第一章行列式 填空题 1.四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为 解.aa2ua3ya4中行标的排列为1234,逆序为0,列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“-”,所 以答案为a12a21a3a44 2.排列i…i可经次对换后变为排列inn-…i 解排列ii2…i可经过1+2+…+(n-1)=n(n-1)2次对换后变成排列in-1…iti 3.在五阶行列式中(-1)142)231a2a3a41a24a35=a2a3a1a2a3 解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“一” 4.在函数 f(x)=x-xx|中,x2的系数是 解x3的系数只要考察2 2x3+4x2.所以x3前的系数为2 2 5.设a,b为实数,则当a= 且b= 时,-ba0=0 b o 解b =-(a2+b2)=0.所以a=b 6.在n阶行列式D=a中,当i<j时a=0(j=1,2,…,n),则D 解 =a1a22…am 7.设A为3×3矩阵,=-2,把A按行分块为A=42,其中A(=1,2,3)是A的第j行,则行列 式3A2 A A3-2A43 解3A2 A2 A1|=-3|4F6 A 二.计算证明题 1.设|AF= 12
第一章 行列式 一. 填空题 1. 四阶行列式中带有负号且包含 a12和 a21的项为______. 解. a12a21a33a44中行标的排列为 1234, 逆序为 0; 列标排列为 2134, 逆序为 1. 该项符号为“－”, 所 以答案为 a12a21a33a44. 2. 排列 i1i2…in可经______次对换后变为排列 inin－1…i2i1. 解. 排列 i1i2…in可经过 1 + 2 + … + (n－1) = n(n－1)/2 次对换后变成排列 inin－1…i2i1. 3. 在五阶行列式中 12 53 41 24 35 (15423) (23145) ( 1) a a a a a t + t - =______ 12 53 41 24 35 a a a a a . 解. 15423 的逆序为 5, 23145 的逆序为 2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数 x x x x x f x 1 2 2 1 1 ( ) - - - = 中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察 3 2 2 4 2 2 x x x x x x = - + - - . 所以 x 3前的系数为 2. 5. 设 a, b 为实数, 则当 a = ______, 且 b = ______时, 0 1 0 1 0 0 = - - - b a a b . 解. 1 ( ) 0 1 0 1 0 0 2 2 = - + = - = - - - - a b b a a b b a a b . 所以 a = b = 0. 6. 在 n 阶行列式 D = |aij|中, 当 i < j 时 aij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则 D = ______. 解. nn n n a a a a a a a a L L M O L L 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 0 = 7. 设 A 为 3×3 矩阵, |A| =－2, 把 A 按行分块为 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 3 2 1 A A A A , 其中 Aj (j = 1, 2, 3)是 A 的第 j 行, 则行列 式 = - 1 2 3 1 3 2 A A A A ______. 解. = - 1 2 3 1 3 2 A A A A 3 3 | | 6 2 3 3 2 1 1 2 3 1 = - = - = - A A A A A A A A . 二．计算证明题 1. 设 2 2 3 4 1 1 2 3 1 1 3 4 1 5 1 3 | | - A =
计算A41+A42+A4+A4=?,其中A4(=1,2,3,4)是中元素a4的代数余子式 513 60 解.A41+A42+A43+A44 111 01 1100 l023=6 00 2.计算元素为a=|l-的n阶行列式 n 解|A 由最后一行起,每行减前一行 n 每列加第n列 =(-1)2(m-1) 00 0-1 +1x,+2 3.计算n阶行列式D (n≥2) 解.当n>2 x2 x2 x2+n1x2+2 x1x1+3…x1+m|x12x1+3 x,t n x+ +nx,2x,+3 x+n xn+3…xn+n{xn2xn+3…xn x x1 x, + n 2x;+3 x + n 3 x2 2x.+3 x1x1+3 +3 xI x2 x 0 +n1 x 3 x +n
计算 A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中 A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素 a4j 的代数余子式. 解. A41 + A42 + A43 + A44 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 3 4 1 - 5 1 3 = 0 1 2 0 2 3 6 0 2 ( 1 ) 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 2 3 1 6 0 2 4 1 - = - - = + = 6 2 1 0 0 0 2 3 6 0 2 1 = - - 2. 计算元素为 aij = | i－j|的 n 阶行列式. 解. 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 1 0 2 0 1 1 | | - - - - - - - - = L M O L L L M O L L n n n n n A 由最后一行起，每行减前一行 ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 0 0 1 0 2 0 2 1 1 1 1 2 = - - - - - - - - - - n n n n n n n L M M M O O L L L L L L 每列加第 列 3. 计算 n 阶行列式 x x x n x x x n x x x n D n n n n + + + + + + + + + = L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 (n ³ 2). 解. 当n > 2 x x x n x x x n x x x n D n n n n + + + + + + = L L L L L L L 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + x x n x x n x x n n + n + + + + + L L L L L L L 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 = x x x x n x x x x n x x x x n n n n + n + + + + + L M M M M M L L 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 + x x x n x x x n x x x n n n + n + + + + + L M M M M M L L 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 1 1 + x x x n x x x n x x x n n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 1 1 + x x n x x n x x n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1 =－ x x x n x x x n x x x n n n + n + + + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 2 1 1 1 =－ x x x n x x x n x x x n n n n + + + L M M M M M L L 1 1 1 2 2 2 1 1 1 － x x n x x n x x n n n + + + L M M M M M L L 1 3 1 3 1 3 2 2 1 1 = 0
当n=2 x1+1x+2 +1x2+2=x 4证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零 证明:A=-A,|AH=|AH-A=(-1)”|AF=-|A|(n为奇数)所以=0 5试证:如果n次多项式f(x)=C0+Cx+…Cnx”对n+1个不同的x值都是零,则此多项式恒等 于零(提示:用范德蒙行列式证明) 证明:假设多项式的n+1个不同的零点为x,x,…,x,将它们代入多项式,得关于C方程组 Co+C1x+…Cnx0=0 C0+C1x1+…Cnx1=0 Co +Cx+ 系数行列式为xx1,…,xn的范德蒙行列式,不为0.所以 C.=0 6.设F(x)=12x3x2求F(x) 026x 解、F(x)=12x3x2|=2x12x3x2|=2x0x2x2=2x2012 026 13 12x=2x3 F"(x)=6 本期答案由聚焦图书提供,特别感谢!
当n = 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 x x x x x x = - + + + + 4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 证明: A A, | A | | A | | A | ( 1 ) | A | | A | T T n = - = = - = - = - (n 为奇数). 所以|A| = 0. 5.试证: 如果 n 次多项式 n n f x = C + C x +LC x 0 1 ( ) 对 n + 1 个不同的 x 值都是零, 则此多项式恒等 于零. (提示: 用范德蒙行列式证明) 证明: 假设多项式的 n + 1 个不同的零点为 x0, x1, …, xn. 将它们代入多项式, 得关于 Ci 方程组 0 0 + 1 0 + 0 = n n C C x LC x 0 0 + 1 1 + 1 = n n C C x L C x ………… 0 0 + 1 + = n n n n C C x L C x 系数行列式为 x0, x1, …, xn的范德蒙行列式, 不为 0. 所以 0 C0 = C1 = L = Cn = 6. 设 , ' ( ). 0 2 6 ( ) 1 2 3 2 2 3 F x x x x x x x F x = 求 解. x x x x x x F x 0 2 6 ( ) 1 2 3 2 2 3 = = x x x x x x 0 1 3 1 2 3 1 2 2 2 = x x x x x x 0 1 3 0 2 1 2 2 2 = x x x x x 0 1 3 0 1 2 1 2 2 2 = 3 2 2 2 0 0 0 1 2 1 2 x x x x x x = 2 F'(x ) = 6 x