《微分方程》第十一讲 奇解

三、克莱罗( Clairaut)方程

§3.4 奇 解 一、包络 二、奇解 三克莱罗(Clairaut)方程

包络

一、包络

定义1:对于给定的一个单参数曲线族: l。:Φ(x,y,C)=0 其中c∈cR为参数若存在一条曲线l满足下列条件 { C∈/9 (2)对任意的(x0,y)∈l2存在唯的c0∈l,使得 (xy)e且l与1在(9)9)有相同的切线 则称为曲线族1。Φ(x,y,c)=0的一条包络线 简称为包络

定义1：对于给定的一个单参数曲线族： l c : (x, y,c) = 0 其中 cI  R 为参数. 若存在一条曲线 l, 满足下列条件: (1)   ; c c I l l   (2) 对任意的 ( , ) , 0 0 x y l 存在唯一的 , 0 c  I 使得 ( ) 0 0 0 , c x y l 且 l 与 0 c l 在 ( ) 0 0 x , y 有相同的切线. 则称 l 为曲线族 l c : (x, y,c) = 0 的一条包络线, 简称为包络

例如,单参数曲线族 (x-c)2+y R (其中R是常数,c是参数)表示圆心为(c0)而半径 等于R的一族圆.如图 从图形可见此曲线族有包络 y=R和y=R

例如，单参数曲线族： 2 2 2 l c : (x − c) + y = R （其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径 等于R的一族圆. 如图 R 从图形可见,此曲线族有包络: y=R 和 y= -R

从图形可见,此曲线族没有包络 x-+ y

但是,并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: 2 2 2 l : x y c c + = (如图从形可见 其中c为参数, 此曲线族没有包络 )表示一族同心圆.

问题对于给定的单参数曲线族 l:Φ(x,y,c)=0 其中c∈IcR为参数 如何判断它是否有包络?如果有包络,如何求? 根据定义,假设该单参数曲线族有包络l,则对任意的 (xy)∈l,存在唯的c∈l,使得(x,y)∈l2 于是得到对应关系 c:l→>I, (x,y)bc(x, y)

问题:对于给定的单参数曲线族: l c : (x, y,c) = 0 其中 cI  R 为参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 根据定义, 假设该单参数曲线族有包络 l, 则对任意的 (x, y)l, 存在唯一的 c  I, 使得 ( , ) . c x y l 于是得到对应关系: c : l → I, (x, y)  c(x, y)

从而得到二元函数c=c(x,y),(x,y)∈l使得 Φp(x,y,c(x,y)=0,(x,y)∈ 若l可用参数形式表示为 ∫x=(O t∈(a,B y=v() 记C=c(q(t),v()≡c(),则 d(y(),v(t),c(t)=0,t∈(a,B) 于是, d t a y dt +Φ 0 dt

从而得到二元函数 c = c(x, y), (x, y) l 使得 (x, y,c(x, y))  0, (x, y) l. 若 l 可用参数形式表示为: ( , ) ( ), ( ),         = = t y t x t 记 c = c((t),(t))  c(t), 则 ((t),(t), c(t))  0, t (, ) 于是,  +  +   0. dt dc dt d dt d x y c  

现在Z任取—个固定点M则M在某一条曲线上由于 1与l在M点有相同的切线因为t与1在M点的切线的斜率 分别为与-①,所以有 dt 从而 0 由于在l上不同的点也在不同的1。上,即∥兴O 因此 Φ≡0

l 任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 c l 上. 由于 l 与 c l 现在 在M点有相同的切线, 因为 l 与 c l 在M点的切线的斜率 分别为 dx dy 与 , y x   − 所以, 有 从而   0. dt dc c  +   0, dt d dt d x y   由于在 l 上不同的点也在不同的 c l 上, 即  0, dt dc 因此   0. c

因此包络线l任意一点M不仅要满足Φ(x,y;c)=0, 而且还要满足Φ(x,y,C)=0 定义2:把联立方程组: d(x,y,c)=0 @.xy,c)=0 中消去参数得到的方程F(xy)=0所表示的曲线l*称为曲线族 cer的c判别曲线

因此, 包络线 l 任意一点M不仅要满足 (x, y,c) = 0, 而且还要满足  (x, y,c) = 0. c 定义2: 把联立方程组:     =  = ( , , ) 0 ( , , ) 0 x y c x y c c 中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线 l * 称为曲线族  c c I l  的c-判别曲线

定理(包络的必要条件:设Φ(x,y,C)及其各一阶偏导数是 (xyc)的连续函数,且Φ(x,y,c)=0,有连续光滑的包络 则包络必位于Φ(x,y,c)=0的c判别曲线中 注:Φ(x,yc)=0的包络是c判别曲线,但c判别曲线未必是包络 因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为Φ(x,y,c)=0 的包络,尚需按定义作进一步的验证

定理1(包络的必要条件): 设 (x, y,c) 及其各一阶偏导数是 (x,y,c)的连续函数, 且 (x, y,c) = 0, 有连续光滑的包络, 则包络必位于 (x, y,c) = 0 的c-判别曲线中. 注: (x, y,c) = 0 的包络是c-判别曲线, 但c-判别曲线未必是包络. 因此从c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 (x, y,c) = 0 的包络, 尚需按定义作进一步的验证