习题1设 G=(AlAl=1, AEF) ,证明G关于矩阵乘法成群。 证明 vAB∈G,ABF1→|AB|=1→ABeG Ⅱl结合律成立 单位元,I: V.逆元 习题2设G={所有整数的集合}。对G规定 +b-3 证明G关于运算°成群 证明:1对°封闭,ab=a+b-3∈G Ⅱ.适合结合律,(a。b)。=(a+b-3)0c=(a+b-3+c-3 ao boc=ao(b+c-3)=a+(b+c-3)-3 b=e+b-3=b→=3 Vaob=a+b-3==3→a=6-b→b-=6-b 习题3若群G的每一个元都满足x°,那么G是交换群 证明: a,b∈Ga2=eb2 ab∈G(ab)2=→abab=e→ab=ba 习题4假设G是一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的个数一定是奇数 证明:设a∈G 且2的阶数为奇数 (1)a=日,这样的元只有一个 (2)a=e,m>1 -1m-1 为奇数,则 这时a的阶也为奇数,这样的元有偶数个,从而G中阶等于2的元的个数为奇数个 习题5设G是群。是G的一个变换 =gag Vae G g是G中固定元素,证明是G到G的同构映射
习题 1 设 ，证明 G 关于矩阵乘法成群。 证明：I. ； II. 结合律成立； IV. 单位元，I； V. 逆元， 。 习题 2 设 G＝{所有整数的集合}。对 G 规定 证明 G 关于运算 成群。 证明： I. 对 封闭， ； II. 适合结合律， ， ； IV. ； V. 。 习题 3 若群 G 的每一个元都满足 ，那么 G 是交换群。 证明： ， ， ， ， 。 习题 4 假设 G 是一个阶是偶数的有限群，在 G 里阶等于 2 的元的个数一定是奇数。 证明：设 且 的阶数为奇数， (1) ，这样的元只有一个； (2) ， 为奇数，则 ， 这时 的阶也为奇数，这样的元有偶数个，从而 G 中阶等于 2 的元的个数为奇数个。 习题 5 设 G 是群。 是 G 的一个变换， 是 G 中固定元素，证明 是 G 到 G 的同构映射
证明:(1) a≠b→gagg-bg→o(a)xo(b) (2)O是满射: vb∈G,#6(a)= b mng ag=b→a-8y g(gbg )-g(gbg g-b (3)O是同态 g(ab)=g(ab)g=(gag)(gbg)=g(a)o(b) 习题6把""的所有的元写成不相连的循环置换的乘积。 0(2 (23) 237/023/123 3/-3
证明：(1) 是单射； ， (2) 是满射； ，若 ，则 ， (3) 是同态； 。 习题 6 把 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积。 解： ， ， ， ， ，