兰州大学：《矩阵理论》第三讲 Jordan标准形

矩阵理论-第三讲 兰州大学信息科学与工程学院 204年 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-1

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 1 矩阵理论-第三讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 ·方阵相似的定义 相似矩阵的性质 自反性 对称性 传递性 保秩性 行列式相等 矩阵函数相似 特征多项式、特征值相同 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-2

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 2 上节内容回顾 • 方阵相似的定义 • 相似矩阵的性质 –自反性 –对称性 –传递性 –保秩性 –行列式相等 –矩阵函数相似 –特征多项式、特征值相同

上节内容回顾( Cont i nue) ·方阵可对角化的定义 A diag( a )∈F 方阵可对角化的充要条件 ,…,1,…,,∈F(+2+…+rn=m) r=dimv (i=1,2,…,k) 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-3

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 3 上节内容回顾（Continue） • 方阵可对角化的定义 • 方阵可对角化的充要条件 n n A a a an F  ~ diag( 1 , 2 ,  , ) , , , , ,, ( ) 1 1 1 2 1 F r r rn n r k k r k  + ++ =         r dimV , (i 1,2, , k) i i =  = 

上节内容回顾( Cont i nue) 可对角化方阵的对角化方法 由V2,(i=1,2,…,k)的基 i55i2 ∈F 2Sir 构成的矩阵 T△( ≌k1 ∈F 可使 71A7=dag1,…1…,,2∈Fn 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-4

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 4 上节内容回顾（Continue） • 可对角化方阵的对角化方法 由 的基 构成的矩阵 可使 n i i ir F i  1 , 2 ,  ,  V , (i 1,2, , k) i =  n n T r k kr F k  ( 11 1 1 ) 1        n n n r k k r T AT F k −  =     diag ,, , , ,, 1 1 1 1

上节内容回顾( Cont i nue) 定义 -ordan 块 o n 00 F Jordan矩阵 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-5

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 5 上节内容回顾（Continue） • 定义 –Jordan块 –Jordan矩阵 i i r r i i i F                     0 0 0 0 1 0 0 1 0 0             s J J J  2 1

Jordan标准形( Cont i nue) ·化方阵A为 Jordan标准形 特征向量法 设A∈C 如果几是A的单重特征值>在A的Jrdm矩阵中构造一个1阶的 Jordan块 ( 如果λ.是A的n重特征值 1.在A的 Jordar矩阵中构 有k个线性无关的特征向量 造k个以为对角元素 或者dmV2=k 的 Jordar块 2.k个Jorm块的阶数之 和等于 此方法适用于以下能唯一确定 jordan块的特殊情形 <3 dm1=:个阶的约当块,实际上是一个对角块 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-6

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 6 Jordan标准形（Continue） • 化方阵A为Jordan标准形 – 特征向量法 设 • 如果 是A的单重特征值 在A的Jordan矩阵中构造一个1阶的 Jordan块 • 如果 是A的 重特征值 有k个线性无关的特征向量 或者 此方法适用于以下能唯一确定Jordan块的特殊情形： – – ： 个1阶的约当块，实际上是一个对角块 nxn AC 1. 在A的Jordan矩阵中构 造k个以 为对角元素 的Jordan块 2. k个Jordan块的阶数之 和等于 V k i dim  = i r i i i ( ) i i J =  i r ri  3 i V r i dim  = i r

Jordan标准形( Cont i nue) 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例(1) 020 1.在A的 Jordar矩阵中构 单重根 造1个以1为对角元素 的 Jordan块 2.此 Jordan块的阶数等于 2 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-7

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 7 Jordan标准形（Continue） – 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(1)           − − = 4 0 3 1 2 0 1 0 1 A 1 = 2 =1 3 = 2           = − 2 1 1 1 p           = 0 1 0 3 p 1. 在A的Jordan矩阵中构 造1个以1为对角元素 的Jordan块 2. 此Jordan块的阶数等于 2         = 1 1 1 1 J           =        = 2 1 1 1 2 1 J J J 单重根： (2) J2 =

Jordan标准形( Cont i nue) 特征向量法求矩阵的 Jordan标准形举例(2) A=-202 0 1.在A的 Jordar矩阵中构 造2个以2为对角元素 的 Jordan块 J1=(2) 2.此 Jordan块的阶数等于 3 2/“2=(2) or 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-8

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 8 Jordan标准形（Continue） – 特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(2)           − − − − = 1 1 3 2 0 2 3 1 1 A 1 = 2 = 3 = 2          − = 0 1 1 1 p           = 1 0 1 2 p 1. 在A的Jordan矩阵中构 造2个以2为对角元素 的Jordan块 2. 此Jordan块的阶数等于 3 (2) J2 =         = 2 2 1 1 J                     =        = 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 or J J J (2) J1 =         = 2 2 1 2 J

Jordan标准形( Cont i nue) 初等变换法 多项式矩阵(λ矩阵) 元素都是变数λ的复系数多项式,称为多项式矩阵或λ-矩阵 A()=(an(4)∈C n×n 矩阵多项式 对A∈F",定义 f(4)=a、A3+a_143-+…+a1A+anI 为矩阵A的多项式 多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似非零子式的最 (×k)→I(i×z)k,z≠0 高阶数 /(×k+j)I(i×()+j) 不恒等于零的 多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似 子式的最高阶 B()由4(4)经有限次初等变换得到〓→A(1)=B()数 萬m六字信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲-9

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 9 Jordan标准形（Continue） • 初等变换法 – 多项式矩阵（ λ矩阵） 元素都是变数λ的复系数多项式，称为多项式矩阵或λ -矩阵 – 多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似 • • – 多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似 由 经有限次初等变换得到 n n A F   f A a A a A a A a I s s s s 1 0 1 1 ( ) = + + + + − −  m n A aij C  () = ( ()) – 矩阵多项式 对 ，定义 为矩阵A的多项式 I(i() + j) B() A() A()  B() I(ik) I(i z) k,z  0 I(i k + j) 非零子式的最 高阶数 不恒等于零的 子式的最高阶 数

Jordan标准形( Cont i nue) 多项式矩阵的Smih标准型 A()=(an(4)∈C"可通过有限次初等变换化为 d1(x) d2(x) S()= n×n ∈ (4)三S() 其中d(4),(i=12,…r)都是首一多项式,且 d()l1(4)(=1…r-1):多项式以(4)整除d1(4) S(λ)由A(λ)唯一确定,称之为A()的Smth标准形 等价的多项式矩阵具有相同的 Smith标准形 方阵的特征矩阵(/-A)是一个特殊的多项式矩阵 萬m六字信息科学与工程学院矩阵理论第3游-10

信息科学与工程学院 矩阵理论第3讲 - 10 Jordan标准形（Continue） – 多项式矩阵的Smith标准型 可通过有限次初等变换化为 – 其中 都是首一多项式，且 ：多项式 整除 – 由 唯一确定，称之为 的Smith标准形 • 等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形 • 方阵的特征矩阵 是一个特殊的多项式矩阵 m n A aij Cr  () = ( ()) m n r r C d d d S                   = 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1      d ( ), (i 1,2, ,r) i  =  ( ) ( ) ( 1, , 1) di  di+1  i =  r − () di ( ) di+1  S() A() A() (I − A) A()  S()