给定一个环R和R的一个理想,若只就加法来看,R作成一个群,如作成R的一个不变子群。这样 的陪集a]bc],作成R的一个分类。把这些类叫做横的剩余类。这个分类相当于R的元间 的一个等价关系,这个等价关系现在用符号a=b()来表示 a=b(),当而且只当a一b∈群的时候 把剩余类所作成的集合叫做2,并且规定以下的两个法则 [a[b]=[ab] 定理1假定只是一个环,是它的一个理想,E是所有模的剩余类作成的集合。那么区本身也是 个环,并且2与2同态 定义1区叫做环R的模的剩余类环。这个环我们用符号R/以来表示。 定理2假定R同是两个环,并且R与E同态,那么这个同态映射的核是R的一个理想,并且 R/全R 证明,a∈别,b∈→a→0b→00是E的零元) →a-b→0-0=0,a-b∈界 ra→F0=0,c→0F=0 →m∈,ar∈ q[a]→a=(a) [a]=[b]→a-b∈则→a-b=a-b=0→a=b
给定一个环 R 和 R 的一个理想 ，若只就加法来看，R 作成一个群， 作成 R 的一个不变子群。这样 的陪集 作成 R 的一个分类。把这些类叫做模 的剩余类。这个分类相当于 R 的元间 的一个等价关系，这个等价关系现在用符号 来表示。 ，当而且只当 的时候。 把剩余类所作成的集合叫做 ，并且规定以下的两个法则 定理 1 假定 是一个环， 是它的一个理想， 是所有模 的剩余类作成的集合。那么 本身也是 一个环，并且 与 同态。 定义 1 叫做环 的模 的剩余类环。这个环我们用符号 来表示。 定理 2 假定 同 是两个环，并且 与 同态，那么这个同态映射的核 是 的一个理想，并且 证明： （ 是 的零元） :
[a]叫[]→a-be则→a-b=a-b“0→a≠B [a]+[6]=[a+6]->a+6=a+6 [a][b]=[ab]→ab=ab 定理3在R到环E的一个同态映射之 (1)R的一个子环S的象是的一个子环 ()R的一个理想别的象团是原的一个理想 (ⅲ)k的一个子环的逆象是2的一个子环 (iv)k的一个理想的逆象是2的一个理想
定理 3 在 到环 的一个同态映射之下， （i） 的一个子环 的象 是 的一个子环； （ii） 的一个理想 的象 是 的一个理想； （iii） 的一个子环 的逆象 是 的一个子环； （iv） 的一个理想 的逆象 是 的一个理想