群的第一定义我们称一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,如果 1G对于这个乘法来说是封闭的,即va,b∈Gab∈G Ⅱ结合律成立:a(c)=(ab),Va,b,c∈G va,b∈G ,方程ax=b和=b 在G中都有解。 例1G=(8},乘法规定g=g,则G是一个群。 ∈G Ilg(gg)=(gg)g=g Igx=g有解g,yg=g有解g 例2G={全体整数}:G中运算为普通加法,则G是一个群 ya,b∈G 仍为整数 +b∈G (b+c)=(a+b) Ila+x=b有整数解a-b,y+a=b有整数解a-b。 例3G={所有非整数},G对于普通乘法不作成一个群 vax,b∈ G abeG a bc)=(ab)c Ⅲ3x=2在G中没有解。 Ⅳ群具有以下性质: 存在一个元∈G,使得va∈G,都有:a=a 这样的元称为G的左单位元 证明;取一个元b,由m,yb=b在G中有解,设e是其解,eb=b ∈G =a有解c,即bc=a,于是 (bc)=(eb c-bo .va∈G,存在b∈G, 这样的b称为a的一个左逆元,记为a。 证明:由I 有解,设为b即得证
群的第一定义 我们称一个非空集合 G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，如果： I.G 对于这个乘法来说是封闭的，即 ， ， II.结合律成立： ， ， III. ，方程 和 在 G 中都有解。 例 1 G＝{ }，乘法规定 gg=g，则 G 是一个群。 I.gg=g ， II.g(gg)=(gg)g=g， III.gx=g 有解 g，yg=g 有解 g。 例 2 G＝{全体整数}；G 中运算为普通加法，则 G 是一个群。 I. ， 仍为整数， ， II. ， III.a+x=b 有整数解 a-b，y+a=b 有整数解 a-b。 例 3 G＝{所有非整数}，G 对于普通乘法不作成一个群。 I. ， ， II. ， III.3x=2 在 G 中没有解。 Ⅳ.群具有以下性质： 存在一个元 ，使得 ，都有： , 这样的元称为 G 的左单位元。 证明：取一个元 ，由 III， 在 G 中有解，设 e 是其解， ； ，bx=a 有解 c，即 bc=a，于是 。 V. ，存在 ，使 ，这样的 b 称为 a 的一个左逆元，记为 。 证明：由 III，ya=e 有解，设为 b 即得证
群的第二定义:我们称一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,如果I、I、ⅣV V成立。 ()一个左逆元一定也是右逆元,即 时b∈G,由V有a使ab=e →(ab)a=a'(ba)=ae Habab =(aeb=a()=a'b=e →e(ab)=e →ab=g (i)一个左单位元一定也是一个右单位元,即ea=a→ae=a 因为,a=a,设ha=e,由o,ab=e→aa-(ab)a=a(ba)-ae ax=b 有解 则x为其解。同样,b 定义1如果一个群的元的个数是一个有限整数,则称其为有限群:否则称为无限群。有限群的元的个数 叫做这个群的阶 定义2如果a,b∈G 则称G为交换群
群的第二定义：我们称一个非空集合 G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，如果 I、II、IV、 V 成立。 (i) 一个左逆元一定也是右逆元，即 对 ，由 V 有 使 。 (ii) 一个左单位元一定也是一个右单位元，即 因为， ，设 ，由(i)， 。 (iii) 有解。 取 ，则 x 为其解。同样， 是 的解。 定义 1 如果一个群的元的个数是一个有限整数，则称其为有限群；否则称为无限群。有限群的元的个数 叫做这个群的阶。 定义 2 如果 ，有 ，则称 G 为交换群