第三节体积 一、旋转体的体积 巴二、平行截面面积为己知的 立体的体积 小结思考题
庄一旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 上页
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为r, y=f(x) x∈[,b 斗在ab上任取小区0aab 间[x,x+xl, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,d=叫f(x)2te 王旋转体的体积为=」叫() 上页
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
例1连接坐标原点O及点P(,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋 转构成一个底半径为、高为的圆锥体,计算 圆锥体的体积 午解直线OP方程为 0 y=x 上取积分变量为,x∈0,n 在[0,上任取小区间x,x+dx], 上页
y 例 1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 dv=xl=xdx 圆锥体的体积 2 h h Trx V= T-x dx s h h h23 3 0 上页
以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o
2 庄例2求星形线x+py2=a(a>0)绪轴旋转 构成旋转体的体积 2 解 2 y2=a3-x3x∈|-a,a 旋转体的体积 3 V=l a3-x3 dx= 323 T 105 上页
− a a o y x 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)绕x 轴旋转 构成旋转体的体积. 解 , 3 2 3 2 3 2 y = a − x 3 3 2 3 2 2 y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a
类似地,如果旋转体是由连续曲线 x=φ(y)、直线y=C、y=d及轴所围 成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体, 体积为 v=lo(]dy =q(y) 0 上页
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y)、直线 y = c 、 y = d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体， 体积为 x y o x = ( y) c d y dy 2 [( )] = d c V
例3求摆线x=a(t-sint),y=a(1-c0st) 的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴 旋转构成旋转体的体积 解绕x轴旋转的旋转体体积 y(x) 2 T y(x)dx ra x 0 2兀 eao a'(1-cost).a(1-cos)dt T = a (1-3cost+3cos t-cost)dt=5Ta 王页下
例 3 求摆线 x = a(t − sin t)， y = a(1 − cos t) 的一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a a 2a y(x)
绕y轴旋转的旋转体体积 2 Bx=x2(v) 可看作平面图OABC与OBC =x1(y) 2πx 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差 2a .= 丌x2(y) dy- tx(dy =I.a(t-sint).asin tdt T T n a(t-sint)". asin tdt Jo 2兀 = a Jo (tsint sin tdt=6t a 上页
绕y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC 与OBC 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dy a y ( ) 2 2 0 2 = x y dy a ( ) 2 2 0 1 − o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a
补充如果旋转体是由连续曲线y=f(x 直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体,体积为 v,=2TxIf(x)Idx 利用这个公式,可知上例中 2 T 工工工 V=2πxl|f(x)|tr 2兀 =2 a(t-sint) a(1-cost)[a(t-sint)I 2兀 2ta(t-sin t)(1-cos t)dt=6t'a 0 上页
补充 如果旋转体是由连续曲线y = f ( x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( ) | = 利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( ) | 2 0 = = − − − 2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)] = − − 2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 = a
