ò✹➘➣❻è■④äý➼➤. ✎Ò✹⑨➁✣✹✱atbè■df, ✫✣Ò ✹f(b) − f(a), ❨Ò✹➲➣④äý➼➤, ➘✶Stokes➼➤✹❻è■④äý➼ ➤ó➦➅④▼✒. ❖✩óõ➹④❻è■➦❃✎✹➬➓❩, ✿➒❿⑦, ❖➃✐ ❻■Ý✾✐õ❛î. ❿✘➬Ú✯✐➂✹②Ò④, Ò✹✜➨Ü➬✐❻■④✯ ✝α❐β★➷, ✌❋❨➬④✐❻■, d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)degαα ∧ dβ, (1.16) ❨➬Ú✯✐➂✹②Ò, ❖➃❀❭➃➄✞✧➼α❩βÑ❭✶Òqê. ❨✹❸➉é ➉α❩βÑ✹✧✉④. ✧➼➬➣Ñ✹❭✶④, Ò✱✶❯➘dx1, · · · , dxk, · · · , dxn, ✄❃➷➬❁❥✘➤Ò✱✶③tê. ➘✶➬➣❨➬➷✛❷✲❩✐❻■❿❨ ø✘➠❀❭④✞ø. ❨➬✞ø❳❜➌✩, ↕✱✶❮Ï④, ❖➃✧✫❿✘ 8
个运算,它的平方等伟0,这是很不得了的,这个就从以造一个除法,有个 商( quotient).这目得到一个除法,现在叫做害算( homology).现在界多数学 的发展都是有个运算,你两次等伟0,你就能造一个 quotien t,怎么目呢,什 么叫 quotient呢?就是你把所有的满足da=0的a,被所有d来除,即 Halda=01/dB 1.17 要是a=d的话,因为=0,所以da=0.因此你取所有的所谓的闭形 式( close form),被从以写成d什么的东西来除,就得到在数学里头用一个唬 人的名字叫 homology.也就是取所有的k次的微分式,它们是封闭的(被d作 用为0),被所有的d的除,造一个商结积,这个商结积就叫做 homology.你从 以用到这个d,也从以用到这个边界.用到边界的,历史上,是在拓扑里头,先 有用边界的,因为用的是a的 homology叫上害算( cohomology).这是由伟历 史的关系,名字用掉了,所以叫 cohomology.这个很厉害,假使你有一个流 形,它是紧致的,它的 cohomology forr是有限维的,这个有限维的维数叫这 个放间的Beti数( Bett i Number).这是拓扑的内容,单学微积分,从以不必 者管,不从这个领域整个的有重要的发展,是近来数学的发展基本内容,当 然很要紧了.你有一个很大的放间,所有微分式组成的放间大得不得了,它 有结积,你从以你减,也从以求很微分,大得不得了,然后呢,它有些几何的 性质,取 quotient,这个 quotient是有限的,这个有限有个好处,得到数目有限, 是说有限维的维数是多少.得到一组数,这组数目就是这个放间的重要性 质,因为得知 Betti数是一个整数,有一群整数很要紧,比方说,球面,球面有 这种 Bet ti数,环面也有 Betti数,它们是不一目,下面搞拓扑的人想法要证 明这种Bett数是拓扑不年量,因此拓扑在数学的运用中就要紧了
➬ä➤,➬④➨✵⑧➉0, ❨✹✐❳③ê④, ❨➬Ò✱✶✆✘➬ø✛, ❿➬ Û(quotient). ❨ø③t✘➬ø✛, ✙ó✇✮✸➤(homology). ✙ó➂õ❥➛ ④✕✵Ñ✹❿➬ä➤, ✜Ü✬⑧➉0, ✜Ò✕✆✘➬quotien t, ✍➃ø✑, ✤ ➃✇quotient✑? Ò✹✜➨➘❿④✇✖dα = 0④α, ú➘❿dβ✉ø, ý {α|dα = 0}/dβ. (1.17) ✞✹α = dβ④➏, ❖➃d 2 = 0, ➘✶dα = 0. ❖✩✜❘➘❿④➘➣④✔♦ ✯(close form), ú✱✶❯➘d✤➃④➚Ü✉ø, Ò③tó❥➛➦❃⑦✘➬➂ ⑤④Ö✠✇homology. ✎Ò✹❘➘❿④k✬④❻■✯, ➬➣✹❯✔④(úd✯ ⑦➃0), ú➘❿④dβ④ø, ✆✘➬Û❼è, ❨➬Û❼èÒ✇✮homology. ✜✱ ✶⑦t❨➬d, ✎✱✶⑦t❨➬✣➂. ⑦t✣➂④, ➺✩Þ, ✹ó❴➚➦❃, ☛ ❿⑦✣➂④, ❖➃⑦④✹∂④homology ✇Þ✸➤(cohomology). ❨✹❸➉➺ ✩④✞ø, Ö✠⑦➠ê, ➘✶✇cohomology. ❨➬✐➳✸, ✧✫✜❿✘➬✖ ♦, ➬✹➏➋④, ➬④cohomology form✹❿✦➅④, ❨➬❿✦➅④➅❥✇❨ ➬✽✲④Betti ❥(Bett i Number). ❨✹❴➚④✓➂, ❭➛❻è■, ✱✶❳✗ ❱☛, ❳✱❨➬☛➢r➬④❿➢✞④✕✵, ✹↔✉❥➛④✕✵äý✓➂, ❤ ❧✐✞➏ê. ✜❿✘➬✐▲④✽✲, ➘❿❻■✯✜➘④✽✲▲③❳③ê, ➬ ❿❼è, ✜✱✶✜❃, ✎✱✶❋✐❻■, ▲③❳③ê, ❧⑨✑, ➬❿❏✁❬④ ✉➓,❘quotient, ❨➬quotient✹❿✦④, ❨➬❿✦❿➬Pÿ, ③t❥ø❿✦, ✹⑨❿✦➅④➅❥✹õè. ③t✘✜❥, ❨✜❥øÒ✹❨➬✽✲④➢✞✉ ➓, ❖➃③⑧Betti ❥✹✘➬r❥, ❿✘❦r❥✐✞➏, ✞✵⑨, ❊➪,❊➪❿ ❨➠Bet ti ❥, ➣➪✎❿Betti ❥, ➬➣✹❳✘ø, ✆➪➫❴➚④⑤✳✛✞② Ò❨➠Betti ❥✹❴➚❳★Þ, ❖✩❴➚ó❥➛④ä⑦➙Ò✞➏ê. 9
