《微分学》第一讲微分与积分.pdf_大学文库

性化之后,可以加、减、乘、除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.积分来得早了因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个极限的观念.曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言之,积分的发展在微分之前.中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去算这个区域的面积,是个定积分/af(x)dx,(读作f(x)定积分从a→x).这是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个r的函数,这个函数,我叫它A(x) 就是我图上的面积,是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关系呢?很简单地看看,假如求A(x)=Jaf(x)dx的微分,求它的微分嘛,就是说,求s=x,x+δx所围成的这个小条区域的面积.现在如果你拿δc除的话我想很容易看出来了,这个极限就是∫(x).所以很容易看出来A(x)这个函数的微分就是f(x),因此 dac 这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分的时候,就得f(x),这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这个关系式写成 f(a)d ls f(a)d o 形状左边积分是个不定积分 (indefinite integra),不定积分是个函数,左式 2

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✹❁❥ób④❾❃❱❁❥óa④❾, ⑧➉❨➬➼è■(definite integral). ➘✶ ✱❨➬✞ø⑧✇✞❋è■④➏, ➄❽✞❋✘➬❁❥, ➬④❻■✹✳⑧④,Ò ✹f(x), ý❻■✹✳⑧④. ➘✶❨ø❻■❐è■❐å✉ê. ➄★④, è■⑧ ➉❻■④✬ä➤, ❿êf(x), ✞■✘➬❁❥, ➬④❻■⑧➉f(x), ✹➬✬ä➤. ❖✩❻✁è■❿➲★④✞ø. 3 õ➹❻è■ Þ➪❨④✹✘➬★❥④❻è■. ✆➪❨➦➅④, ✞õ★❥④. õ★❥④➏, ❿❝④✙✻, ✹✤➃ø④✑Ú➲✳é➉õ★❥④, ➲➣☛❳✗✴④, ☛✗Ü ➬★❥④❁♦, x❐y, ➃➲➣⑧✇❨➬✣⑧❻■④✡✬④▼✒✹➔❻■, ⑧➉x❐y■✌❋❻■. è■④✡✬▼✒✹➢è■. ✓➢è■(double integral) ✹ó2➅④❁♦, ó➦➅④❁♦✹õ➢④. ☛✗2➅, 2➅④❁♦Ò❿ê❑➢, ➲➣✇➬∆, ➃➬④✣➂✇➬γ. ➘✶è■④✘➬✞❧▼✒✹✘➬2➢è■, ✃✴è■➨x■➘❇ã, ❧⑨❘❇ãò➷Þ❨➬❁❥, ❋✘➬❩. ó2➢è■ ④✣⑧, ✵✛✎✹➨❑➢■➘❇▲, ❧⑨❘➎✘❇▲④➪è, óÙÞ❁❥❾ ➷Þ➬④➪è, ❧⑨❋➬④❩. ✐❳③ê④, ✧✫❁❥P④➏, ➹❳✜➌❬❲ ✜④❑➢,ô✦✹✘ø④, ➘✶❨ô✦Ò✹2➢è■ I = Z Z f(x, y)dxdy. (1.3) ó2➅④✣⑧, ☎➊➦➅④✣⑧, ✘➬➢✞④✙✻✹, ➲➣✙ó❿2➬★❥x, y, ➛★❥✍➃øÚ➘✶➲✙ó➛★❥, ➛★❥❤❧✹ó❻è■➦✹✐➢✞④ ✘➬❮✛, ❖➃✐õ④➥☛✹✗✜④★❥✹❞➔✡③✼❤, ❿✣➛★❥, ➥ ☛Ò➪✴❀❭➎ê, Ò✱✶❽ûê. ✙ó➲➛★❥Õ ( x = x(x 0 , y0 ) y = y(x 0 , y0 ) (1.4) Ù➙, (x 0 , y0 )✹☞✐✘✜✰✮. ➲➣✕✙✘➬✴✧,ó➦➅④✣⑧,❻■④➷ ✛, ➲➣❯➘dx ∧ dy, ❨✹✘➬➷✛, ✍➃➷✑Údx ∧ dyó❻è■Þ✹✦❻ ➱④✡➎. ✤➃✇❻■Ú✤➃✹dxÚ❨➬✹❤✈ê❥➛✛✁➸★④✴. ✍➃ 3

ø➼❻■④➼❇❐➘➽✤➃✹dx, ❨➬✐❢✫, ✱✶✮t✐✇❄, ❳✱➨➬ ❨✽ù❽✞❿✘➼④✣✲. ➘✶➲❥❥➁➁⑨❿✘➬dx. ódx, dy❨➠❻■ ❷✲✞❖➪➷✛∧. ✤➃✇dx ∧ dyÚ❨➬➥☛❮❹ìê, ✜➌✯dx, dyýü ✹✤➃Ñ❳✽ù, ➷ê✶⑨✹✤➃➚Ü❮✹✘➬✐❻➱❤✡④➥☛. ó❨✵ ➪❿✘➬▲④➓❩, Ò✹❩➓✐❙❥❩✐❻■. ✧➼dx ∧ dy❨➬➷✛✹✬é ➪, dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (1.5) ❨➬➥☛Ò✽ù❀❭ê. ❖➃➷✛➌✯✹✬é➪④➏,❤❧dx ∧ dx = 0. ✴ ✧Þ, ❖➃dx ∧ dx = −dx ∧ dx, ➘✶dx ∧ dx = 0, ó✬é➪④➷✛❷✆, ➨dx ∧ dy✗➘★❥, ❖➃➷✛✹✬é➪④, dx2 = 0, ➘✶Ò➊❿➦✬④➚Ü ê. ❨ø③t④❙❥✇✮✐❙❥. ❨➬❙❥✐➱④. ❿✘➬➪✴④❼❳Õ➛ ★❥Ú✯➃ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.6) ✧✫➲➣④❻■⑦④✹➔❻■, ➘✶ dx = ∂x ∂x0 dx0 + ∂x ∂y0 dy0 , dy = ∂y ∂x0 dx0 + ∂y ∂y0 dy0 . (1.7) ✙ó⑦✐➷✛✘➷, dx0 ∧ dx0 = dy0 ∧ dy0 = 0. ✌dx0 ∧ dy0❖➃➷✛✹✬é➪ ④, ➘✶✹➛P➷✶x = x(x 0 , y0 ), y = y(x 0 , y0 ) ④➘✱✞ ∂(x,y) ∂(x0 ,y0) , ❨➬♥❘✹ ➘✱✞, ✹➃➬➔❻■➘➘④qï✯, ➘✶ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.8) ❨➬➛✜✹➲➣➢è■➛★❥④✘➬✞ø.➲➣⑧✇➢è■✞✹➛★❥④ ➏, ➬❛➈➷Þ➘✱✞. ➘✶❨➬❼❳Ò✹, é➢è■④Integral, ýè■✆ ④✯✝, ➨è■❘➾➠, Integral✹✘➬❻■õ✶✯, ➷✛✹✬é➪④. ➘✶ ✧✫õ➢è■❿3➅, 4➅tn ➅④✽✲, õ➢è■④Integral✱✗➘✹✐❙ ❥④õ✶✯, ➃➛★❥Ò✞❧éê. ❨➦❃❿✘➎❻➱④➃✵, ❖➃✴ ➒, ✜✞②Ò➛★❥④Ú✯④✣⑧, ✧➼➘✱✞✹t④, ❳❧④➏, ➷Þ➘ ✱✞④ýé❾, ✫➬✹t④. ❨➬✹➦➅✁❬❻➱④➚Ü, Ò✹✽✲❿➬ 4

微分是很妙的东西,因此你可以把积分号丢掉,就说我们拿dx,dy造一个外代数,对这个外代数有个外微分,外微分很简单,就是假使微分各项的条候, 其实是对每项系数微分,结作我得到一个多项式,这个多项式的次数高个.作地函数就变地一次微分式了,所以次数高一个,因此就作地原来是k次的话,得到一个k+1次的微分式.这个是格林定理中如何把曲线微分的微分式变地区域微分式,一重微分变地二重微分的公式这个就很好了,因地这里面有一个外代数,所以把这个微分式乘起来,用一个外乘法,微分的乘法是念对称.然后呢,现在我有一个微分,它把k次的外微分式变地k+1次的外微分式,这样子就把这个外微分式中间给了一个新的结构,可以微分,这个微分跟普通的微分不一样,它是把k次变地k+1次,微分一般么总是加次.这个外微分是最早条候 Frobenius, Darboux和我的老师 Elie Cartan引进来的.他们最初引进这个观反是对于一次微分式,是 Frobenius, Darboux引入的一次微分式.而 Elie c artan是法做的教授,是我的老师,他恐怕是十世纪,也就是上个世纪最伟大的几何学家,法做巴黎大学的教授我想这种教授很是模范,他不做别的活动,专做数学,条常功课是完全新的.有年,他给了一门课,是《解析力学》( Analytical Mechanics),他把外微分的观反从 Frobenius, Darboux从一次式的定义推广到高次式,所以整个的外微分是 Elie Cartan引进来的,这是有用的东西.这个外微分有奇怪的现象:是用两次之后等于0 0, 即这个外微分用两次等于0.我们要证明(1.1),就是对懂论一个k次微分式微分一次就变地k+1次,两次就变地k+2次微分式,它一定是0.要证明这一点,我证明对于函数对了,就行了.所以我要证明对于任意的函数∫,把这个d,外微分用两次,就等于0,即2f=0就行了.那么地什么呢?因地显然我要证明d=0,只要证明正2作用在只有一项上对就行了,这是因地它是线性的,所以如作线性一项有这个性质,那么整个的和就等于0.那么项的话,都是一个函数乘上一组dx,我现在选dx2,就是假定在高维,在n维 x就是x1到xn,在高维条,如作有一个函数ff是x1,…,xn的一个函数,对于这个函数,用外微分两次,一定等于0.事实上,因地外微分一次就得到a是f

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对x的一个偏微分,那么再用一次呢,它的系数就是从x;1到x微分a2,a 是∫的对x1的微分,所以这是f对从x;到x的二一阶微分 d(aid.ri=odx, A d ri (1.12 这个函数对于i,j是对称的.事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次序没有关系,是对称的.如果一个对称的函数是 dz a dy的系数,宗dx∧dy是反对称的,那么它就等于0了.d是一个外微分,是对外代数的多项式的个运算,这个运算运用两次就等于0了,这是一个了不得的关系.因为几何上讲,假使你有一个区域,你取这个区域的边界,再取这个边界的边界,就没有边界了.假使你取的边界是整个球,那么球没有边界.所以几何上讲有个运算求边界,求边界的话,用两次,就等于0.有一个区域的求一次边界是一个很好的区域,即不再有边界了,这个几何的性质跟外微分的性质是对偶的.求两次边界一定等于0,这是个几何的性质;求外微分两次等于0,是个分析的性质.这两个东西不是两个互不相关的东西,是完全对偶的,是回事.一个边界通常用符号O表示,边界两次等于0,即2=0.它跟外微分是对偶的.这是一个了不得的几何关系,了不得的数学上的关系,妙得不得了,因为求边界是一个几何的问题,更是一个整体的问题,一定关拿整个区域乘上边界,但是求外微分是个分析的问题,是个局部的问题.关外微分只关知道这个微分式在一点附近的性质就有了.这一个局部的运算跟一个整体的运算有这样对偶的关系是很难得的事情,是一个重关的几何现象,是重关的数学现象.为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广,就是 Stokes定理. Stokes定理讲,假使有一个区域,把它封闭上,Δ是这样一个k维的区域,所以它的边界就是边界△k.那么假使有一个微分式叫做a,它的次数是k-1(dega=k-1),于是我们就有这么一个关系:a在边界的积分等于d在△的积分, 这是重关极了的定理,通常用 Stokes名义. Stokes是英国的应用数学家,你们大概在这个课中已经听到 Stokes定理. Stokes定理就把两个普通的运算 7

éxi④✘➬➔❻■, ➃ò⑦✘✬✑, ➬④ø❥Ò✹✱xi txj❻■ai , ai ✹f④éxi ④❻■, ➘✶❨✹fé✱xitxj④✓⑦❻■: d(aidxi) = ∂ai ∂xj dxj ∧ dxi , (1.12) ❨➬❁❥é➉i, j✹é➪④. ✴✧Þ➲➣⑧✇✘➬❁❥❻■Ü✬④➏❐✬ ➇➊❿✞ø, ✹é➪④. ➌✯✘➬é➪④❁❥✹dx ∧ dy④ø❥, ✌dx ∧ dy✹ ✬é➪④, ➃➬Ò⑧➉0 ê. d ✹✘➬✐❻■, ✹é✐❙❥④õ✶✯④✘ ➬ä➤, ❨➬ä➤ä⑦Ü✬Ò⑧➉0 ê, ❨✹✘➬ê❳③④✞ø. ❖➃✁❬ Þ❨, ✧✫✜❿✘➬❑➢, ✜❘❨➬❑➢④✣➂, ò❘❨➬✣➂④✣➂, Ò ➊❿✣➂ê. ✧✫✜❘④✣➂✹r➬❊, ➃❊➊❿✣➂. ➘✶✁❬Þ❨❿ ✘➬ä➤❋✣➂, ❋✣➂④➏, ⑦Ü✬, Ò⑧➉0. ❿✘➬❑➢④❋✘✬✣➂ ✹✘➬✐P④❑➢, ý❳ò❿✣➂ê, ❨➬✁❬④✉➓❐✐❻■④✉➓✹é ❙④. ❋Ü✬✣➂✘➼⑧➉0,❨✹➬✁❬④✉➓; ❋✐❻■Ü✬⑧➉0, ✹ ➬■Û④✉➓. ❨Ü➬➚Ü❳✹Ü➬➄❳★✞④➚Ü, ✹q❭é❙④, ✹✘ ➹✴. ✘➬✣➂✴➒⑦♥❘∂✱✰, ✣➂Ü✬⑧➉0, ý∂ 2 = 0. ➬❐✐❻■ ✹é❙④. ❨✹✘➬ê❳③④✁❬✞ø, ê❳③④❥➛Þ④✞ø, ➱③❳③ ê, ❖➃❋✣➂✹✘➬✁❬④➥☛, ❮✹✘➬r✍④➥☛, ✘➼✞ür➬❑ ➢➷Þ✣➂, ❜✹❋✐❻■✹➬■Û④➥☛, ✹➬Û❭④➥☛. ✞✐❻■➄ ✞⑧✇❨➬❻■✯ó✘➎➂↔④✉➓Ò❿ê. ❨✘➬Û❭④ä➤❐✘➬r ✍④ä➤❿❨øé❙④✞ø✹✐✡③④✴❁, ✹✘➬➢✞④✁❬✙✻, ✹➢ ✞④❥➛✙✻. ➃✤➃é❙✑ÚÙ✧❨Ò✹➶õ➼➤④▼✒, Ò✹Stokes➼ ➤. Stokes➼➤❨, ✧✫❿✘➬❑➢, ➨➬❯✔Þ, ∆k✹❨ø✘➬k➅④❑ ➢, ➘✶➬④✣➂Ò✹✣➂∂∆k . ➃✧✫❿✘➬❻■✯✇✮α, ➬④✬❥ ✹k − 1(degα = k − 1), ➉✹➲➣Ò❿❨➃✘➬✞ø: α ó✣➂④è■⑧ ➉dα ó∆k④è■, Z ∂∆k α = Z ∆k dα. (1.13) ❨✹➢✞ôê④➼➤, ✴➒⑦Stokes Ö❇. Stokes ✹❪✮④❛⑦❥➛✛, ✜ ➣▲➊ó❨➬✶➙✳➨✫tStokes ➼➤. Stokes ➼➤Ò➨Ü➬✃✴④ä➤, 7

个是等于区域的边界的运算,一个是等于外微分的积分,这两个有简单的关系.假使我们把外微分的积分写成这个关系 (0△,a)=(△,da) (1 这个外微分成一个矢量空间( Vector Space),可以加减,这个区域也是另外个矢量空间,也可以加减假使这两个矢量空间经过积分,因此就有一个所谓的“对”(pair),这个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到个正数,得到一个数,那么 St okes定理就是说这个 paring使得对△的作用的算子与外微分d是伴随的( adjoint),是对偶的“对”,这就是 Stokes定理的意义.高维时,及任意维时都是对的龚升教授在他的小书里说,这个是微积分的基本定理.从它就给出我们普通微积分的基本定理.因为假使k=1, 那么我们的区域是一个线段,从a到b的线段,这个线段就是△,它的边界呢, 是b点减a点a在这里是一个函数,上次讲的d是个积分,在一维的情形就是用到直线上.因此在一维的情形△是个线段,它的边界是b-a,a是一个函数f,所以da是df,于是 (b-a,=(4,40)→f(b)-f(a)=/可f 这就是说函数在b点的值减去函数在a点的值等于可在这个线段上的积分, 这个就是所谓微积分的基本定理.也就是说右边是从a到b积分df,左边就是f(b)-f(a),这就是我们的基本定理,所以 Stokes定理是微积分的基本定理在高维的推广.因此在多元的微积分里头也是个进步,非常有用,因为外微分包含很多材料.有一个公式很容易证明的,就是你把两个外微分的式子a跟相乘,而求这个的外微分, d(a∧B)=da∧B+(-1)oa∧dB (1.16) 这个公式很容易证明,因为简单地只要假定a和β都单项就行了.这是由于对于a和β都是线性的.假定它们都是单项的,就可以写成dxr1,…,dxk,…,dxrn 前头乘个函数一算就可以得到了.所以它们这个乘法之间和外微分有这样一种简单的关系.这个关系不但如此,还可以更远的,因为假使有

✘➬✹⑧➉❑➢④✣➂④ä➤, ✘➬✹⑧➉✐❻■④è■, ❨Ü➬❿❀❭④ ✞ø. ✧✫➲➣➨✐❻■④è■❯➘❨➬✞ø, (∂∆, α) = (∆, dα). (1.14) ❨➬✐❻■➘✘➬✪Þ✽✲(Vector Space), ✱✶✜❃, ❨➬❑➢✎✹☞✐✘ ➬✪Þ✽✲,✎✱✶✜❃. ✧✫❨Ü➬✪Þ✽✲➨✱è■, ❖✩Ò❿✘➬➘ ➣④“é”(pair), ❨➬✪Þ✽✲④✘➎❩➬✪Þ✽✲✘➎❐ó✘å✹③t ✘➬t❥, ③t✘➬❥, ➃St okes➼➤Ò✹⑨❨➬paring✫③é∆④✯⑦ ④➤✝∂ ➛✐❻■d ✹✃➧④(adjoint), ✹é❙④“é”, ❨Ò✹Stokes➼➤④ ❄❇. ➦➅✣, ù⑧❄➅✣Ñ✹é④.×☞s●ó➷④❇❱➦⑨, ❨➬✹❻è ■④äý➼➤. ✱➬Ò➱ñ➲➣✃✴❻è■④äý➼➤. ❖➃✧✫k = 1, ➃➲➣④❑➢✹✘➬✧ã, ✱a tb④✧ã, ❨➬✧ãÒ✹∆, ➬④✣➂✑, ✹b➎❃a➎. α ó❨➦✹✘➬❁❥, Þ✬❨④dα✹➬è■, ó✘➅④❁♦Ò ✹⑦t❺✧Þ. ❖✩ó✘➅④❁♦∆✹➬✧ã, ➬④✣➂✹b − a, α✹✘➬❁ ❥f,➘✶dα✹df, ➉✹ (b − a, f) = (∆, df) =⇒ f(b) − f(a) = Z b a df. (1.15) ❨Ò✹⑨❁❥ób➎④❾❃❱❁❥óa➎④❾⑧➉dfó❨➬✧ãÞ④è■, ❨➬Ò✹➘➣❻è■④äý➼➤. ✎Ò✹⑨➁✣✹✱atbè■df, ✫✣Ò ✹f(b) − f(a), ❨Ò✹➲➣④äý➼➤, ➘✶Stokes➼➤✹❻è■④äý➼ ➤ó➦➅④▼✒. ❖✩óõ➹④❻è■➦❃✎✹➬➓❩, ✿➒❿⑦, ❖➃✐ ❻■Ý✾✐õ❛î. ❿✘➬Ú✯✐➂✹②Ò④, Ò✹✜➨Ü➬✐❻■④✯ ✝α❐β★➷, ✌❋❨➬④✐❻■, d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)degαα ∧ dβ, (1.16) ❨➬Ú✯✐➂✹②Ò, ❖➃❀❭➃➄✞✧➼α❩βÑ❭✶Òqê. ❨✹❸➉é ➉α❩βÑ✹✧✉④. ✧➼➬➣Ñ✹❭✶④, Ò✱✶❯➘dx1, · · · , dxk, · · · , dxn, ✄❃➷➬❁❥✘➤Ò✱✶③tê. ➘✶➬➣❨➬➷✛❷✲❩✐❻■❿❨ ø✘➠❀❭④✞ø. ❨➬✞ø❳❜➌✩, ↕✱✶❮Ï④, ❖➃✧✫❿✘ 8

《微分学》第一讲 微分与积分

《微分学》第一讲微分与积分