第四讲曲面论(一) 2001年11月2日 1曲面的标架 今天我们讲一点曲面论.微积分在曲面上应用的研究在整个数学里头是很 要紧的.这是因为在曲面论中,曲面的这些性质往往扩充到其他更广的情 形,而这些更广的情形变化到曲面的时候也有很多性质,在曲面的情形已经 发生了.那么,曲面有个优点,就是我们假定它是在3维空间里头,所以你看 得见,你可以画图,可以在看得见它上头的曲线里的性质及其他什么的 到高维以后,就看不见了.我的讲法跟书不一样,所以我想大家把这几页材 料复印一下.这个材料大概应该在普通微分几何书上找不到的,它有个优 点,就是快得很而且方法来得简单.那么什么是曲面呢?曲面就是图上 个扭曲的东西,我把它的点的坐标表为两个变数的函数,这两个变数我叫 做u,0.u,一般叫做参数( parameter),假使u,v变化的时候,这些点的轨迹 就成了一个2维的曲面x(x,)=(x2(u,),x2(u,v),x3(u,v).于是因为有u,t, 所以你可以使得一个参数的值是常数,然后使得另一个参数变化.设u是 常数,令u变化,所以就有一条曲线,它的参数是u.同样,你可以使得u不 变,而v变化因此在曲面里头,有两组曲线,它的参数一组是υ等于常数, 组u是等于常数对于这两组曲线,每一条曲线在每一点都有一条切线.所以 在一个点x,我们就有两条直线.我假定这两条直线不重合,换句话说,解析 地讲,x,x不是同一个方向,不平直(线性)相关,其中x,x,就是x的矢量分 别对u,求偏微分.或者我说,它的矢量积x1×x2≠0.假使这两个方向不重 合,所以它们就张成一个平面,这个平面我叫做曲面在这一点的切面.这个 切面在x这一点有个垂直的方向,这个方向的直线一般叫做法线.沿着法线 的方向有一个单位矢量,因此也叫做法矢量.这个法矢量有两个选择,它可 以向上走,也可以向下走,有两个方向刚好相反的选择.我选择它使得x,x2 跟法矢量是一个右手的坐标标架,是一个右手系.换句话说,我叫这个法矢
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量e3,并假设e3是个单位矢量,于是e3就满足条件 (e,e3)=1(单位矢量),e3-pxnx×x2 (4.1) 那么在这样的选择之下,(xn,xn,e3)就是右手系.这时,行列式det(xn,xn,e3)是 正的,即det(xn,xn,e3)>0,所以是右手系.现在,我的这个方法跟一般的方 法是不同的.一般的书上往往用vn,U参数发展整个的曲面的微分几何,因此 就比较长了.他们这里有一个缺点:因为xn跟x2不一定垂直,那么我们的兴 趣是在于 Euclid几何有一个度量,所以他们用的是非垂直的坐标系,而几何 是一样的,但是分析方面的公式就比较复杂了.而我取e1,e2是单位矢量,它 们是互相垂直的.所以现在e1,e2,e3三个矢量都是单位矢量,而且互相垂直, 并且因为要它是一个右手系,所以它的行列式应该是正的.但是因为这三个 矢量都是互相垂直的单位矢量,所以行列式等于±1,它的平方等于1.所以 我现在是叫这个行列式等于1的,因此这是一个正交的坐标系,它的行列式 等于1,于是 e1,e2,e3(右正交标架):(e,e3)=,(e1,e2,e3)=1,1≤i,j,k≤3.(4.2) 2曲面的微分式及其几何 那么微分几何怎么样呢?这时就不只是有一个坐标系,而是有一族( amily)坐 标系,还有几个变数(变的参数).那么最要紧的一个现象就是一个坐标系跟 它临近的坐标系是怎么一个关系.要了解这个关系是微分几何最主要的问 题.所以我现在有一族坐标系,比方优是有两个变数u,U,甚至可以有多个变 数,那么要找这个临近坐标系跟它的关系,我就把它微分了.现在我这个x是 矢量,e也都是矢量,所以我就求求看dx,看d跟de.这是一个矢量的微分.但 是因为e1,e2,e3是一个标架,是线性无关的,而我们是在3维空间中讨论的 所以任何一个矢量必然是e1,e2,e3的线性组合.所以我可以把le;写成 2
Þe3, ❄✧÷e3✹➬❭➔✪Þ, ➉✹e3Ò✇✖✣● (e3, e3) = 1 (❭➔✪Þ), e3 = xu × xv |xu × xv| 2 . (4.1) ➃ó❨ø④➔✡❷✆, (xu, xv, e3)Ò✹➁❈ø. ❨✣, qï✯det(xu, xv, e3)✹ t④, ýdet(xu, xv, e3) > 0, ➘✶✹➁❈ø. ✙ó, ➲④❨➬✵✛❐✘➘④✵ ✛✹❳✸④. ✘➘④❱Þ⑨⑨⑦u, v ❦❥✕✵r➬④▼➪④❻■✁❬, ❖✩ Ò✞✈➓ê. ➷➣❨➦❿✘➬❜➎: ❖➃xu ❐xv ❳✘➼✒❺, ➃➲➣④❧ ❯✹ó➉Euclid ✁❬❿✘➬ÝÞ, ➘✶➷➣⑦④✹✿✒❺④✰✮ø, ✌✁❬ ✹✘ø④, ❜✹■Û✵➪④Ú✯Ò✞✈❹ìê. ✌➲❘e1, e2✹❭➔✪Þ, ➬ ➣✹➄★✒❺④. ➘✶✙óe1, e2, e3➤➬✪ÞÑ✹❭➔✪Þ, ✌✪➄★✒❺, ❄✪❖➃✞➬✹✘➬➁❈ø, ➘✶➬④qï✯❛➈✹t④. ❜✹❖➃❨➤➬ ✪ÞÑ✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➘✶qï✯⑧➉±1, ➬④➨✵⑧➉1. ➘✶ ➲✙ó✹✇❨➬qï✯⑧➉1 ④, ❖✩❨✹✘➬t❜④✰✮ø, ➬④qï✯ ⑧➉1, ➉✹ e1, e2, e3 (➁t❜✮✪) : (ei , ej ) = δij , (e1, e2, e3) = 1, 1 ≤ i, j, k ≤ 3. (4.2) 2 ▼➪④❻■✯ùÙ✁❬ ➃❻■✁❬✍➃ø✑? ❨✣Ò❳➄✹❿✘➬✰✮ø, ✌✹❿✘✘(family)✰ ✮ø, ↕❿✁➬★❥(★④❦❥). ➃✦✞➏④✘➬✙✻Ò✹✘➬✰✮ø❐ ➬ø↔④✰✮ø✹✍➃✘➬✞ø. ✞ê❽❨➬✞ø✹❻■✁❬✦❒✞④➥ ☛. ➘✶➲✙ó❿✘✘✰✮ø, ✞✵⑨✹❿Ü➬★❥u, v, ☎➊✱✶❿õ➬★ ❥, ➃✞■❨➬ø↔✰✮ø❐➬④✞ø, ➲Ò➨➬❻■ê. ✙ó➲❨➬x✹ ✪Þ, ei✎Ñ✹✪Þ, ➘✶➲Ò❋❋✗dx, ✗d❐dei . ❨✹✘➬✪Þ④❻■. ❜ ✹❖➃e1, e2, e3 ✹✘➬✮✪, ✹✧✉➹✞④, ✌➲➣✹ó3➅✽✲➙ÿ❳④, ➘✶⑧❬✘➬✪Þ✗❧✹e1, e2, e3 ④✧✉✜❭. ➘✶➲✱✶➨dei❯➘ dei = ωijej . (4.3) 2
这里我用的是 Einstein的符号:如果有一它指数重复的话就相加.因为我们 的空间是3维的,,j,k都是从1到3,那么ue;就是对j相加.所以这是3项, 即j=1,2,3,有3项.这是 Einstein在微分几何引进的符号. Einstein还做了 件事情:比方说,从前你比有它数目,个比有它指数,即x,i这它指数都写 成下标. Einstein说不写下标,他就写了上标,因此往来的微分几何的书里 头,上标非常多.坐标的这它指标都写成上标,其实,上下没有关临.所以 我用下标写成公式(43).公式(43)是基本的公式,个表示两它临近坐标的 关临,一它de跟原来的坐标e的关临.是什么呢?个是一次微分式.因 为de是一次微分式,个的值是矢上的一次微分式,所以你如果写成个的分 上的话,就有3它分上,而且每一它都是de的分上,那么山是一次微分式,因 为,j都是从1到3,所以一共有9它.但是这些不是任并的,这是几何上, 力学上最基本的一它公式.因为我们一切都是正交的临统,所以ω对于下 标,j是反对称的,即 为什么呢?因为e;e满足(e;,e)=6y,你把个微分,又因为 deltai是常数, 所以微分个之往是0,于是就能得到下面公式: (de,e;)+(e,de)=0. 由于de2=kEk,并且e,Ek是互相正交的,所以由上式就得到u+uyn=0,即 公式(4.4).对于所有的,j从1到3,,是反对称的,因此(u)看成一它3×3的 方阵.那么这它方阵是反对称的,个不是有9它元素,实际上,只有3它,并且 因为反对称,所以主(对角)线上的元素都是0,其他的对于主线是反对称的 也就是有 0 ()= 023 (4 因此只剩下3它元素,即只有12,13,23,这3它都是一次微分式.而这3它 次微分式对曲面几何性质是非常比紧的,即个们都可以由微分式来表 普通研究情数论,搞分析的时候,都是讲情数,讨论情数或者是把情数微分
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了,把它的微商作为系数,大家传统不习惯于族次微分式.其实,族次微分 式是把这个问题弄得简单了.我开头的时候曾经跟你们介绍过法国的大数 学家 Darboux的书,它有为大本叫标《曲面论》.这种书很值得看,不过从 惜是法文的.他不用微分式,他用的是选微分,所以有许多公式写起来长族 些.用微分式的话,族次微分式写起来就简单多了.所以我这里用了族次微 分式,用正交标矢,使曲面论非常简单.这些你们在普通微分几何书中很少 能找到但是这种方法很有效,因为族切东西都简单了.我假定曲面是定向 的,即在转的时候有族个反时钟方向.因为定了向之后,在族个点,它有两个 切矢量的话,它的法矢量就完全确定了.因此,曲面定向之后,每族点族定有 族个固定的单偏法矢量,不是它的负的矢量.那么,曲面上有族个很要紧的 几何结构,就是族个点加族个单偏切矢量,即x跟e1,这是现代所谓怎维丛的 最简单的情况,也是最要紧的情况.那么对于x+e1,它多了族个维数,因为 固定了x之后,e1这个单偏切矢量还从以转圈,所以x的轨迹是2维的.那么每 族个r的切矢量还得加1维.这是因为它从以是族个圆,转族个圆周,它是单 偏的.所以这个空间是3维的,而这个3维空间我叫标E E={xe1x∈M}圆丛);dmE=3. (4.7) 有族个3维的空间或者说造出族个3维空间,这个观念要紧极了.现在许多数 学,物理都需要这个观念.族旦你用原来的流形来描写几何不够,往往需要 上面有族个圆圈,这个我们叫标怎维丛.这时圆周是族个怎维,因此这个怎 维丛叫标圆丛.因为怎维是圆,所以E是由流形M(曲面我叫它为M,是族个 流形)造出来的族个圆丛.那么在族点要有e1,就有e2了.这是因为e2是跟它 垂直的族个单偏切矢量,同时从以由原来的定向确定下来因此e1,e2就定 下来了,e3是法矢量当然也定了.所以e1这个单偏切矢量跟标矢是族回通 有了单偏切矢量也从以构造族个标矢,当然有了标矢,你就从以取维族个切 矢量为e1.所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标矢e1,e2,e3所所的空 间.于是我们就有上面的公式(47).我说E是3维的,E有族个映在,映到原 来的曲面M:因为你有这个切矢量,它有族个原点x,由re1把它映为x,这是 族个从E到M的映在.要研所曲面的微分几何,单从曲面不够,族定要用E
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E跟原来的曲面有密切的关系,刚才我讲了讲种几何的关系.用E的好处在 于,E的空间是3维的空间,它上头有一次微分式,讲些微分式在E上头都是 确定的.那么除了我讲的e1,e2,e3讲几个单位矢量,当然曲面的点x也是一个 矢量,它的位置矢量也是一个矢量.x是u,v的函数,dx当然是u,的一个 次微分式,它也可以表为e1,e2,e3的一个线性组合.但是线际上,它一定 是e1,e2的组合,讲是因为e3是法矢量,所以它一定是在切面上头,而e1,e2都 是切矢量,所以dx一定是e1,e2的线性组合,它的系数我叫做1,w,即得到我 们第一个公式 d=w1e1+w'2e2 所以我现在有5个一次微分式:u1,2,w13,w23,12.讲组微分式非常要紧,它 们都有简单的几何意义.讲个就说明微分式讨论几何性进使得问题简单而 且容易.现在我们就有公式(4.8).我们将公式(4.3).(44)作为我们的第二个 公式.我在前面讲过,微分式有个最大的优点,就是微分两次后是0,即对 于dx,d(dx)=0.对于任何函数的外微分两次一定等于0,讲就相当于在空 间任意取一个区域,再取它的边界,而边界不再有边界.取边界取两次一定 是等于0.因为讲个性进,讲种数学结构就有所谓的同调( homology)性进.现 在你要搞什么东西,都是同调性进,非常要紧.不过我们现在把公式(4.8)左 边dx再d一下子就等于0,而把右边的展开就得d( onegai1)+d(u2e2),即 (u1en)+d(u2e2)=0, (4.9) 注意当外微分前面有一个一次的话,微分第二个因子要改号.总而言之,你 就把它们微分了.微分之后,就发现所得到的式子是e1,e2,e3的线性组合,那 么它的系数是二次微分式.而对于讲个系数是二次微分式的矢量要等于0的 话,所有的系数都要等于0.于是你如果令e1,e2的系数为0的话,就得到我下 面的第三个公式 u2Au12;du2=u1∧u12 (4.10) 我不详细把它做了,讲个证明很简单,可立即可得.讲是要紧极了的一个公 式.讲些公式你们也许觉得新,因为在普通书上看不见,讲是由于普通不 5
E❐➷✉④▼➪❿➲★④✞ø, ➛❜➲❨ê❨➠✁❬④✞ø. ⑦E④Pÿó ➉, E ④✽✲✹3➅④✽✲, ➬Þ❃❿✘✬❻■✯, ❨❏❻■✯óEÞ❃Ñ✹ ❤➼④. ➃øê➲❨④e1, e2, e3❨✁➬❭➔✪Þ, ❤❧▼➪④➎x✎✹✘➬ ✪Þ, ➬④➔➌✪Þ✎✹✘➬✪Þ. x ✹u, v④❁❥, dx ❤❧✹u, v ④✘➬ ✘✬❻■✯, ➬✎✱✶✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜❭. ❜✹✧✓Þ, ➬✘➼ ✹e1, e2 ④✜❭, ❨✹❖➃e3 ✹✛✪Þ, ➘✶➬✘➼✹ó★➪Þ❃, ✌e1, e2Ñ ✹★✪Þ, ➘✶dx✘➼✹e1, e2④✧✉✜❭, ➬④ø❥➲✇✮ω1, ω2, ý③t➲ ➣➅✘➬Ú✯: dx = ω1e1 + ω2e2. (4.8) ➘✶➲✙ó❿5➬✘✬❻■✯: ω1, ω2, ω13, ω23, ω12. ❨✜❻■✯✿➒✞➏, ➬ ➣Ñ❿❀❭④✁❬❄❇. ❨➬Ò⑨Ò❻■✯ÿ❳✁❬✉➓✫③➥☛❀❭✌ ✪➂✹. ✙ó➲➣Ò❿Ú✯( 4.8). ➲➣❘Ú✯(4.3),(4.4)✯➃➲➣④➅✓➬ Ú✯. ➲ó✄➪❨✱, ❻■✯❿➬✦▲④⑨➎, Ò✹❻■Ü✬⑨✹0, ýé ➉dx, d(dx) = 0 . é➉⑧❬❁❥④✐❻■Ü✬✘➼⑧➉0, ❨Ò★❤➉ó✽ ✲⑧❄❘✘➬❑➢, ò❘➬④✣➂, ✌✣➂❳ò❿✣➂. ❘✣➂❘Ü✬✘➼ ✹⑧➉0. ❖➃❨➬✉➓, ❨➠❥➛❼èÒ❿➘➣④✸➤(homology)✉➓. ✙ ó✜✞➫✤➃➚Ü, Ñ✹✸➤✉➓, ✿➒✞➏. ❳✱➲➣✙ó➨Ú✯(4.8)✫ ✣dx òd✘✆✝Ò⑧➉0, ✌➨➁✣④✵✌Ò③d( omega1e1) + d(ω2e2), ý d(ω1e1) + d(ω2e2) = 0, (4.9) Õ❄❤✐❻■✄➪❿✘➬✘✬④➏, ❻■➅✓➬❖✝✞➉❘. ✎✌Ó❷, ✜ Ò➨➬➣❻■ê. ❻■❷⑨, Ò✕✙➘③t④✯✝✹e1, e2, e3④✧✉✜❭, ➃➬④ø❥✹✓✬❻■✯. ✌é➉❨➬ø❥✹✓✬❻■✯④✪Þ✞⑧➉0④ ➏, ➘❿④ø❥Ñ✞⑧➉0. ➉✹✜➌✯✌e1, e2④ø❥➃0 ④➏, Ò③t➲✆ ➪④➅➤➬Ú✯: dω1 = −ω2 ∧ ω12; dω2 = ω1 ∧ ω12. (4.10) ➲❳✲û➨➬✮ê, ❨➬②Ò✐❀❭, ✱➪ý✱③. ❨✹✞➏ôê④✘➬Ú ✯. ❨❏Ú✯✜➣✎➂ú③❝, ❖➃ó✃✴❱Þ✗❳❉, ❨✹❸➉✃✴❳ 5
喜欢用微分式,许多人也不会用微分式,其假这很简单.所以我就得到 式(4.10)然后令e3的临阵为0,就得到第为个公式 0=d3=a1∧u13+u2∧u23. 这是非常非常比紧的公式.由这些就得到所谓的Levi- Civita平行来.现在 这个也叫联络( connection).对于联络,普通找一本者,可以讲上很久很久 其假很简单.我往在这个情形之下,Levi- C ivita联络就是u2这个一次微分 式.注并a12是E里头的 次微分式,它就定几何的来质,使得我可以把 这个架量沿着一时曲线平行的变动.这是什么并微呢?就是u12这个一次微 分式由方程(4.10)完印确定.因为如果有一个2,使得适全同样的方程式 即 1=-u2∧u12;de2=u1∧ 我需比证明u2=12,即只有一个可能来,只有一个u12适全方程(4.10).也 就是往,假使有另外一个2适全方程(4.10),那么我们把两个方程相减,就 得到 ∧(u12-12)=0;2A(u12 (4.13) 而两个一次微分式如果相乘任于0的话,而矢如果其中一个不是0,那么其 它那个必然是它的倍阵,这是外代阵最简单的东两.你们算一算就出来 了.u1,2是不为0的,而矢不缺不任于0,并矢线来无要.因此,12-12既 任于u1的倍阵,又任于的倍阵.缺是u1,w2线来无要,所以它比任于0 因此如果再有一个山2适全同样的方程,它一定任于 omega12.这是完印 确定的.那么我用这个引进所谓的 Levi-Civita平行来.我们现在有de1 u2e2+ omega13e3·我们把e3这一项取消,取消是什么并微呢?假使有一个 架量,你把它的e3取消之后,就是沿着e3的方向取这个正交投参,所以你把它 取消了的并微就是取它的正交投参.你把它取消的话,我现在不再是普通的 微分了,是新的微分了.我用D从示这个新的微分,于是就得到这你公式 De1=w12e2,De2=-u12e1 (4.14)
õ→⑦❻■✯, ➂õ⑤✎❳❒⑦❻■✯, Ù✧❨✐❀❭. ➘✶➲Ò③tÚ ✯(4.10). ❧⑨✌e3④ø❥➃0, Ò③t➅➃➬Ú✯: 0 = dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23. (4.11) ❨✹✿➒✿➒✞➏④Ú✯. ❸❨❏Ò③t➘➣④Levi-Civita➨q✉. ✙ó, ❨➬✎✇➱❞(connection). é➉➱❞, ✃✴■✘ý❱, ✱✶❨Þ✐➮✐➮, Ù✧✐❀❭. ➲⑨ó❨➬❁♦❷✆, Levi-C ivita➱❞Ò✹ω12❨➬✘✬❻■ ✯. Õ❄ω12 ✹E➦❃④✘➬✘✬❻■✯, ➬Ò➼✁❬④✉➓, ✫③➲✱✶➨ ❨➬✪Þ×ø✘✣▼✧➨q④★➘. ❨✹✤➃❄❻✑? Ò✹ω12❨➬✘✬❻ ■✯❸✵➬(4.10)q❭❤➼. ❖➃➌✯❿✘➬ω 0 12 , ✫③✼❭✸ø④✵➬✯, ý dω1 = −ω2 ∧ ω 0 12; dω2 = ω1 ∧ ω 0 12. (4.12) ➲❽✞②Òω12 = ω 0 12, ý➄❿✘➬✱✕✉, ➄❿✘➬ω12 ✼❭✵➬(4.10). ✎ Ò✹⑨, ✧✫❿☞✐✘➬ω 0 12✼❭✵➬(4.10), ➃➲➣➨Ü➬✵➬★❃, Ò ③t ω1 ∧ (ω 0 12 − ω12) = 0; ω2 ∧ (ω 0 12 − ω12) = 0. (4.13) ✌Ü➬✘✬❻■✯➌✯★➷⑧➉0④➏, ✌✪➌✯Ù➙✘➬❳✹0, ➃Ù ➬➬✗❧✹➬④õ❥, ❨✹✐❙❥✦❀❭④➚Ü. ✜➣➤✘➤Òñ✉ ê. ω1, ω2✹❳➃0 ④, ✌✪❳❜❳⑧➉0, ❄✪✧✉➹✞. ❖✩, ω 0 12 − ω12✑ ⑧➉ω1④õ❥, ➅⑧➉ω2④õ❥. ❜✹ω1, ω2 ✧✉➹✞, ➘✶➬✞⑧➉0. ❖✩➌✯ò❿✘➬ω 0 12✼❭✸ø④✵➬, ➬✘➼⑧➉ømega12. ❨✹q❭ ❤➼④. ➃➲⑦❨➬❩➓➘➣④Levi-Civita➨q✉. ➲➣✙ó❿de1 = ω12e2 + ømega13e3. ➲➣➨e3❨✘✶❘❃, ❘❃✹✤➃❄❻✑? ✧✫❿✘➬ ✪Þ, ✜➨➬④e3❘❃❷⑨, Ò✹×øe3④✵✺❘❨➬t❜❂❦, ➘✶✜➨➬ ❘❃ê④❄❻Ò✹❘➬④t❜❂❦. ✜➨➬❘❃④➏, ➲✙ó❳ò✹✃✴④ ❻■ê, ✹❝④❻■ê. ➲⑦D✱✰❨➬❝④❻■, ➉✹Ò③t❨✜Ú✯: De1 = ω12e2, De2 = −ω12e1. (4.14) 6
这是照我刚才证明的是由几何完全确定的,这是因为12是完全确定的线 使De1=0的话,我明说这个矢量是 Levi-Civita意义下平行,即我说在这种情 形下它明是平行的.它是平行的,这是有新的意义在 Euclid儿何的时候,这 明是普通平行,现在是普通平行的推广,也明是De1=0时是 Levi-Civita平 行.所以在曲面上,你用一次微分式,学管这个平行比较难懂.令De1=0的 话,对于矢量是个微分方程.这个微分方程不一定有解,但是线使你有一条 曲线,你明可以沿着这条曲线求解.对于曲线来说,所有的这些函数都是t的 函数.沿着这条曲线求解,可以求到解.至于这个条件,我说这个矢量明 是Levi- Civita平行.所以从这个定义可以了解这个平行性跟曲线的选择有 比.线使有一个点,另外还有一点,那么你联这两点有两条不同的曲线,你把 同一个矢量沿头一条曲线平行,并沿第二条曲线平行,看到的一般不是同 个矢量.至于这个平行性与曲线的选择有比系,是普通的平行性的推广.普 通的时候,平行性在 Euclid平面里上是绝对的和定了的,现在这个时候是跟 曲线的选择有比系,这明是联络.我刚才把x这个矢量d两次等于0.而同着 的,我可以对e这个矢量也d两次,即d(de)=0.因此算出来d(de)=0.,明 有: duiy=ik∧wkj 415) 实际上,很简单地,我对d=e求微分.然后因为是一次微分式,所以 应该有个负号,即负的山∧deg,于是有 d(dei)=dwijei-wij A dej=0 但是de;=ukek,所以头一个duve;改为 dikey没有比系,这是因为你对 于j,k是求和,可写成j,也可写成k,都是从1到3,无所谓的.因此明得到 公式(4.15).这是一个基本的公式,看着麻烦,其实很简单.尤其是在3维 的情形,很简单.实际上,右边讲起来是3项之和,但是这3项是对于j求 和.因为是反对称的,所以我们来看k,≠k,或者明来看看u13.在下 面那个公式看 d omega13应该是心j3,但是实际上,j只能等于2,这是因 为j=1时11=0,j=3时u3=0.所以右边看着是这么着之和,其实明只 7
❨✹▲➲➛❜②Ò④✹❸✁❬q❭❤➼④, ❨✹❖➃ω12✹q❭❤➼④. ✧ ✫De1 = 0④➏, ➲Ò⑨❨➬✪Þ✹Levi-Civita❄❇✆➨q, ý➲⑨ó❨➠❁ ♦✆➬Ò✹➨q④. ➬✹➨q④, ❨✹❿❝④❄❇. óEuclid ✁❬④✣⑧, ❨ Ò✹✃✴➨q, ✙ó✹✃✴➨q④▼✒, ✎Ò✹De1 = 0✣✹Levi-Civita➨ q. ➘✶ó▼➪Þ, ✜⑦✘✬❻■✯, ➛☛❨➬➨q✞✈✡➹. ✌De1 = 0④ ➏, é➉✪Þ✹➬❻■✵➬. ❨➬❻■✵➬❳✘➼❿❽, ❜✹✧✫✜❿✘✣ ▼✧, ✜Ò✱✶×ø❨✣▼✧❋❽. é➉▼✧✉⑨, ➘❿④❨❏❁❥Ñ✹t④ ❁❥. ×ø❨✣▼✧❋❽, ✱✶❋t❽. ➊➉❨➬✣●, ➲⑨❨➬✪ÞÒ ✹Levi-Civita ➨q. ➘✶✱❨➬➼❇✱✶ê❽❨➬➨q✉❐▼✧④➔✡❿ ✞. ✧✫❿✘➬➎, ☞✐↕❿✘➎, ➃✜➱❨Ü➎❿Ü✣❳✸④▼✧, ✜➨ ✸✘➬✪Þ×❃✘✣▼✧➨q, ❄×➅✓✣▼✧➨q, ✗t④✘➘❳✹✸✘ ➬✪Þ. ➊➉❨➬➨q✉➛▼✧④➔✡❿✞ø, ✹✃✴④➨q✉④▼✒. ✃ ✴④✣⑧, ➨q✉óEuclid ➨➪➦Þ✹ýé④❩➼ê④, ✙ó❨➬✣⑧✹❐ ▼✧④➔✡❿✞ø, ❨Ò✹➱❞. ➲➛❜➨x ❨➬✪ÞdÜ✬⑧➉0. ✌✸ø ④, ➲✱✶éei❨➬✪Þ✎d Ü✬, ýd(dei) = 0. ❖✩➤ñ✉d(dei) = 0, Ò ❿: dωij = ωik ∧ ωkj . (4.15) ✧✓Þ, ✐❀❭➃, ➲édei = ωijej ❋❻■. ❧⑨❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ➘✶ ❛➈❿➬❿❘, ý❿④ωij ∧ dej , ➉✹❿ d(dei) = dωijej − ωij ∧ dej = 0. (4.16) ❜✹dej = ωjkek, ➘✶❃✘➬dωijej➉➃dωikek ➊❿✞ø, ❨✹❖➃✜é ➉j, k✹❋❩, ✱❯➘j, ✎✱❯➘k, Ñ✹✱1t3, ➹➘➣④. ❖✩Ò③t Ú✯(4.15). ❨✹✘➬äý④Ú✯, ✗ø❢✫, Ù✧✐❀❭. ❷Ù✹ó3➅ ④❁♦, ✐❀❭. ✧✓Þ, ➁✣❨å✉✹3✶❷❩, ❜✹❨3✶✹é➉j ❋ ❩. ❖➃ω ✹✬é➪④, ➘✶➲➣✉✗ωik, i 6= k, Ý❱Ò✉✗✗ω13. ó✆ ➪➬Ú✯✗d omega13 ❛➈✹ω1jωj3, ❜✹✧✓Þ, j➄✕⑧➉2, ❨✹❖ ➃j = 1✣ω11 = 0, j = 3 ✣ω33 = 0. ➘✶➁✣✗ø✹❨➃ø❷❩, Ù✧Ò➄ 7
有一项,所以你就得到 du13=12∧u23 (4.17) 同临可以得到 d 这些一般就是所谓的 Weingarten公果,非常简单.所以这些公果都是可简单 的外微分立即得到的. Weingarten公果很有并思,你关它跟乘来的u1,w2的 公果比较的话,完全是一个形状,即注并到这些公果与公果(4.10)相似这个 形状是有几何并义的,现在它用来定所谓的 Betti Transform ation,这个我不 细讲惜. Weingarten公果跟乘来du的公果的相似来是有深通的几何并义的 3曲面的基本不变式 上面我讨论惜De1的Levi- Civita平行来.如果取这个且量在e3这个方向的 话,我就得到1A13+2Au23=0,即公果(411).因此,u13,23都是u1,2 的线来组合,我可以趣成 u13=au1+bu2,u23 由这个我得到这个曲面的关紧的不变果.一个曲面与另一个曲面有什么分 别?这个分别在于曲率.曲率是曲面上的函数.比方后,一般的话,我们用维 基本果跟维二基本果来表示 维一基本果I 维二基本果I1=(-dx,de)=au2+2bu2+cu2.(421) 对于维一基本果,我叫它(1)它就是曲面的ds2=(dx,dx).由于d ue1+ onega2e2,但是e1,e2是互相垂直的单位且量,所以就得到+u2 因此这5个一次微分果都有重关的几何并义.1,吨2的平方和就是曲面的 度量.在3又空间里头,曲面当然有一个度量,那么它的度量是什么呢?就 是它的 Riemann度量,是一个2次的微分果.这个2次微分果简单极惜,就
❿✘✶, ➘✶✜Ò③t dω13 = ω12 ∧ ω23. (4.17) ✸ø✱✶③t dω23 = −ω12 ∧ ω13. (4.18) ❨❏✘➘Ò✹➘➣④WeingartenÚ✯, ✿➒❀❭. ➘✶❨❏Ú✯Ñ✹✱❀❭ ④✐❻■➪ý③t④. WeingartenÚ✯✐❿❄❻, ✜✞➬❐➷✉④ω1, ω2④ Ú✯✞✈④➏, q❭✹✘➬♦ç, ýÕ❄t❨❏Ú✯➛Ú✯(4.10) ★➅. ❨➬ ♦ç✹❿✁❬❄❇④, ✙ó➬⑦✉➼➘➣④Betti Transform ation, ❨➬➲❳ û❨ê. WeingartenÚ✯❐➷✉dωi④Ú✯④★➅✉✹❿ý✴④✁❬❄❇④. 3 ▼➪④äý❳★✯ Þ➪➲ÿ❳êDe1④Levi-Civita ➨q✉. ➌✯❘❨➬✪Þóe3❨➬✵✺④ ➏, ➲Ò③tω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = 0, ýÚ✯(4.1 1). ❖✩, ω13, ω23Ñ✹ω1, ω2 ④✧✉✜❭, ➲✱✶❯➘ ω13 = aω1 + bω2, ω23 = bω1 + cω2. (4.19) ❸❨➬➲③t❨➬▼➪④✞➏④❳★✯. ✘➬▼➪➛☞✘➬▼➪❿✤➃■ ✴? ❨➬■✴ó➉▼●. ▼●✹▼➪Þ④❁❥. ✞✵⑨, ✘➘④➏, ➲➣⑦➅ ✘äý✯❐➅✓äý✯✉✱✰: ➅✘äý✯ I = ds2 = (dx, dx) = ω 2 1 + ω 2 2 ; (4.20) ➅✓äý✯ II = (−dx, de3) = aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 . (4.21) é➉➅✘äý✯, ➲✇➬(I).➬Ò✹▼➪④ds2 = (dx, dx). ❸➉dx = ω1e1 + omega2e2, ❜✹e1, e2✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➘✶Ò③tω 2 1 + ω 2 2 . ❖✩ω❨5➬✘✬❻■✯Ñ❿➢✞④✁❬❄❇. ω1, ω2 ④➨✵❩Ò✹▼➪④ ÝÞ. ó3➅✽✲➦❃, ▼➪❤❧❿✘➬ÝÞ, ➃➬④ÝÞ✹✤➃✑? Ò ✹➬④Riemann ÝÞ, ✹✘➬2✬④❻■✯. ❨➬2✬❻■✯❀❭ôê, Ò 8
是u+∞2那么,我也可以对e3这它矢量取-(de3,dx).照我刚才所写的, 就等于au2+2b12+c2,这也是一它2次微分式.这它一动叫做第二基本 式.那么有一它第一基本式,还有它第二基本式,你就取,的特征值.特征 值的和就是a+c,特征值的积就是ac-b2.一动地,H="叫做曲面的中 曲率,K=aC-b2叫做曲面的Gaus曲率.这里要紧极了,Gaus率有许 倍有趣的来质.因此这是怎么样从5它一次微分式由,们的线来你单的关系 就得到曲面的不变式.中曲率跟Gaus曲率这两它不变式描写曲面的几何 来质.比方说,可以证明Gass曲率是正的话,曲面是在的,Gaus率是有 的话,曲面就有第点,就象马第点.许倍几何来质都可以用这两它曲率来描 写,所以是曲面里头两它最主要的不变式.这它不变式是情数.以后我们 得到的是一次微分式,而一次微分式不大容易想象所竟是什么意思,交由 的运算可以得出情数来.这情数确然是了解得比较空楚,便得到中曲率 跟 Gauss曲率.中曲率等于0,一动叫做极小曲面.所谓的极小曲面,举例就 是你把一条封闭的曲线放在肥子水里头所成的曲面就是面积最小的曲面 ,的中曲率为0.所以这有简全的几何意义,最素,甚至现在都有很倍关于极 小曲面的研所.Gaus曲率更要紧, Gauss l|率是等于u13∧w23.在曲面量也 样有Gaus映射.曲面每点有一它全位法矢量,把这它全位法矢量看为 它半径为1的球面的点,就把曲面映射到球面量书了.每它点有一它全位法 矢量,你在0点画一它全位法矢量跟,平行,的端点就在全位球面量.那么 对于所有的点都做这它少下的话,就在全位球面量得到一它区域。在这它映 射下,两它面积元素的比,即,的像 imag e)的面积元素跟原来面积元素的 比就是Gaus曲率.这样一下子就看出来了.所以这它Gaus曲率有很简全 的几何意义.这时,曲面的讨论是一它推垂.曲面的时候有曲线,曲线也有 它Gaus映射.那它Gaus映射是取全位切矢量,其实也可以取全位法矢量 那么曲线的时候,Gaus映射把切线映射到全位圆量头,把全位圆的度量被 原来这它度量除就是曲率.现在就把这它观念推垂到高维,推垂到2维,即推 垂到曲面,所以我由这它曲面Gaus映射到一它全位球面量头,这两它面积 的比就是Gaus)曲率.所以这是一它非常自然的几何度量.现在有它很要紧 的关系.量头有duik=wi∧山k,现在我把这它公式用到i2,,k=1,2,于
✹ω 2 1 + ω 2 2 . ➃, ➲✎✱✶ée3❨➬✪Þ❘−(de3, dx). ▲➲➛❜➘❯④, ➬ Ò⑧➉aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 , ❨✎✹✘➬2✬❻■✯. ❨➬✘➘✇✮➅✓äý ✯. ➃❿✘➬➅✘äý✯, ↕❿➬➅✓äý✯, ✜Ò❘➬④✁♥❾. ✁♥ ❾④❩Ò✹a + c, ✁♥❾④èÒ✹ac − b 2 . ✘➘➃, H = a+c 2 ✇✮▼➪④➙ ▼●, K = ac − b 2 ✇✮▼➪④Gauss▼●. ❨➦✞➏ôê, Gauss▼●❿➂ õ❿❯④✉➓. ❖✩❨✹✍➃ø✱5➬✘✬❻■✯❸➬➣④✧✉✜❭④✞ø Ò③t▼➪④❳★✯. ➙▼●❐Gauss▼●❨Ü➬❳★✯➹❯▼➪④✁❬ ✉➓. ✞✵⑨, ✱✶②ÒGauss ▼●✹t④➏, ▼➪✹ó④, Gauss▼●✹❿ ④➏, ▼➪Ò❿➅➎, Ò✻❥➅➎. ➂õ✁❬✉➓Ñ✱✶⑦❨Ü➬▼●✉➹ ❯, ➘✶✹▼➪➦❃Ü➬✦❒✞④❳★✯. ❨➬❳★✯✹❁❥. ✶⑨➲➣ ③t④✹✘✬❻■✯, ✌✘✬❻■✯❳▲➂✹✳✻➘➽✹✤➃❄❻, ❜❸ ➬④ä➤✱✶③ñ❁❥✉. ❨❁❥❤❧✹ê❽③✞✈✽ù, ✧③t➙▼● ❐Gauss ▼●. ➙▼●⑧➉0, ✘➘✇✮ô❇▼➪. ➘➣④ô❇▼➪, Þ➽Ò ✹✜➨✘✣❯✔④▼✧✽ó❂✝②➦❃➘➘④▼➪Ò✹➪è✦❇④▼➪, ➬④➙▼●➃0. ➘✶❨❿❀❭④✁❬❄❇, ✦↔, ☎➊✙óÑ❿✐õ✞➉ô ❇▼➪④Ï➘. Gauss▼●❮✞➏, Gauss▼●✹⑧➉ω13 ∧ ω23. ó▼➪Þ✎ ✘ø❿Gauss♥ó. ▼➪➎➎❿✘➬❭➔✛✪Þ, ➨❨➬❭➔✛✪Þ✗➃✘ ➬❒➺➃1 ④❊➪④➎, Ò➨▼➪♥ót❊➪Þ❱ê. ➎➬➎❿✘➬❭➔✛ ✪Þ, ✜ó0➎➌✘➬❭➔✛✪Þ❐➬➨q, ➬④à➎Òó❭➔❊➪Þ. ➃ é➉➘❿④➎Ñ✮❨➬è✆④➏, Òó❭➔❊➪Þ③t✘➬❑➢. ó❨➬♥ ó✆, Ü➬➪è➹↔④✞, ý➬④✹(imag e)④➪è➹↔❐➷✉➪è➹↔④ ✞Ò✹Gauss ▼●. ❨ø✘✆✝Ò✗ñ✉ê. ➘✶❨➬Gauss▼●❿✐❀❭ ④✁❬❄❇. ❨✣, ▼➪④ÿ❳✹✘➬▼✒. ▼➪④✣⑧❿▼✧, ▼✧✎❿✘ ➬Gauss♥ó. ➬Gauss♥ó✹❘❭➔★✪Þ, Ù✧✎✱✶❘❭➔✛✪Þ. ➃▼✧④✣⑧, Gauss♥ó➨★✧♥ót❭➔❐Þ❃, ➨❭➔❐④ÝÞú ➷✉❨➬ÝÞøÒ✹▼●. ✙óÒ➨❨➬✡✬▼✒t➦➅, ▼✒t2➅, ý▼ ✒t▼➪, ➘✶➲❸❨➬▼➪Gauss♥ót✘➬❭➔❊➪Þ❃, ❨Ü➬➪è ④✞Ò✹Gauss▼●. ➘✶❨✹✘➬✿➒✞❧④✁❬ÝÞ. ✙ó❿➬✐✞➏ ④✞ø. Þ❃❿dωik = ωij ∧ ωjk, ✙ó➲➨❨➬Ú✯⑦tω12, i, k = 1, 2, ➉ 9
是d12=u13Au32.但是u是反对称的,所以u32=-23.这里a13Au23就 是ac-b2,也就是Gaus曲率.所以我就得到公式 du12=-Ku1∧u2, 其中,K是 GaussI曲率.这是一个令Gass非常惊讶的公式.所以Gaus把这 个定理叫做 Theorem egregious, egregious是拉丁字母,意思指这是一个了 不得的定理.为什么呢?它证明了 Gauss|率只跟曲面的 Riemann度量有 关,跟这个曲面在空间的位置无关.因为在这个公式里头,12已经证明 了只跟曲面的 Riemann度量有关.然后1Aw就是在这个度量下的面积元 素,当然只跟ds2有关,即只跟 RiemanN度量有关.所以虽然Gas率是 个曲面在空间里头的一个不变式,但是它只跟曲面的 Riemann度量有关 换句话说,你把曲面变换( deform)一下子,使得 Riemann度量不变, Gauss 率就不变.所以Gaus率有这么重要的性质.我想Gaus做了许多要紧 的和漂亮的结果,这个定理显然是他特别欣赏的一个结果,是很特别的 个结果.实际上,我们就把这些方程用外微分微分一下子,得到基本公 式,然后就得到这些公式.下次,我要讲由这个公式证明 Gauss-Bonnet公 式. Gauss.- Bonnet公式是推广三角形三角之和等于180°,将这个公式推广到 曲面的情形. Gauss-Bonnet公式的应用非常之广.证明的时候,我始终利 用圆丛.这圆丛稍微用得复杂一些:假定这个丛是一个复的线从( complex line).那么这个复线丛的纤维是条复线,在复线里头,绝对值等于1的复数 是一个圆周,就是圆丛.这个观念在物理上是基本的.现在大家搞得很多 的是辛几何( symplectic geometry).单有辛结构( symplectic structure)不太 有用,你要把辛几何用到量子力学的话,需要加上一个复线丛,就是我们 现在所讲的东西的一个推广.我们现在讲2维,一到物理的话,空间与时间 加在一起是4维,所以你基本的空间是4维,在4维空间当中有一个复线丛 因此就得到这个Gaus曲率.现在这个曲率是2次微分式,它d一下子等于0, 就得到 Maxwel方程.所以微积分在几何上应用是许多物理的基础.最近 我在《科学》杂志上写了一篇文章,叫做《 Gauss-Bonnet公式与 Maxwell方 程》,你们如果能找到,可以去看一看.我想把这篇文章拿来给大家,但是 10
✹dω12 = ω13 ∧ ω32. ❜✹ω✹✬é➪④, ➘✶ω32 = −ω23. ❨➦ω13 ∧ ω23 Ò ✹ac − b 2 , ✎Ò✹Gauss▼●. ➘✶➲Ò③tÚ✯ dω12 = −Kω1 ∧ ω2, (4.22) Ù➙, K✹Gauss▼●. ❨✹✘➬✌Gauss ✿➒➥➬④Ú✯. ➘✶Gauss➨❨ ➬➼➤✇✮Theorem Egregious, Egregious✹♥➯✠ñ, ❄❻➁❨✹✘➬ê ❳③④➼➤. ➃✤➃✑? ➬②ÒêGauss▼●➄❐▼➪④Riemann ÝÞ❿ ✞, ❐❨➬▼➪ó✽✲④➔➌➹✞. ❖➃ó❨➬Ú✯➦❃, ω12✳➨②Ò ê➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ❧⑨ω1 ∧ ω2Ò✹ó❨➬ÝÞ✆④➪è➹ ↔, ❤❧➄❐ds2❿✞, ý➄❐RiemannÝÞ❿✞. ➘✶➥❧Gauss▼●✹✘ ➬▼➪ó✽✲➦❃④✘➬❳★✯, ❜✹➬➄❐▼➪④RiemannÝÞ❿✞. ➛é➏⑨, ✜➨▼➪★➛(deform)✘✆✝, ✫③RiemannÝÞ❳★, Gauss▼ ●Ò❳★. ➘✶Gauss▼●❿❨➃➢✞④✉➓. ➲✳Gau ss✮ê➂õ✞➏ ④❩↕à④❼✯, ❨➬➼➤✗❧✹➷✁✴❛Ü④✘➬❼✯, ✹✐✁✴④ ✘➬❼✯. ✧✓Þ, ➲➣Ò➨❨❏✵➬⑦✐❻■❻■✘✆✝, ③täýÚ ✯, ❧⑨Ò③t❨❏Ú✯. ✆✬, ➲✞❨❸❨➬Ú✯②ÒGauss-BonnetÚ ✯. Gauss-BonnetÚ✯✹▼✒➤♥♦➤♥❷❩⑧➉180o , ❘❨➬Ú✯▼✒t ▼➪④❁♦. Gauss-BonnetÚ✯④❛⑦✿➒❷✒. ②Ò④✣⑧, ➲✮➟➻ ⑦❐✲. ❨❐✲ã❻⑦③❹ì✘❏: ✧➼❨➬✲✹✘➬❹④✧✲(complex line). ➃❨➬❹✧✲④✍➅✹✣❹✧, ó❹✧➦❃, ýé❾⑧➉1④❹❥ ✹✘➬❐➧, Ò✹❐✲. ❨➬✡✬óÔ➤Þ✹äý④. ✙ó▲✛➫③✐õ ④✹❜✁❬( symplectic geometry). ❭❿❜❼è(symplectic structure)❳Ô ❿⑦, ✜✞➨❜✁❬⑦tÞ✝➴➛④➏, ❽✞✜Þ✘➬❹✧✲, Ò✹➲➣ ✙ó➘❨④➚Ü④✘➬▼✒. ➲➣✙ó❨2➅, ✘tÔ➤④➏, ✽✲➛✣✲ ✜ó✘å✹4➅, ➘✶✜äý④✽✲✹4➅, ó4 ➅✽✲❤➙❿✘➬❹✧✲. ❖✩Ò③t❨➬Gauss ▼●. ✙ó❨➬▼●✹2✬❻■✯, ➬d✘✆✝⑧➉0, Ò③tMaxwell✵➬. ➘✶❻è■ó✁❬Þ❛⑦✹➂õÔ➤④äú. ✦↔ ➲ó✕✮➛✖ì➇Þ❯ê✘➓➞✾, ✇✮✕Gauss-BonnetÚ✯➛Maxwell✵ ➬✖, ✜➣➌✯✕■t, ✱✶❱✗✘✗. ➲✳➨❨➓➞✾ü✉➱▲✛, ❜✹ 10
