第五章常微分方程 求解下列微分方程 1.1+e) ldx+e 1 解 y dy J"=1(将y看成自变量) 所以 (u-1) du ue"-e dy u=u+e 1+e dyd(u+e“)dy u+e u+e 1a+ C 解.令=l,y=x dy du 2t-1 所以a+ 2-1 u +12+1 +1 In In t+1 n2+1=cx.由y(1)=-1,得() 所以 得到x+1=0,2 求解下列微分方程 1.V1+x'y'sin 2y=2xsin2y+e2vi+r2
第五章 常微分方程 一. 求解下列微分方程： 1. 1 1 = 0 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + - ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê + dy y x e dx e y x y x 解. y x y x e y x e dy dx + ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - = 1 1 . 令 u x yu y x = , = .(将 y 看成自变量) dy du u y dy dx = + , 所以 u u e e u dy du u y + - + = 1 ( 1 ) u u u u u e u e u e ue e dy du y + + - = - + - = 1 1 y dy du u e e u u = - + 1 + , y dy u e d u e u u = - + ( + ) , y y c u e u 1 ln = - ln = ln ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + c u e y u + = 1 , y u x e y x c u e c y + = + = , x ye c y x = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê + . 2. Ô Ó Ô Ì Ï = - + - - - = (1) 1 2 2 ' 2 2 2 2 y y xy x y xy x y 解. 令 u y xu x y = , = . dx du u x dx dy = + , 所以 2 1 2 1 2 2 + - - - + = u u u u dx du u x 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 + - - - - - - = + - - - = u u u u u u u u u u dx du x x dx du u u u u u = - + + + + - 1 2 1 3 2 2 x dx du u u u ˜ = - ¯ ˆ Á Ë Ê + + + - 1 2 1 1 2 cx u u ln 1 1 ln 2 = + + , cx u u = + + 1 1 2 . 由 y (1 ) = -1 ,得 u (1 ) = -1 所以 c = 0. 0 1 1 2 = + + u u , 得到u + 1 = 0 , + 1 = 0 x y , 即 y = - x . 二. 求解下列微分方程： 1. 2 2 2 2 1 1 ' sin 2 2 sin x x y y x y e + + = +
解.令u=sin2y,则=ysin2y.得到 √1+x2=2x+c2小+2 为一阶线性方程 解得u=2m2(+lm|x+Ⅵ1+x2D.即sim2y_(c+hn|x+√1+x2D 2. (x-2xy-y )dy +y dx=0 解.原方程可化为 dx 1,为一阶线性方程0为自变量,x为因变量 解得:x=y2+cye 3. xy'ln xsin y+cos y(1-xcos y)=0 解.令cosy=u,则t=-y'siny.原方程化为 u'xInx +u(1-xu=0 为贝奴利方程 xIn x Inx u x In Inx 令z=-,则z 方程化为x+ xIn x In,为一阶线性方程 解得 (x+c)p_1 x+c cos y In x (x +c)cos y=In x 求解下列微分方程: 1.edx +(xe'-2y)dy=0 解.e'dx+xe'dy-2ydy=0 于是d(xe")-d2=0.所以方程解为xe-y2=c 2.x+ dx+1 =0 解.xdx+dy+ dx dy=0 设函数(x,y)满足dn(x,y) 所以 u(x,y) dx +o()=arcsin -+o(y) y
解. 令u sin y , u ' y ' sin 2 y 2 = 则 = . 得到 2 2 2 1 1 ' 2 x x u xu e + + = + , 2 2 1 2 1 1 2 ' 2 x e u x x u x + = + - + 为一阶线性方程 解得 ( ln | 1 |) 2 1 2 2 u e c x x x = + + + + . 即 sin ( ln | 1 |) 2 2 1 2 2 y e c x x x = + + + + . 2. ( 2 ) 0 2 2 x - xy - y dy + y dx = 解. 原方程可化为 2 2 1 y x y x dy dx = + - . 即 1 1 2 2 = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + - x dy y y dx , 为一阶线性方程(y 为自变量, x 为因变量). 解得: y x y cy e 1 2 2 = + . 3. xy' ln x sin y + cos y (1 - x cos y ) = 0 解. 令cos y = u , 则 u' = -y ' sin y . 原方程化为 - u ' x ln x + u (1 - xu ) = 0 x u x x u u ln ln ' 2 - + = , 为贝奴利方程. u x x u x u ln 1 1 ln ' 1 2 + × = - . 令 u z 1 = , 则 2 ' ' u u z - = . 方程化为 x z x x z ln 1 ln 1 '+ = , 为一阶线性方程. 解得 x x c z ln ( + ) = . 即 x x c cos y ln 1 + = , (x + c ) cos y = ln x . 三. 求解下列微分方程： 1. e dx + (xe - 2 y )dy = 0 y y 解. e dx + xe dy - 2ydy = 0 y y . 于是 ( ) 0 2 d xe - dy = y . 所以方程解为 xe y c y - = 2 . 2. 1 0 1 2 2 2 2 = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + - ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê - + dy y y x x dx y x x 解. 0 1 2 2 2 2 = - - - + + dy y y x x dx y x xdx dy 设函数u (x , y ) 满足du(x , y ) = dy y y x x dx y x 2 2 2 2 1 - - - . 所以 2 2 1 x y x u - = ¶ ¶ , ( ) arcsin ( ) 1 ( , ) 2 2 y y x dx y y x u x y + j = + j - = Ú
所以 +q(y) 于是q'(y)=0,9(y)=c 所以原方程的解为x+y+ arcsin=c 2x)dx+ 2ydy=0 解.由原方程可得(x2+y2)dx+d(x2+y2)=0 得到a+4(x2+y2) 于是原方程解为x+ln(x2+y2)=c 四.求解下列微分方程 v(x 解.2yy(x-1) 令y2=l,得到(x-1)=u-x n=-x为一阶线性方程解得 n(x-1)+c 即y2=c(x-1)+x-(x-1)ln(x-1) 解.该方程为贝奴利方程 y u n+u=x3 5 --u=-5x2.解得l=x3(c+x2) 5 于是 =cx +-x 五.设y(x)在实轴上连续,v(0)存在,且具有性质v(x+y)=v(x)y(y),试求出v(x) 解.v(0+0)=v(0y(0),v(0)=y2(0),v(0)=0,v(0)=1 i)v(0)=0.对于任何x有v(x+△x)=v(x)y(△x) 所以(x)=lim(x+Ax)=v(x)limv(△x)=v(xy(0)=0
所以 2 2 2 2 2 ' ( ) 1 y y x x y y x y x y u - + = - - - = ¶ ¶ j . 于是j '( y) = 0 ,j ( y ) = c 所以原方程的解为 c y x x + y + arcsin = 2 1 2 3. ( 2 ) 2 0 2 2 x + y + x dx + ydy = 解. 由原方程可得 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 x + y dx + d x + y = 得到 0 ( ) 2 2 2 2 = + + + x y d x y dx . 于是原方程解为 x + ln( x + y ) = c 2 2 . 四. 求解下列微分方程: 1. 2 ( 1 ) ' 2 - - = y x y x y 解. yy x - = y - x 2 2 ' ( 1 ) 令 y = u 2 , 得到u' (x -1 ) = u - x 1 1 1 ' - = - - - x x u x u 为一阶线性方程. 解得 ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - - + - = - x c x x u x ln( 1 ) 1 ( 1 ) . 即 ( 1 ) ( 1 )ln( 1 ) 2 y = c x - + x - x - x - 2. 3 6 xy'+ y = x y 解. 该方程为贝奴利方程. 6 5 3 xy y '+ y = y - - . 令 , 5 y = u - 5 ' ' 6 - y y = u - , 3 ' 5 u u x x - + = 2 5 5 ' u x x u - = - . 解得 ) 2 5 ( 5 - 2 u = x c + x 于是 5 5 3 2 5 y = cx + x - 五. 设y (x) 在实轴上连续, y'(0 ) 存在, 且具有性质y(x + y ) =y (x )y ( y ) , 试求出y (x). 解. y(0 + 0 ) =y (0 )y (0 ) , (0 ) (0 ) 2 y =y , y(0 ) = 0 , y(0 ) = 1 . i) y(0 ) = 0 . 对于任何 x 有y(x + Dx ) =y (x )y (Dx ) 所以 ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) (0 ) 0 0 0 Y = + D = D = = D Æ D Æ x y x x y x y x y x y x x
所以v(x)≡0 in)v(0)=1 y(x+Ar-y(x) y(xy(Ax)-v(x) y(x((Ax)-1 v(x(y(x-y(o 上式令Ax→0,得到 v(x)=y(x)y(0) 解得v(x)=eo)x 六.求解下列方程: I.ydx+(y-x)dy=0 y(0)=1 x 解.可得dy 这是以y为自变量的一阶线性方程 1)=0 解得x=y(c-ny) x(1)=0,c=0.所以得解x=-yln x(y+l)+sin(x+y)=0 2 xu+sin u=0 解令x+y=.可得x、z dx In -=In(csc u-cot u) csc u-cot t sin ll 丌 C l() 兀-cot 22丌 2 2 2x Sc(x+y)-cot(x+y 七.求解下列方程 (1+x2)y"+(y3)+1=0 解令y=则y”= 所以(1+x 中p d x P+1、 arctan p=-arctanx+c 所以P+x=tanc=c1,p+x=c1-crx,p(1+cx)=c1-x
所以 y(x) º 0 . ii) y(0 ) = 1 x x x x x x x x x x x x x x D - = D D - = D D - = D y ( + D ) - y ( ) y ( )y ( ) y( ) y( )(y ( ) 1) y ( )(y ( ) y (0)) 上式令Dx Æ 0 , 得到 Ó Ì Ï = = (0 ) 1 '( ) ( ) ' (0 ) y y x y x y 解得 x x e ' (0) ( ) y y = . 六. 求解下列方程: 1. Ó Ì Ï = + - = (0 ) 1 ( ) 0 y ydx y x dy 解. 可得 Ô Ó Ô Ì Ï = - = - (1 ) 0 1 x y x dy dx . 这是以 y 为自变量的一阶线性方程. 解得 x = y (c - ln y ). x(1 ) = 0 , c = 0 . 所以得解 x = - y ln y . 2. Ô Ó Ô Ì Ï = + + + = ) 0 2 ( ( ' 1) sin( ) 0 p y x y x y 解. 令 x + y = u . 可得 Ô Ó Ô Ì Ï = + = 2 ) 2 ( ' sin 0 p p u xu u u du x dx sin - = , ln ln(csc u cot u) x c = - , u u x c = csc - cot . 2 ) 2 (p p u = , 1 2 cot 2 csc 2 = - = p p p c , 2 p c = . 解为 csc( ) cot( ) 2 x y x y x = + - + p . 七. 求解下列方程: 1. (1 ) ' ' ( ' ) 1 0 2 2 + x y + y + = 解. 令 dx dp y' = p, 则y ' ' = . 所以 (1 ) 1 0 2 2 + + p + = dx dp x , 2 2 1 1 x dx p dp + = - + arctan p = - arctan x + c 所以 1 tan 1 c c px p x = = - + , p x c c px + = 1 - 1 , p + c x = c - x 1 1 (1 )
dyC,- +1 于是 dy C1c1(1+c1x) C+1 解为y=--x+-1 In 1 2.x+xy)-y=0 (2)=2,y(2) 解.令y=p,则 中p 中p 0 中pp 111 x p 令1=n,则M=-1中,2)=1 于是得到--l=-1,ln+-u=1为u对于x的一阶线性方程 解得 p2d=2x,y=2hmx+c,y(2)=2,解得c=2-2h2 所以y=2hx+2-2ln2=ln()2 2y2+(y)2=y y(0)=2,y(0)=1 解.令y=Pp,则 得到2 p=y 令p2=u,得到,+u=y为关于y的一阶线性方程.且u,=p2()=[y(0 解得u 所以1= y()-1+ce=2-1+ce-2,c=0 于是 1=±x+c y y(0)=2,得到=1,得解 -1=+x 2
于是 (1 ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 c c x c c x c c x dx dy + + = - + + - = dx c c x c c dy ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + = - + (1 ) 1 1 1 1 2 1 1 解为 2 1 2 1 2 1 1 ln | 1 | 1 1 c x c c c x c y + + + = - + . 2. Ó Ì Ï = = + - = (2) 2, ' (2) 1 ' ' ( ' ) ' 0 2 y y xy x y y 解. 令 dx dp y' = p, 则y ' ' = 0 2 + xp - p = dx dp x , 2 p x p dx dp - = - , 1 1 1 1 2 - = - dx x p dp p 令 (2 ) 1 1 ' 1 2 = = - u = dx dp p u u p ，则 ， 于是得到 1 1 - '- u = - x u , 1 1 '+ u = x u 为 u 对于 x 的一阶线性方程 解得 x c u = x + 2 1 , u(2 ) = 1 , 得 c = 0. u x 2 1 = x p 2 1 1 = , x dy dx 2 1 = , y = 2 ln x + c , y (2 ) = 2 ,解得 c = 2 - 2 ln 2 所以 ) 2 2 2 ln 2 2 ln 2 ln( 2 = + - = + x y x 3. Ó Ì Ï = = + = (0) 2, ' (0) 1 2 ' ' ( ' ) 2 y y y y y 解. 令 dy dp y' = p ，则 y ' ' = p 得到 p y dy dp p + = 2 2 令 p = u 2 , 得到 u y dy du + = 为关于 y 的一阶线性方程. 且 (0 ) [ ' (0 )] 1 | 0 2 2 = = = = p y x u 解得 y u y ce- = -1 + 所以 (0) 2 (0 ) 1 2 1 | 0 1 - - = - + = - + = = y ce ce x u y , c = 0 . 于是 u = y -1, p = ± y - 1 dx y dy = ± -1 , 1 2 y - 1 = ± x + c , 2 2 1 1 x c y - = ± + y(0 ) = 2 , 得到 1 2 1 = c , 得解 1 2 - 1 = ± + x y
八.求解下列微分方程 解.特征方程A5+x4+223+2x2+A+1=0 (+1)(2+1)2 于是得解y=c1e+(c2+c3x)sinx+(c4+c3x)cosx y(0)=1,y(0)=0,y(0)=6,y"(0)=-14 解.特征方程2-522+10-6=0,(A-1)(4+3)(2-24+2)=0 134 得通解为y=ce2+c2e-3x+e(c3cosx+c;sinx) 由y(0)=1,y(0)=0,y(0)=6,y"(0)=-14 得到 得特解y=-ex+e-3x+e'(cosx+sinx) 九.求解下列微分方程 3sin 2x+2 co 解.特征方程2+1=0,2=±i 齐次方程通解y=c1cosx+c2sinx 非齐次方程特解:y D2+1 y2 3sin 2x=3 12 2 coSx 考察 2e= 2e 1=2 1=2e D 2i+D xe=(cosx + isin x)(ix) D 2i xsinx-x cosx 所以 2 coSx=xsinx D2+1 所以通解为y=c1cosx+c2snx+x-sin2x+ x sin x 2xe+4 sin x y(0)=y(0)=0
八. 求解下列微分方程: 1. 2 ' ' ' 2 ' ' ' 0 (5) (4) y + y + y + y + y + y = 解. 特征方程 2 2 1 0 5 4 3 2 l + l + l + l + l + = ( 1 )( 1 ) 0 2 2 l + l + = = - = i = - i 1 2, 3 4, 5 l 1, l , l 于是得解 y c e c c x x c c x x x ( )sin ( ) cos = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 - 2. Ó Ì Ï = = = = - - + - = (0) 1, ' (0) 0, ' ' (0) 6, ' ' ' (0) 14 5 ' ' 10 ' 6 0 (4) y y y y y y y y 解. 特征方程 5 10 6 0 4 2 l - l + l - = , ( 1 )( 3 )( 2 2 ) 0 2 l - l + l - l + = 1 l1 = , 3 l2 = - , = 1 ± i l 3, 4 得通解为 ( cos sin ) 3 4 3 1 2 y c e c e e c x c x x x x = + + + - 由 y (0 ) = 1 , y ' (0 ) = 0 , y ' ' (0 ) = 6 , y ' ' ' (0 ) = -14 得到 2 1 c1 = - , 2 1 c2 = , 1 c3 = , 1 c 4 = 得特解 (cos sin ) 2 1 2 1 3 y e e e x x x x x = - + + + - 九. 求解下列微分方程: 1. y' ' + y = x + 3 sin 2 x + 2 cos x 解. 特征方程 1 0 2 l + = , l = ± i 齐次方程通解 y c cos x c sin x = 1 + 2 非齐次方程特解: x x D y = + = 1 1 2 * 1 x x x D x D y sin 2 sin 2 4 1 3 sin 2 1 1 3sin 2 3 1 1 2 2 * 2 = - - + = + = + = x D y 2 cos 1 1 2 * 3 + = 考察 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 D i D e D iD e D i e e D ix ix ix ix + = + = + + = + = (cos sin )( ) 1 2 1 1 )1 2 2 4 1 ( 1 2 xe x i x ix D i i e D D i e ix ix ix + = = = + - = x sin x - ix cos x 所以 x x x D y 2 cos sin 1 1 2 * 3 = + = 所以通解为 y c cos x c sin x x sin 2 x x sin x = 1 + 2 + - + 2. Ó Ì Ï = = + = + (0) ' (0) 0 ' ' 2 4 sin y y y y xe x x
解特征方程2+1=0,A=±i 齐次方程特解y =C cosx+ C sinx 非齐次方程通解y1 2xe=2 (D+1)2+ x D2+2D+2 22 y2=n2,4six=-2 x cosx(计算方法同上题,取 e"的虚部) D2+1 所以y=c1cosx+c2snx+e(x-1)-2 x cosx 由y(0)=y(0)=0可得c1=1,c2=2 得解y=cosx+2sinx+e(x-1)-2 x cosx 3. y+4y+4y=e 解特征方程2+4A+4=0,A2=-2 y=(C,+c2x)e x e D-2+2 2 i)a≠-2 (D+2)2(a+2)2 (C,+c2r)e a≠-2 所以y (CL+cx)e 十.求解下列微分方程 1.xy+xy+y=2sin(In x) 解.令x=e',则t=lnx dt dt dt 得到方程y+y=2sint.解得y=c1cost+c2sint- t cOSt 所以得解y=c1 cos In x+c2 sin Inx- In x x
解. 特征方程 1 0 2 l + = , l = ± i 齐次方程特解 y c cos x c sin x = 1 + 2 非齐次方程通解 x D D x e D xe e D y x x x 2 2 1 2 ( 1 ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 * 1 + + = + + = + = = ( 1 ) 2 1 2 1 2 ˜ = - ¯ ˆ Á Ë Ê e - D x e x x x x x x D y 4 sin 2 cos 1 1 2 * 2 = - + = (计算方法同上题, 取 ix e D 1 1 2 + 的虚部) 所以 y c x c x e x x x x cos sin ( 1 ) 2 cos = 1 + 2 + - - 由 y (0 ) = y ' (0 ) = 0 可得 1 , 2 c 1 = c 2 = 得解 y x x e x x x x = cos + 2 sin + ( -1 ) - 2 cos 3. ax y' ' +4 y ' +4 y = e 解. 特征方程 4 4 0 2 l + l + = , l1, 2 = - 2 x y c c x e 2 1 2 ( ) - = + i) a = - 2 x x x x e D e e D y 2 2 2 2 2 2 * 2 1 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 - - - = - + = + = ii) a ¹ - 2 2 2 * ( 2 ) ( 2 ) 1 + = + = a e e D y ax ax 所以 Ô Ô Ó Ô Ì Ï + + + + + = - - - x x x ax c c x e x e e a c c x e y 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( 2) 1 ( ) 2 2 = - ¹ - a a 十. 求解下列微分方程: 1. ' ' ' 2 sin(ln ) 2 x y +xy + y = x 解. 令 x e t x t = ,则 = ln 得 dt dy dt d y x y dt dy xy = - = 2 2 2 ' ' ' 得到方程 y' ' + y = 2 sin t . 解得 y c cost c sin t t cost = 1 + 2 - 所以得解 y c cosln x c sin ln x ln x cosln x = 1 + 2 -
2.(x+1)2y"-(x+1)y2+y=6(x+1)ln(x+1) 解.令x+1=e',则t=ln(x+1) (x+1)y=如 得 得到方程y-2y+y=6e'.解得y=(c1+c2l)e'+te 所以得解y=(c1+c2ln(x+1)(x+1)+(x+1)hn3(x+1) 十一:一质量为m的物体,在粘性液体中由静止自由下落,假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律 解.取物体的初始位置为坐标原点x坐标向下为正向并以x(1)表示在时刻r时的物体位置 物体所受的重力为mg,阻力为k(为比例系数,由牛顿定律A d x d2x dt"dr2.即 g x(0)=x(0)=0 x(0)=x(0)=0 解得x=c+c2"hgA 于是x=_k。- k x(0)=0,得到c1=-C2 0=x(0) 所以c="8 g 所求解为x 本期答案由聚焦图书提供,特别感谖
2. ( 1 ) ' ' ( 1 ) ' 6 ( 1 )ln( 1 ) 2 x + y - x + y + y = x + x + 解. 令 x + 1 = e , t = ln( x +1 ) t 则 得 dt dy dt d y x y dt dy x y + = - + = 2 2 2 ( 1 ) ' ' ( 1 ) ' 得到方程 t y' ' -2 y ' + y = 6 te . 解得 t t y c c t e t e 3 1 2 = ( + ) + 所以得解 ( ln( 1 ))( 1 ) ( 1 )ln ( 1 ) 3 y = c 1 + c 2 x + x + + x + x + 十一.一质量为 m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假如液体阻力与运动速度成正比, 试求物体运动的规律. 解. 取物体的初始位置为坐标原点, x坐标向下为正向. 并以 x (t ) 表示在时刻t时的物体位置. 物体所受的重力为 mg, 阻力为 dt dx k (k 为比例系数). 由牛顿定律得到: Ô Ó Ô Ì Ï = = - = (0 ) ' (0 ) 0 2 2 x x dt d x m dt dx mg k . 即 Ô Ó Ô Ì Ï = = + = (0 ) ' (0 ) 0 ' ' ' x x x g m k x 解得 t k mg x c c e t m k = + + - 1 2 于是 k mg c e m k x t m k = - + - 2 ' x(0 ) = 0 , 得到 1 2 c = -c k mg c m k = x = - + 2 0 ' (0) 所以 2 2 2 k m g c = , 2 2 1 2 k m g c = -c = - 所求解为 t k mg e k m g k m g x t m k = - + + - 2 2 2 2 . C A O
