定义一个环2的一个子集叫做K的一个子环,假如本身对于2的代数运算来说作成一个环。 一个子集S作成一个子环的条件显然是ab∈S→a-b∈S,ab∈S 例1一个环R的可以同每一个元交换的元作成一个子环。这个子环叫做R的中心。 定理1若是存在一个R到区的满射,使得R与对于一对加法以及一对乘法来说都同态,那么区也 定理2假定R和区是两个环,并且R与区同态。那么R的零元的象是的零元,B的元a的负元 的象是a的象的负元。并且,假如K是交换环,那么2也是交换环:假如2有单位元1,那么K也有单 位元1,而且1是1的象。 一个环没有零因子这一个性质经过了一个同态满射是不一定可以保持的。 例2设R是整数环,区是模n的剩余类环,那么 显然是R到2的一个同态满射。R是没有零因子的,但当n不是素数时,2有零因子。 例3R=(所有整数对(a,b),对于代数运算 (a1,)+(a2b2)=(a1+a2,h+b2) (a1,h)a2,b2)=(a1a2,b2) 说,R显然作成一个环。现在用表示整数环,那么 显然是一个R到的同态满射。R的零元(00),而 所以R有零因子 R 没有零因子
定义 一个环 的一个子集 叫做 的一个子环，假如 本身对于 的代数运算来说作成一个环。 一个子集 作成一个子环的条件显然是： 例 1 一个环 的可以同每一个元交换的元作成一个子环。这个子环叫做 的中心。 定理 1 若是存在一个 到 的满射，使得 与 对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么 也 是一个环。 定理 2 假定 和 是两个环，并且 与 同态。那么 的零元的象是 的零元， 的元 的负元 的象是 的象的负元。并且，假如 是交换环，那么 也是交换环；假如 有单位元 1，那么 也有单 位元 ，而且 是 1 的象。 一个环没有零因子这一个性质经过了一个同态满射是不一定可以保持的。 例 2 设 是整数环， 是模 的剩余类环，那么 显然是 R 到 的一个同态满射。R 是没有零因子的，但当 n 不是素数时， 有零因子。 例 3 =（所有整数对 ）。对于代数运算 来说，R 显然作成一个环。现在用 表示整数环，那么 显然是一个 R 到 的同态满射。R 的零元（0,0），而 （a,0）(0,b)=(0,0) 所以 R 有零因子。但 没有零因子
定理3假定R同E是两个环,并且R≌。那么,若区是整环,区也是整环;:R是除环,区也是 除环:R是域,区也是域。 引理假定在集合A与丑之间存在一个一一映射,并且A有加法和乘法。那么我们可以替A规定加 法和乘法,使得A与A对于一对加法以及一对乘法来说都同构 定理4假定S是环R的一个子环,S在R里的补足集合(这就是所有不属于S的R的元作成的集合) 与另一个环S没有共同元,并且S≌8。那么存在一个与R同构的环,而且是E的子环
定理 3 假定 同 是两个环，并且 。那么，若 是整环， 也是整环； 是除环， 也是 除环； 是域， 也是域。 引理 假定在集合 与 之间存在一个一一映射 ，并且 有加法和乘法。那么我们可以替 规定加 法和乘法，使得 与 对于一对加法以及一对乘法来说都同构。 定理 4 假定 是环 的一个子环， 在 里的补足集合（这就是所有不属于 的 的元作成的集合） 与另一个环 没有共同元，并且 。那么存在一个与 同构的环 ，而且 是 的子环