《微分学》第四讲曲面论(一).pdf_大学文库

第四讲曲面论(一) 2001年11月2日 1曲面的标架今天我们讲一点曲面论.微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很要紧的.这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经发生了.那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所以你看得见,你可以画图,可以在看得见它上头的曲线里的性质及其他什么的到高维以后,就看不见了.我的讲法跟书不一样,所以我想大家把这几页材料复印一下.这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的,它有个优点,就是快得很而且方法来得简单.那么什么是曲面呢?曲面就是图上个扭曲的东西,我把它的点的坐标表为两个变数的函数,这两个变数我叫做u,0.u,一般叫做参数( parameter),假使u,v变化的时候,这些点的轨迹就成了一个2维的曲面x(x,)=(x2(u,),x2(u,v),x3(u,v).于是因为有u,t, 所以你可以使得一个参数的值是常数,然后使得另一个参数变化.设u是常数,令u变化,所以就有一条曲线,它的参数是u.同样,你可以使得u不变,而v变化因此在曲面里头,有两组曲线,它的参数一组是υ等于常数, 组u是等于常数对于这两组曲线,每一条曲线在每一点都有一条切线.所以在一个点x,我们就有两条直线.我假定这两条直线不重合,换句话说,解析地讲,x,x不是同一个方向,不平直(线性)相关,其中x,x,就是x的矢量分别对u,求偏微分.或者我说,它的矢量积x1×x2≠0.假使这两个方向不重合,所以它们就张成一个平面,这个平面我叫做曲面在这一点的切面.这个切面在x这一点有个垂直的方向,这个方向的直线一般叫做法线.沿着法线的方向有一个单位矢量,因此也叫做法矢量.这个法矢量有两个选择,它可以向上走,也可以向下走,有两个方向刚好相反的选择.我选择它使得x,x2 跟法矢量是一个右手的坐标标架,是一个右手系.换句话说,我叫这个法矢

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了,把它的微商作为系数,大家传统不习惯于族次微分式.其实,族次微分式是把这个问题弄得简单了.我开头的时候曾经跟你们介绍过法国的大数学家 Darboux的书,它有为大本叫标《曲面论》.这种书很值得看,不过从惜是法文的.他不用微分式,他用的是选微分,所以有许多公式写起来长族些.用微分式的话,族次微分式写起来就简单多了.所以我这里用了族次微分式,用正交标矢,使曲面论非常简单.这些你们在普通微分几何书中很少能找到但是这种方法很有效,因为族切东西都简单了.我假定曲面是定向的,即在转的时候有族个反时钟方向.因为定了向之后,在族个点,它有两个切矢量的话,它的法矢量就完全确定了.因此,曲面定向之后,每族点族定有族个固定的单偏法矢量,不是它的负的矢量.那么,曲面上有族个很要紧的几何结构,就是族个点加族个单偏切矢量,即x跟e1,这是现代所谓怎维丛的最简单的情况,也是最要紧的情况.那么对于x+e1,它多了族个维数,因为固定了x之后,e1这个单偏切矢量还从以转圈,所以x的轨迹是2维的.那么每族个r的切矢量还得加1维.这是因为它从以是族个圆,转族个圆周,它是单偏的.所以这个空间是3维的,而这个3维空间我叫标E E={xe1x∈M}圆丛);dmE=3. (4.7) 有族个3维的空间或者说造出族个3维空间,这个观念要紧极了.现在许多数学,物理都需要这个观念.族旦你用原来的流形来描写几何不够,往往需要上面有族个圆圈,这个我们叫标怎维丛.这时圆周是族个怎维,因此这个怎维丛叫标圆丛.因为怎维是圆,所以E是由流形M(曲面我叫它为M,是族个流形)造出来的族个圆丛.那么在族点要有e1,就有e2了.这是因为e2是跟它垂直的族个单偏切矢量,同时从以由原来的定向确定下来因此e1,e2就定下来了,e3是法矢量当然也定了.所以e1这个单偏切矢量跟标矢是族回通有了单偏切矢量也从以构造族个标矢,当然有了标矢,你就从以取维族个切矢量为e1.所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标矢e1,e2,e3所所的空间.于是我们就有上面的公式(47).我说E是3维的,E有族个映在,映到原来的曲面M:因为你有这个切矢量,它有族个原点x,由re1把它映为x,这是族个从E到M的映在.要研所曲面的微分几何,单从曲面不够,族定要用E

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E跟原来的曲面有密切的关系,刚才我讲了讲种几何的关系.用E的好处在于,E的空间是3维的空间,它上头有一次微分式,讲些微分式在E上头都是确定的.那么除了我讲的e1,e2,e3讲几个单位矢量,当然曲面的点x也是一个矢量,它的位置矢量也是一个矢量.x是u,v的函数,dx当然是u,的一个次微分式,它也可以表为e1,e2,e3的一个线性组合.但是线际上,它一定是e1,e2的组合,讲是因为e3是法矢量,所以它一定是在切面上头,而e1,e2都是切矢量,所以dx一定是e1,e2的线性组合,它的系数我叫做1,w,即得到我们第一个公式 d=w1e1+w'2e2 所以我现在有5个一次微分式:u1,2,w13,w23,12.讲组微分式非常要紧,它们都有简单的几何意义.讲个就说明微分式讨论几何性进使得问题简单而且容易.现在我们就有公式(4.8).我们将公式(4.3).(44)作为我们的第二个公式.我在前面讲过,微分式有个最大的优点,就是微分两次后是0,即对于dx,d(dx)=0.对于任何函数的外微分两次一定等于0,讲就相当于在空间任意取一个区域,再取它的边界,而边界不再有边界.取边界取两次一定是等于0.因为讲个性进,讲种数学结构就有所谓的同调( homology)性进.现在你要搞什么东西,都是同调性进,非常要紧.不过我们现在把公式(4.8)左边dx再d一下子就等于0,而把右边的展开就得d( onegai1)+d(u2e2),即 (u1en)+d(u2e2)=0, (4.9) 注意当外微分前面有一个一次的话,微分第二个因子要改号.总而言之,你就把它们微分了.微分之后,就发现所得到的式子是e1,e2,e3的线性组合,那么它的系数是二次微分式.而对于讲个系数是二次微分式的矢量要等于0的话,所有的系数都要等于0.于是你如果令e1,e2的系数为0的话,就得到我下面的第三个公式 u2Au12;du2=u1∧u12 (4.10) 我不详细把它做了,讲个证明很简单,可立即可得.讲是要紧极了的一个公式.讲些公式你们也许觉得新,因为在普通书上看不见,讲是由于普通不 5

E❐➷✉④▼➪❿➲★④✞ø, ➛❜➲❨ê❨➠✁❬④✞ø. ⑦E④Pÿó ➉, E ④✽✲✹3➅④✽✲, ➬Þ❃❿✘✬❻■✯, ❨❏❻■✯óEÞ❃Ñ✹ ❤➼④. ➃øê➲❨④e1, e2, e3❨✁➬❭➔✪Þ, ❤❧▼➪④➎x✎✹✘➬ ✪Þ, ➬④➔➌✪Þ✎✹✘➬✪Þ. x ✹u, v④❁❥, dx ❤❧✹u, v ④✘➬ ✘✬❻■✯, ➬✎✱✶✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜❭. ❜✹✧✓Þ, ➬✘➼ ✹e1, e2 ④✜❭, ❨✹❖➃e3 ✹✛✪Þ, ➘✶➬✘➼✹ó★➪Þ❃, ✌e1, e2Ñ ✹★✪Þ, ➘✶dx✘➼✹e1, e2④✧✉✜❭, ➬④ø❥➲✇✮ω1, ω2, ý③t➲ ➣➅✘➬Ú✯: dx = ω1e1 + ω2e2. (4.8) ➘✶➲✙ó❿5➬✘✬❻■✯: ω1, ω2, ω13, ω23, ω12. ❨✜❻■✯✿➒✞➏, ➬ ➣Ñ❿❀❭④✁❬❄❇. ❨➬Ò⑨Ò❻■✯ÿ❳✁❬✉➓✫③➥☛❀❭✌ ✪➂✹. ✙ó➲➣Ò❿Ú✯( 4.8). ➲➣❘Ú✯(4.3),(4.4)✯➃➲➣④➅✓➬ Ú✯. ➲ó✄➪❨✱, ❻■✯❿➬✦▲④⑨➎, Ò✹❻■Ü✬⑨✹0, ýé ➉dx, d(dx) = 0 . é➉⑧❬❁❥④✐❻■Ü✬✘➼⑧➉0, ❨Ò★❤➉ó✽ ✲⑧❄❘✘➬❑➢, ò❘➬④✣➂, ✌✣➂❳ò❿✣➂. ❘✣➂❘Ü✬✘➼ ✹⑧➉0. ❖➃❨➬✉➓, ❨➠❥➛❼èÒ❿➘➣④✸➤(homology)✉➓. ✙ ó✜✞➫✤➃➚Ü, Ñ✹✸➤✉➓, ✿➒✞➏. ❳✱➲➣✙ó➨Ú✯(4.8)✫ ✣dx òd✘✆✝Ò⑧➉0, ✌➨➁✣④✵✌Ò③d( omega1e1) + d(ω2e2), ý d(ω1e1) + d(ω2e2) = 0, (4.9) Õ❄❤✐❻■✄➪❿✘➬✘✬④➏, ❻■➅✓➬❖✝✞➉❘. ✎✌Ó❷, ✜ Ò➨➬➣❻■ê. ❻■❷⑨, Ò✕✙➘③t④✯✝✹e1, e2, e3④✧✉✜❭, ➃➬④ø❥✹✓✬❻■✯. ✌é➉❨➬ø❥✹✓✬❻■✯④✪Þ✞⑧➉0④ ➏, ➘❿④ø❥Ñ✞⑧➉0. ➉✹✜➌✯✌e1, e2④ø❥➃0 ④➏, Ò③t➲✆ ➪④➅➤➬Ú✯: dω1 = −ω2 ∧ ω12; dω2 = ω1 ∧ ω12. (4.10) ➲❳✲û➨➬✮ê, ❨➬②Ò✐❀❭, ✱➪ý✱③. ❨✹✞➏ôê④✘➬Ú ✯. ❨❏Ú✯✜➣✎➂ú③❝, ❖➃ó✃✴❱Þ✗❳❉, ❨✹❸➉✃✴❳ 5

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这是照我刚才证明的是由几何完全确定的,这是因为12是完全确定的线使De1=0的话,我明说这个矢量是 Levi-Civita意义下平行,即我说在这种情形下它明是平行的.它是平行的,这是有新的意义在 Euclid儿何的时候,这明是普通平行,现在是普通平行的推广,也明是De1=0时是 Levi-Civita平行.所以在曲面上,你用一次微分式,学管这个平行比较难懂.令De1=0的话,对于矢量是个微分方程.这个微分方程不一定有解,但是线使你有一条曲线,你明可以沿着这条曲线求解.对于曲线来说,所有的这些函数都是t的函数.沿着这条曲线求解,可以求到解.至于这个条件,我说这个矢量明是Levi- Civita平行.所以从这个定义可以了解这个平行性跟曲线的选择有比.线使有一个点,另外还有一点,那么你联这两点有两条不同的曲线,你把同一个矢量沿头一条曲线平行,并沿第二条曲线平行,看到的一般不是同个矢量.至于这个平行性与曲线的选择有比系,是普通的平行性的推广.普通的时候,平行性在 Euclid平面里上是绝对的和定了的,现在这个时候是跟曲线的选择有比系,这明是联络.我刚才把x这个矢量d两次等于0.而同着的,我可以对e这个矢量也d两次,即d(de)=0.因此算出来d(de)=0.,明有: duiy=ik∧wkj 415) 实际上,很简单地,我对d=e求微分.然后因为是一次微分式,所以应该有个负号,即负的山∧deg,于是有 d(dei)=dwijei-wij A dej=0 但是de;=ukek,所以头一个duve;改为 dikey没有比系,这是因为你对于j,k是求和,可写成j,也可写成k,都是从1到3,无所谓的.因此明得到公式(4.15).这是一个基本的公式,看着麻烦,其实很简单.尤其是在3维的情形,很简单.实际上,右边讲起来是3项之和,但是这3项是对于j求和.因为是反对称的,所以我们来看k,≠k,或者明来看看u13.在下面那个公式看 d omega13应该是心j3,但是实际上,j只能等于2,这是因为j=1时11=0,j=3时u3=0.所以右边看着是这么着之和,其实明只 7

❨✹▲➲➛❜②Ò④✹❸✁❬q❭❤➼④, ❨✹❖➃ω12✹q❭❤➼④. ✧ ✫De1 = 0④➏, ➲Ò⑨❨➬✪Þ✹Levi-Civita❄❇✆➨q, ý➲⑨ó❨➠❁ ♦✆➬Ò✹➨q④. ➬✹➨q④, ❨✹❿❝④❄❇. óEuclid ✁❬④✣⑧, ❨ Ò✹✃✴➨q, ✙ó✹✃✴➨q④▼✒, ✎Ò✹De1 = 0✣✹Levi-Civita➨ q. ➘✶ó▼➪Þ, ✜⑦✘✬❻■✯, ➛☛❨➬➨q✞✈✡➹. ✌De1 = 0④ ➏, é➉✪Þ✹➬❻■✵➬. ❨➬❻■✵➬❳✘➼❿❽, ❜✹✧✫✜❿✘✣ ▼✧, ✜Ò✱✶×ø❨✣▼✧❋❽. é➉▼✧✉⑨, ➘❿④❨❏❁❥Ñ✹t④ ❁❥. ×ø❨✣▼✧❋❽, ✱✶❋t❽. ➊➉❨➬✣●, ➲⑨❨➬✪ÞÒ ✹Levi-Civita ➨q. ➘✶✱❨➬➼❇✱✶ê❽❨➬➨q✉❐▼✧④➔✡❿ ✞. ✧✫❿✘➬➎, ☞✐↕❿✘➎, ➃✜➱❨Ü➎❿Ü✣❳✸④▼✧, ✜➨ ✸✘➬✪Þ×❃✘✣▼✧➨q, ❄×➅✓✣▼✧➨q, ✗t④✘➘❳✹✸✘ ➬✪Þ. ➊➉❨➬➨q✉➛▼✧④➔✡❿✞ø, ✹✃✴④➨q✉④▼✒. ✃ ✴④✣⑧, ➨q✉óEuclid ➨➪➦Þ✹ýé④❩➼ê④, ✙ó❨➬✣⑧✹❐ ▼✧④➔✡❿✞ø, ❨Ò✹➱❞. ➲➛❜➨x ❨➬✪ÞdÜ✬⑧➉0. ✌✸ø ④, ➲✱✶éei❨➬✪Þ✎d Ü✬, ýd(dei) = 0. ❖✩➤ñ✉d(dei) = 0, Ò ❿: dωij = ωik ∧ ωkj . (4.15) ✧✓Þ, ✐❀❭➃, ➲édei = ωijej ❋❻■. ❧⑨❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ➘✶ ❛➈❿➬❿❘, ý❿④ωij ∧ dej , ➉✹❿ d(dei) = dωijej − ωij ∧ dej = 0. (4.16) ❜✹dej = ωjkek, ➘✶❃✘➬dωijej➉➃dωikek ➊❿✞ø, ❨✹❖➃✜é ➉j, k✹❋❩, ✱❯➘j, ✎✱❯➘k, Ñ✹✱1t3, ➹➘➣④. ❖✩Ò③t Ú✯(4.15). ❨✹✘➬äý④Ú✯, ✗ø❢✫, Ù✧✐❀❭. ❷Ù✹ó3➅ ④❁♦, ✐❀❭. ✧✓Þ, ➁✣❨å✉✹3✶❷❩, ❜✹❨3✶✹é➉j ❋ ❩. ❖➃ω ✹✬é➪④, ➘✶➲➣✉✗ωik, i 6= k, Ý❱Ò✉✗✗ω13. ó✆ ➪➬Ú✯✗d omega13 ❛➈✹ω1jωj3, ❜✹✧✓Þ, j➄✕⑧➉2, ❨✹❖ ➃j = 1✣ω11 = 0, j = 3 ✣ω33 = 0. ➘✶➁✣✗ø✹❨➃ø❷❩, Ù✧Ò➄ 7

是u+∞2那么,我也可以对e3这它矢量取-(de3,dx).照我刚才所写的, 就等于au2+2b12+c2,这也是一它2次微分式.这它一动叫做第二基本式.那么有一它第一基本式,还有它第二基本式,你就取,的特征值.特征值的和就是a+c,特征值的积就是ac-b2.一动地,H="叫做曲面的中曲率,K=aC-b2叫做曲面的Gaus曲率.这里要紧极了,Gaus率有许倍有趣的来质.因此这是怎么样从5它一次微分式由,们的线来你单的关系就得到曲面的不变式.中曲率跟Gaus曲率这两它不变式描写曲面的几何来质.比方说,可以证明Gass曲率是正的话,曲面是在的,Gaus率是有的话,曲面就有第点,就象马第点.许倍几何来质都可以用这两它曲率来描写,所以是曲面里头两它最主要的不变式.这它不变式是情数.以后我们得到的是一次微分式,而一次微分式不大容易想象所竟是什么意思,交由的运算可以得出情数来.这情数确然是了解得比较空楚,便得到中曲率跟 Gauss曲率.中曲率等于0,一动叫做极小曲面.所谓的极小曲面,举例就是你把一条封闭的曲线放在肥子水里头所成的曲面就是面积最小的曲面 ,的中曲率为0.所以这有简全的几何意义,最素,甚至现在都有很倍关于极小曲面的研所.Gaus曲率更要紧, Gauss l|率是等于u13∧w23.在曲面量也样有Gaus映射.曲面每点有一它全位法矢量,把这它全位法矢量看为它半径为1的球面的点,就把曲面映射到球面量书了.每它点有一它全位法矢量,你在0点画一它全位法矢量跟,平行,的端点就在全位球面量.那么对于所有的点都做这它少下的话,就在全位球面量得到一它区域。在这它映射下,两它面积元素的比,即,的像 imag e)的面积元素跟原来面积元素的比就是Gaus曲率.这样一下子就看出来了.所以这它Gaus曲率有很简全的几何意义.这时,曲面的讨论是一它推垂.曲面的时候有曲线,曲线也有它Gaus映射.那它Gaus映射是取全位切矢量,其实也可以取全位法矢量那么曲线的时候,Gaus映射把切线映射到全位圆量头,把全位圆的度量被原来这它度量除就是曲率.现在就把这它观念推垂到高维,推垂到2维,即推垂到曲面,所以我由这它曲面Gaus映射到一它全位球面量头,这两它面积的比就是Gaus)曲率.所以这是一它非常自然的几何度量.现在有它很要紧的关系.量头有duik=wi∧山k,现在我把这它公式用到i2,,k=1,2,于

✹ω 2 1 + ω 2 2 . ➃, ➲✎✱✶ée3❨➬✪Þ❘−(de3, dx). ▲➲➛❜➘❯④, ➬ Ò⑧➉aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 , ❨✎✹✘➬2✬❻■✯. ❨➬✘➘✇✮➅✓äý ✯. ➃❿✘➬➅✘äý✯, ↕❿➬➅✓äý✯, ✜Ò❘➬④✁♥❾. ✁♥ ❾④❩Ò✹a + c, ✁♥❾④èÒ✹ac − b 2 . ✘➘➃, H = a+c 2 ✇✮▼➪④➙ ▼●, K = ac − b 2 ✇✮▼➪④Gauss▼●. ❨➦✞➏ôê, Gauss▼●❿➂ õ❿❯④✉➓. ❖✩❨✹✍➃ø✱5➬✘✬❻■✯❸➬➣④✧✉✜❭④✞ø Ò③t▼➪④❳★✯. ➙▼●❐Gauss▼●❨Ü➬❳★✯➹❯▼➪④✁❬ ✉➓. ✞✵⑨, ✱✶②ÒGauss ▼●✹t④➏, ▼➪✹ó④, Gauss▼●✹❿ ④➏, ▼➪Ò❿➅➎, Ò✻❥➅➎. ➂õ✁❬✉➓Ñ✱✶⑦❨Ü➬▼●✉➹ ❯, ➘✶✹▼➪➦❃Ü➬✦❒✞④❳★✯. ❨➬❳★✯✹❁❥. ✶⑨➲➣ ③t④✹✘✬❻■✯, ✌✘✬❻■✯❳▲➂✹✳✻➘➽✹✤➃❄❻, ❜❸ ➬④ä➤✱✶③ñ❁❥✉. ❨❁❥❤❧✹ê❽③✞✈✽ù, ✧③t➙▼● ❐Gauss ▼●. ➙▼●⑧➉0, ✘➘✇✮ô❇▼➪. ➘➣④ô❇▼➪, Þ➽Ò ✹✜➨✘✣❯✔④▼✧✽ó❂✝②➦❃➘➘④▼➪Ò✹➪è✦❇④▼➪, ➬④➙▼●➃0. ➘✶❨❿❀❭④✁❬❄❇, ✦↔, ☎➊✙óÑ❿✐õ✞➉ô ❇▼➪④Ï➘. Gauss▼●❮✞➏, Gauss▼●✹⑧➉ω13 ∧ ω23. ó▼➪Þ✎ ✘ø❿Gauss♥ó. ▼➪➎➎❿✘➬❭➔✛✪Þ, ➨❨➬❭➔✛✪Þ✗➃✘ ➬❒➺➃1 ④❊➪④➎, Ò➨▼➪♥ót❊➪Þ❱ê. ➎➬➎❿✘➬❭➔✛ ✪Þ, ✜ó0➎➌✘➬❭➔✛✪Þ❐➬➨q, ➬④à➎Òó❭➔❊➪Þ. ➃ é➉➘❿④➎Ñ✮❨➬è✆④➏, Òó❭➔❊➪Þ③t✘➬❑➢. ó❨➬♥ ó✆, Ü➬➪è➹↔④✞, ý➬④✹(imag e)④➪è➹↔❐➷✉➪è➹↔④ ✞Ò✹Gauss ▼●. ❨ø✘✆✝Ò✗ñ✉ê. ➘✶❨➬Gauss▼●❿✐❀❭ ④✁❬❄❇. ❨✣, ▼➪④ÿ❳✹✘➬▼✒. ▼➪④✣⑧❿▼✧, ▼✧✎❿✘ ➬Gauss♥ó. ➬Gauss♥ó✹❘❭➔★✪Þ, Ù✧✎✱✶❘❭➔✛✪Þ. ➃▼✧④✣⑧, Gauss♥ó➨★✧♥ót❭➔❐Þ❃, ➨❭➔❐④ÝÞú ➷✉❨➬ÝÞøÒ✹▼●. ✙óÒ➨❨➬✡✬▼✒t➦➅, ▼✒t2➅, ý▼ ✒t▼➪, ➘✶➲❸❨➬▼➪Gauss♥ót✘➬❭➔❊➪Þ❃, ❨Ü➬➪è ④✞Ò✹Gauss▼●. ➘✶❨✹✘➬✿➒✞❧④✁❬ÝÞ. ✙ó❿➬✐✞➏ ④✞ø. Þ❃❿dωik = ωij ∧ ωjk, ✙ó➲➨❨➬Ú✯⑦tω12, i, k = 1, 2, ➉ 9

是d12=u13Au32.但是u是反对称的,所以u32=-23.这里a13Au23就是ac-b2,也就是Gaus曲率.所以我就得到公式 du12=-Ku1∧u2, 其中,K是 GaussI曲率.这是一个令Gass非常惊讶的公式.所以Gaus把这个定理叫做 Theorem egregious, egregious是拉丁字母,意思指这是一个了不得的定理.为什么呢?它证明了 Gauss|率只跟曲面的 Riemann度量有关,跟这个曲面在空间的位置无关.因为在这个公式里头,12已经证明了只跟曲面的 Riemann度量有关.然后1Aw就是在这个度量下的面积元素,当然只跟ds2有关,即只跟 RiemanN度量有关.所以虽然Gas率是个曲面在空间里头的一个不变式,但是它只跟曲面的 Riemann度量有关换句话说,你把曲面变换( deform)一下子,使得 Riemann度量不变, Gauss 率就不变.所以Gaus率有这么重要的性质.我想Gaus做了许多要紧的和漂亮的结果,这个定理显然是他特别欣赏的一个结果,是很特别的个结果.实际上,我们就把这些方程用外微分微分一下子,得到基本公式,然后就得到这些公式.下次,我要讲由这个公式证明 Gauss-Bonnet公式. Gauss.- Bonnet公式是推广三角形三角之和等于180°,将这个公式推广到曲面的情形. Gauss-Bonnet公式的应用非常之广.证明的时候,我始终利用圆丛.这圆丛稍微用得复杂一些:假定这个丛是一个复的线从( complex line).那么这个复线丛的纤维是条复线,在复线里头,绝对值等于1的复数是一个圆周,就是圆丛.这个观念在物理上是基本的.现在大家搞得很多的是辛几何( symplectic geometry).单有辛结构( symplectic structure)不太有用,你要把辛几何用到量子力学的话,需要加上一个复线丛,就是我们现在所讲的东西的一个推广.我们现在讲2维,一到物理的话,空间与时间加在一起是4维,所以你基本的空间是4维,在4维空间当中有一个复线丛因此就得到这个Gaus曲率.现在这个曲率是2次微分式,它d一下子等于0, 就得到 Maxwel方程.所以微积分在几何上应用是许多物理的基础.最近我在《科学》杂志上写了一篇文章,叫做《 Gauss-Bonnet公式与 Maxwell方程》,你们如果能找到,可以去看一看.我想把这篇文章拿来给大家,但是 10

✹dω12 = ω13 ∧ ω32. ❜✹ω✹✬é➪④, ➘✶ω32 = −ω23. ❨➦ω13 ∧ ω23 Ò ✹ac − b 2 , ✎Ò✹Gauss▼●. ➘✶➲Ò③tÚ✯ dω12 = −Kω1 ∧ ω2, (4.22) Ù➙, K✹Gauss▼●. ❨✹✘➬✌Gauss ✿➒➥➬④Ú✯. ➘✶Gauss➨❨ ➬➼➤✇✮Theorem Egregious, Egregious✹♥➯✠ñ, ❄❻➁❨✹✘➬ê ❳③④➼➤. ➃✤➃✑? ➬②ÒêGauss▼●➄❐▼➪④Riemann ÝÞ❿ ✞, ❐❨➬▼➪ó✽✲④➔➌➹✞. ❖➃ó❨➬Ú✯➦❃, ω12✳➨②Ò ê➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ❧⑨ω1 ∧ ω2Ò✹ó❨➬ÝÞ✆④➪è➹ ↔, ❤❧➄❐ds2❿✞, ý➄❐RiemannÝÞ❿✞. ➘✶➥❧Gauss▼●✹✘ ➬▼➪ó✽✲➦❃④✘➬❳★✯, ❜✹➬➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ➛é➏⑨, ✜➨▼➪★➛(deform)✘✆✝, ✫③RiemannÝÞ❳★, Gauss▼ ●Ò❳★. ➘✶Gauss▼●❿❨➃➢✞④✉➓. ➲✳Gau ss✮ê➂õ✞➏ ④❩↕à④❼✯, ❨➬➼➤✗❧✹➷✁✴❛Ü④✘➬❼✯, ✹✐✁✴④ ✘➬❼✯. ✧✓Þ, ➲➣Ò➨❨❏✵➬⑦✐❻■❻■✘✆✝, ③täýÚ ✯, ❧⑨Ò③t❨❏Ú✯. ✆✬, ➲✞❨❸❨➬Ú✯②ÒGauss-BonnetÚ ✯. Gauss-BonnetÚ✯✹▼✒➤♥♦➤♥❷❩⑧➉180o , ❘❨➬Ú✯▼✒t ▼➪④❁♦. Gauss-BonnetÚ✯④❛⑦✿➒❷✒. ②Ò④✣⑧, ➲✮➟➻ ⑦❐✲. ❨❐✲ã❻⑦③❹ì✘❏: ✧➼❨➬✲✹✘➬❹④✧✲(complex line). ➃❨➬❹✧✲④✍➅✹✣❹✧, ó❹✧➦❃, ýé❾⑧➉1④❹❥ ✹✘➬❐➧, Ò✹❐✲. ❨➬✡✬óÔ➤Þ✹äý④. ✙ó▲✛➫③✐õ ④✹❜✁❬( symplectic geometry). ❭❿❜❼è(symplectic structure)❳Ô ❿⑦, ✜✞➨❜✁❬⑦tÞ✝➴➛④➏, ❽✞✜Þ✘➬❹✧✲, Ò✹➲➣ ✙ó➘❨④➚Ü④✘➬▼✒. ➲➣✙ó❨2➅, ✘tÔ➤④➏, ✽✲➛✣✲ ✜ó✘å✹4➅, ➘✶✜äý④✽✲✹4➅, ó4 ➅✽✲❤➙❿✘➬❹✧✲. ❖✩Ò③t❨➬Gauss ▼●. ✙ó❨➬▼●✹2✬❻■✯, ➬d✘✆✝⑧➉0, Ò③tMaxwell✵➬. ➘✶❻è■ó✁❬Þ❛⑦✹➂õÔ➤④äú. ✦↔ ➲ó✕✮➛✖ì➇Þ❯ê✘➓➞✾, ✇✮✕Gauss-BonnetÚ✯➛Maxwell✵ ➬✖, ✜➣➌✯✕■t, ✱✶❱✗✘✗. ➲✳➨❨➓➞✾ü✉➱▲✛, ❜✹ 10

《微分学》第四讲 曲面论(一)

《微分学》第四讲曲面论(一)