§2.8 Lap lace展开定理
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行(列)展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理,这在简化计算以及证明中都有很好的应用 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理,这是必须利用 Laplace展开定理。为了说明 这个方法,先把余子式和代数余子式的概念加以推广 定义(k阶子式和它的余子式):在n阶行列式D中,任意取定k 行或k列(1≤k≤n),设为第l2行和第//2 列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记 为N,则在D中划去这k行k列后,余下的元素按照原来相 对位置所构成的n-k阶子式M,称为子式N的余子式 定义(代数余子式):N的余子式M附以符号 (42…k)+ 1) (2…k)+(2…j) 称为N的代数余子式。 第二章行列式
第二章 行列式 利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。 定义（k阶子式和它的余子式）：在n阶行列式D中，任意取定k 行或k列（ 1 k n ），设为第 1 2 , , k i i i 行和第 1 2 , , k j j j 列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记 为N，则在D中划去这k行k列后，余下的元素按照原来相 对位置所构成的n-k阶子式 MN ，称为子式N的余子式。 定义（代数余子式）：N的余子式M附以符号 ( ) ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 k k i i i j j j + − ，即 ( ) ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 k k i i i j j j M A N N + − = 称为N的代数余子式
注意:1、当k=1时,上面定义的余子式和代数余子式就是§25 中关于一个元素的余子式和代数余子式。 2、M是N的余子式,N便是M的余子式,M、N互为余子式。 b 例281写出行列式D 中取定第一行和 s t y 第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式 二阶子式共有C2=6个。 引理:n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式AN 乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项,而且符号也 致 证明:首先考虑N位于行列式D的左上方(即第1,2 k行和第1,2,…,k列)的情况。这时 第二章行列式
第二章 行列式 注意：1、当k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是§2.5 中关于一个元素的余子式和代数余子式。 2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。 例2.8.1 写出行列式 a b c d g h p q D s t u v w x y z = 第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 中取定第一行和 2 4 C = 6 个。 引理：n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式 AN 乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也 一致。 证明：首先考虑N位于行列式D的左上方（即第1，2，…， k行和第1，2，…，k列）的情况。这时
k a1k+1 D k+1.2 k+1.k+1 an k+1 D中k阶子式N的余子式M位于右下角,其代数余子式为A A=(-1) 1+…+ k(、小M入=M N的每一项可写作:a1a2…aa,其中h12,…是1,2,…, k的一个排列。所以这一项前面所带符号为:(_1(24) M中每一项可写为ak+1nak+24,2…an,其中1,+2…n 是k+1k+2,,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是: 第二章行列式
第二章 行列式 11 12 1 1 1 1 1 2 1 1,1 1,2 1, 1, 1 1, 1 2 , 1 k k n k k kk kk kn k k k k k k k n N n n nk n k nn a a a a a N a a a a a D a a a a a M a a a a a + + + + + + + + + = D中k阶子式N的余子式 MN 位于右下角，其代数余子式为 AN ( ) (1 1 ) ( ) 1 k k A M M N N N + + + + + = − = N的每一项可写作： 1 2 1 2 k i i ki a a a ，其中 1 2 , , , k i i i 是1，2，…， k的一个排列。所以这一项前面所带符号为： ( ) ( 1 2 ) 1 k i i i − ， MN 中每一项可写为 1 2 1, 2, , , k k n k i k i n i a a a + + + + 其中 1 2 , , , k k n i i i + + 是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是：
1)4)(或(-1)(c 这两项的乘积是 aki ak+1,ik+ k+2 nL. 2 所带的符号是:(-1由于x,J=12,…n-k 都比k大,所以上述符号等于(-1)。因此这个乘积 是行列式D中的一项而且符号相同。 现考虑N位于D的第l…行,第j,2…,列。这里 1<l2 Lk,JI<J2 为了利用前面的结论,我们先把第i行依次与1-1,-2,…,1 行对换,这样经过i-1次对换把第;行换到第1行,再把第2 行依次与第2-1-2,…2行对换而换到第2行,共经2-2 次对换,如此进行下去,一共经过 (-1)+(2-2)+…+(k-k)=(1+…+i)-(1+2+…+k) 第二章行列式
第二章 行列式 ( ) ( 1 2 ) 1 k k n i i i + + − （或 ( ) (( 1 2 )( ) ( )) 1 k k n i k i k i k + + − − − − ）。 这两项的乘积是： 1 2 1 2 1 2 1, 2 , k k k n i i ki k i k i ni a a a a a a + + + + 所带的符号是： ( ) ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 k k k n i i i i i i + + + − 由于 , 1, 2, k j i j n k + = − 都比k大，所以上述符号等于 ( ) ( 1 2 1 2 ) 1 k k k n i i i i i i + + − 。因此这个乘积 是行列式D中的一项而且符号相同。 现考虑N位于D的第 1 2 , , , k i i i 行，第 1 2 , , , k j j j 列。这里 1 2 1 2 ; k k i i i j j j 为了利用前面的结论，我们先把第 1 i 行依次与 1 1 i i − − 1, 2, ,1 行对换，这样经过 1 i −1 次对换把第 1 i 行换到第1行，再把第 2 i 行依次与第 2 2 i i − − 1, 2, , 2 行对换而换到第2行，共经 2 i − 2 次对换，如此进行下去，一共经过 (i i i k i i k 1 2 1 − + − + + − = + + − + + + 1 2 1 2 ) ( ) ( k k ) ( ) ( )
次行对换把第l1,l2…行换到第1,2,…,k行 利用类似的列变换,可以把N的第j2…,列换到第1,2, ,k列,这时一共经过 (-1)+(2-2)+…+(k-k)=( )-(1+2+…+k) 次列变换,把N换到左上角,把M换到右下角 用D表示经上述行、列变换后得到的新行列式,由于一次行 (列)对换改变行列式的符号,故新、旧行列式之间有如下 关系: (+…+1k)-(+2+…+k)+( 1+2+…+k (+…+k)+(+…+) 由此可知,D1和D的展开式中出现的项是一样的,只不过每 项都相差符号为(-1y k)+(+…+jk) 第二章行列式
第二章 行列式 次行对换把第 1 2 , , , k i i i 行换到第1，2，…，k行。 利用类似的列变换，可以把N的第 1 2 , , , k j j j 列换到第1，2， …，k列，这时一共经过 ( j j j k j j k 1 2 1 − + − + + − = + + − + + + 1 2 1 2 ) ( ) ( k k ) ( ) ( ) 次列变换，把N换到左上角，把M换到右下角。 用 D1 表示经上述行、列变换后得到的新行列式，由于一次行 （列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下 关系： ( ) ( 1 1 ) (1 2 1 2 ) ( ) ( ) 1 1 k k i i k j j k D + + − + + + + + + − + + + = −( ) ( 1 1 ) ( ) 1 k k i i j j D + + + + + = − 由此可知， D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一 项都相差符号为 ( ) ( 1 1 ) ( ) 1 k k i i j j + + + + + −
现在N位于D的左上角,它的余子式M位于D1的右下角, 由第一步知N·M中的每一项都是D1中的一项且符号相同, N·A (++4)+(1+…+) N·M 故N·A中每一项都与D中的一项相等且符号一致。 定理2.81( Laplace定理):设在行列式D中任意取定 k(1≤k≤n-1)行,由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们 的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明:设D中取定k行后所得的子式为M,M…M,它的 代数余子式分别为A,A2…,A,下证 D=M1A1+M2A2+…+M 由引理知,MA中的每一项都是D中一项而且符号相同,而且 MA和M,A(≠j无公共项。因此要证明(1)式成立,只要 第二章行列式
第二章 行列式 现在N位于 D1 的左上角，它的余子式 MN 位于 D1 的右下角， 由第一步知 N MN 中的每一项都是 D1 中的一项且符号相同， ( ) ( 1 1 ) ( ) 1 k k i i j j N A N M N N + + + + + = − 故 N AN 中每一项都与D中的一项相等且符号一致。 定理2.8.1（Laplace定理）：设在行列式D中任意取定 k k n (1 1 − ) 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们 的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明：设D中取定k行后所得的子式为 1 2 , , , , M M Mt 它的 代数余子式分别为 1 2 , , , , A A At 下证 D M A M A M A = + + + 1 1 2 2 t t —（1） 由引理知， M Ai i 中的每一项都是D中一项而且符号相同，而且 M Ai i 和 ( ) M A i j j j 无公共项。因此要证明（1）式成立，只要
证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有n!项, 为了计算(1)的右边的项数,先算出t共有多少个。由组合 公式知t=Ck= 因此取出的k阶子式共有 个,而M中共有k!项, k!(n-k)! A中共有(n-k)项,故等式(1)的右边的项数共有 k!(n-k).t=n 20300 31 例282计算行列式D=714 10200 52001 解:取定1、4两行,由 Laplace定理得 第二章行列式
第二章 行列式 证明等式两边的项数相等就可以了。由定义知D中共有 n! 项， 为了计算（1）的右边的项数，先算出t共有多少个。由组合 公式知 ( ) ! ! ! k n n t C k n k = = − 因此取出的k阶子式共有 ( ) ! ! ! n k n k − 个，而 Mi 中共有 k! 项， Ai 中共有 (n k − )! 项，故等式（1）的右边的项数共有 k n k t n ! ! ! ( − = ) 例2.8.2 计算行列式 2 0 3 0 0 3 1 2 3 1 7 1 4 1 2 1 0 2 0 0 5 2 0 0 1 D − = − 解：取定1、4两行，由Laplace定理得
1+4)+(1 D 7312 84 201 由上例可知,对特殊类型的行列式, Laplace展开能使计算简化, 另外,定理还能用于理论证明。 定理2.8.2(行列式相乘规则):两个n阶行列式 11 和D2 的乘积等于 nI 2 12 行列式D=2 2,其中c为D中第行元素与 nI 第二章行列式
第二章 行列式 ( ) (1 4 1 3 ) ( ) 1 3 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 0 1 D + + + − = − − 3 3 1 7 3 1 2 0 0 1 − = − − = −84 由上例可知，对特殊类型的行列式，Laplace展开能使计算简化， 另外，定理还能用于理论证明。 定理2.8.2（行列式相乘规则）：两个n阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 和 11 12 1 21 22 2 2 1 2 n n n n nn b b b b b b D b b b = 的乘积等于 行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn c c c c c c D c c c = ，其中 ij c 为 D1 中第i行元素与 D2
中第j列对应元素的乘积之和,即 b,+a,b,+…+a 证明:构造一个2n阶行列式 00 0 00 0 00 0 10 0 12 0 0 b 6 22 bm bm2 取定前n行,根据 Laplace展开得Dn=D·D2 对D2作消法变换,即分别用h1b1…bn乘第1列,第2列, ,第n列加到第n+1列,用饥2b2…b,2乘第1列,第2列, 第二章行列式
第二章 行列式 中第j列对应元素的乘积之和，即 1 1 2 2 , , 1, 2, , ij i j i j in nj c a b a b a b i j n = + + + = 证明：构造一个2n阶行列式 11 12 1 12 22 2 1 2 2 11 12 1 21 22 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n nn n n n n n nn a a a a a a a a a D b b b b b b b b b = − − − 取定前n行，根据Laplace展开得 D D D 2 1 2 n = 对 D2n 作消法变换，即分别用 11 21 1 , , n b b b 乘第1列，第2列， …，第n列加到第n+1列，用 12 22 2 , , n b b b 乘第1列，第2列