金融数学 教材《金融数学》 李向科主编 人民大学出版社,2004年 授课教师:李向科 Lixiangke(@tom.com
金融数学 教材《金融数学》 李向科主编 人民大学出版社，2004年 授课教师：李向科 Lixiangke@tom.com
第一章数学预备知识 ●后期学习所要使用的数学上的结论 ●复习和加强已经学过的数学的认讠 ●对部分数学概念的经济应用进行说明 分为以下4个部分: 线性代数基础 数学模型和建立模型 优化问题求解 效用函数(凸函数和凹函数)
第一章 数学预备知识 ⚫ 后期学习所要使用的数学上的结论 ⚫ 复习和加强已经学过的数学的认识 ⚫ 对部分数学概念的经济应用进行说明 ⚫ 分为以下4个部分： ⚫ 线性代数基础 ⚫ 数学模型和建立模型 ⚫ 优化问题求解 ⚫ 效用函数（凸函数和凹函数）
第一章第一节线性代数基础 ●普遍涉及到的和需要强调的概 正交矩阵,对称矩阵对角化,特征值 ●二次型,正定矩阵 ●欧氏空间: 向量的内积( inner product) 向量的长度,向量的距离 distance 柯西布尼亚科夫斯基不等式 向量的夹角,正交 orthogonal ●投影 Project,最小二乘法 least square
第一章第一节 线性代数基础 ⚫ 普遍涉及到的和需要强调的概念 ⚫ 正交矩阵，对称矩阵对角化，特征值 ⚫ 二次型，正定矩阵 ⚫ 欧氏空间： ⚫ 向量的内积（inner product） ⚫ 向量的长度,向量的距离distance ⚫ 柯西布尼亚科夫斯基不等式 ⚫ 向量的夹角，正交orthogonal ⚫ 投影Project，最小二乘法least square
其他两个内积的定义 ●两个随机变量Ⅹ和Y的内积 ●协方差:(XY)=cov(X,Y) ●相关系数: cov(A,Y ●两个函数x)和g(x)的内积 (f,g)=f(x)g(x)dx 在此基础上同样有:距离、长度、正交、 投影等几何空间中的概念
其他两个内积的定义 ⚫ 两个随机变量X和Y的内积 ⚫ 协方差：(X,Y)=cov (X,Y) ⚫ 相关系数： ⚫ 两个函数f(x)和g(x)的内积 在此基础上同样有：距离、长度、正交、 投影等几何空间中的概念 f g f x g x dx = 1 0 ( , ) ( ) ( ) X Y X Y cov( , ) = X Y X Y cov( , ) =
矩阵和行列式的微分 ●几个结论:X是向量,A是矩阵 OXy OX
矩阵和行列式的微分 ⚫ 几个结论：X是向量，A是矩阵 = = X X X X T T T A X AX = AX X X AX T = 2
第章第二节数学模型和模型的建立 ●模型来源于原型,对原型的抽象 ●数学模型需要量化和假设 数学模型表现形式可以是数学公式,包括等式或 不等式,也可以是图表 ●数学模型的最佳结果是数学公式 ●自然科学中数学公式较多,并且应用效果好 社会科学中数学公式少,且效果差 ●经济和金融学中有很多数学模型 ●本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型
第一章第二节数学模型和模型的建立 ⚫ 模型来源于原型，对原型的抽象 ⚫ 数学模型需要量化和假设 ⚫ 数学模型表现形式可以是数学公式，包括等式或 不等式，也可以是图表 ⚫ 数学模型的最佳结果是数学公式 ⚫ 自然科学中数学公式较多，并且应用效果好 ⚫ 社会科学中数学公式少，且效果差 ⚫ 经济和金融学中有很多数学模型 ⚫ 本教材后面几章介绍金融中的几个著名数学模型
建立模型的步骤 ●建模=建立模型或模型建立, modeling ●建模准备:了解实际问题的背景 ●模型假设:对问题进行简化 ●建立数学模型:用数学方式(公式、图表) 表现出实际问题,尽量简单化原则 ●模型求解:求解出结果,优化求解较多 模型分析:得到结论,做出预测 模型检验和修正:与实际比较,模拟实际
建立模型的步骤 ⚫ 建模＝建立模型或模型建立，modeling ⚫ 建模准备：了解实际问题的背景 ⚫ 模型假设：对问题进行简化 ⚫ 建立数学模型：用数学方式（公式、图表） 表现出实际问题，尽量简单化原则 ⚫ 模型求解：求解出结果，优化求解较多 ⚫ 模型分析：得到结论，做出预测 ⚫ 模型检验和修正：与实际比较，模拟实际
建模举例 ●问题的背景 ●资金总量为M,可投资于n+1种资 ●S;(i=0,1,,n),O表示存银行 ●S的平均收益率为r;,风险损失率为q1 ●总体风险=S,中的最大风险 ●投资S的交易费率为p,低于u按u计算 ●同期银行存款为rn=5%,无交易费用和损失 ●问题:如何总资金M如何投资,使得尽可能收 益大,总体风险尽可能小
建模举例 ⚫ 问题的背景： ⚫ 资金总量为M，可投资于n＋1种资产 ⚫ Si (i＝0，1，…，n)，0表示存银行 ⚫ Si 的平均收益率为r i ，风险损失率为qi ⚫ 总体风险＝Si 中的最大风险 ⚫ 投资Si 的交易费率为pi，低于ui 按ui计算 ⚫ 同期银行存款为r 0 =5%，无交易费用和损失 ⚫ 问题：如何总资金M如何投资，使得尽可能收 益大，总体风险尽可能小
对问题的分析 ●两个目标:净收益大,风险损失小 ●两个目标不可能同时满足 限定其中一个目标的范围,另一个尽可能最优 ●最优解是不唯一的
对问题的分析 ⚫ 两个目标：净收益大，风险损失小 ⚫ 两个目标不可能同时满足 ⚫ 限定其中一个目标的范围，另一个尽可能最优 ⚫ 最优解是不唯一的
用数学符号和公式表示模型 ●x表示购买的S资金量,c(x)是交易费 投资于S的净收益:R(x)=rx;c(x) 总净收益:R=∑ ●投资于S的风险损失:Q;(x)=qx 总风险损失:Q=mx()=①到x(x4) (0≤≤n) ●投资于S所需资金:F(x)=Xx+c(x) ●约束条件为总资金的限制 ●M=F=∑(x+c(x)
max ( ( )) max ( ) (0 ) (0 ) i i i n i i i n Q x x q = 用数学符号和公式表示模型 ⚫ xi表示购买的Si资金量，ci (xi )是交易费， ⚫ 投资于Si的净收益：Ri (xi ) ＝ r i xi－ ci (xi ) ⚫ 总净收益：R＝Σ ⚫ 投资于Si的风险损失：Qi (xi ) ＝ qi xi ⚫ 总风险损失：Q＝ ⚫ 投资于Si所需资金：Fi (xi ) =xi＋ ci (xi ) ⚫ 约束条件为总资金的限制 ⚫ M＝F＝Σ（xi＋ ci (xi )）