第七节广义积分 巴一、无穷限的广义积分 巴二、无界函数的广义积分 巴三、小结思考题
、无穷限的广义积分 定义1设函数∫(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>a,如果极限imf(x)d存在,则称此极 b→+0Ja 牛限为函数/()在无穷区间+3)上的广义积 + 分,记作∫(x)d + b f(x)dx= lim f(x)dx b→+0a 牛当极限存在时,称广义积分收敛当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分
c类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b1上连续,取 a<b,如果极限lmf(x)存在,则称此极 限为函数∫(x)在无穷区间(∞,b上的广义积 牛分,记作∫/x 工工工 r f()dx=lim rf(x)do c当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a b，如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间(-∞,+0)上连续,如果 广义积分。f(x)d和f(x)dk都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 王(-0+0)上的广义积分,记作∫。(x 工工工 ∫f(x)t=。f(x)dx+nf(x)d lim f(x)dx+ lim f(x)dx 王极限存在称广义积分收敛:否则称产义积分发散
设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx . + − f (x)dx − = 0 f (x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
例1计算广义积分 -o1+x +00 dx o dx +oO d x 解 2 1+x 1+x 2 0 01 b im x+ lim.2dx a→-ah1+x →+Q lim arctan lim larctanx 少+0 T =-lim arctan+ lim arctan=1-6+6=T a→-0 b→+0 2 王页下
例1 计算广义积分 . 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − −
例2计算广义积分2sin 解 2 SIndh = SIn 元xC xx b,11 b =-lim b→+0① cos rr b→+o x|2 lim cos-cos=1 b→>+∞ b 2 上页
例2 计算广义积分 解 . 1 sin 1 2 2 + dx x x + 2 1 sin 1 2 dx x x + = − 2 1 1 sin x d x = − →+ b b x d x 2 1 1 lim sin b b x = →+ 2 1 lim cos = − →+ 2 cos 1 lim cos b b = 1
例3证明广义积分d当p>1时收敛, 当p≤1时发散 主证①)p=1x==m对2+ p+e+∞o p1 因此当p>1时广义积分收敛,其值为 P 当p≤1时广义积分发散 上页
例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当p 1时收敛， 当 p 1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 dx x p + = 1 1 dx x + = 1 ln x = +, (2) p 1, + 1 1 dx x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当p 1时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p 1时广义积分发散
例4证明广义积分厂c四当p>0时收敛, 当p+a P 9d_a ddO u= 已 b→+o D-0 P P 0,p0时收敛,当尸<0时发散 上页
例 4 证明广义积分 + − a p x e dx当p 0时收敛， 当 p 0时发散. 证 + − a px e dx − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e = − − →+ lim = − − − →+ p e p e pa pb b lim = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p 0时收敛，当p 0时发散
生二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间a,b上连续,而在 点a的右邻域内无界.取>0,如果极限 庄mCm(x存在,则称此极限为函数(x) 少 工工工 在区间(a,b上的广义积分,记作f(x)dc b b f(x)dx=lim f(x)dc +0 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
定义 2 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在 点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限 →+ + b a f x dx lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx. b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分
类似地,设函数f(x)在区间a,b)上连续, 而在点b的左邻域内无界.取E>0,如果极限 imf(x)/存在,则称此极限为函数f(x) +0 在区间[a,b)上的广义积分, b b 记作!f(x)dtc=imf(x)d →+0 A当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
类似地，设函数 f (x) 在区间[a,b) 上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限 − →+ b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间[a,b)上的广义积分， 记作 b a f (x)dx − →+ = b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散