第六节微分法在几何上的应用 巴一、空间曲线的切线与法平面 巴二、曲面的切平面与法线 三、小结思考题
生一、空间曲线的切线与法平面 x=() 设空间曲线的方程{y=v() (1) z=(t) (1)式中的三个函数均可导.2 M 设M(x0,y,z0),对应于t=t0 M'(x0+△x,y+4y,+△z) 对应于t=t+△r X y 上页
设空间曲线的方程 (1) ( ) ( ) ( ) = = = z t y t x t o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M • . ( , , ) 0 0 0 0 t t t M x x y y z z = + + + + 对应于( , , ), ; 0 0 0 0 设 M x y z 对应于t = t • M
割线MM的方程为 M X0= y-y_3 M △x △z O 考察割线趋近于极限位置切线的过程 上式分母同除以M, x-Xo_J==z-Z0 △y △ △t △t 上页
考察割线趋近于极限位置——切线的过程 z z z y y y x x x − = − = − 0 0 0 t t t 上式分母同除以 t, o z y x M • 割线 MM 的方程为 • M , 0 0 0 z z z y y y x x x − = − = −
王当M→M即△→时 曲线在M处的切线方程 -xo y=yo2-% φ"(t)v'(t0)o(t) 切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量 T=o(t,),y' (to),a(to)) 法平面:过M点且与切线垂直的平面 φ"(t)(x-x0)+v(ta)(y-y0)+o(t0)(z-z0)=0 上页
当M → M,即t → 0时 , 曲线在M处的切线方程 . ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 法平面：过M点且与切线垂直的平面. (t 0 )(x − x0 ) +(t 0 )( y − y0 ) +(t 0 )(z − z0 ) = 0
王例1求曲线r:x=2" cosudu,y=2smt +cost,z=1+e在t=0处的切线和法平面方程 解当t=0时,x=0,y=1,z=2 x'=e cost, y'=2cost-sint, i'=3e →x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3, 切线方程 x-0y-1x-2 2 3 法平面方程x+2(y-1)+3(z-2)=0, 即x+2y+3z-8=0 上页
例1 求曲线 : = t u x e udu 0 cos ，y = 2sin t + cost, t z e 3 = 1+ 在t = 0处的切线和法平面方程. 解 当t = 0时， x = 0, y = 1,z = 2, x e cost, t = y = 2cost − sint, 3 , 3t z = e x(0) = 1, y(0) = 2, z (0) = 3, 切线方程 , 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3(z − 2) = 0, 即 x + 2 y + 3z − 8 = 0
特殊地: c1空间曲线方程为J=(x) lz=y(x) 在M(x 05090 )处, 切线方程为 x-x0y-y_370 (x1)y'(xn) 法平面方程为 (x-x)+(x0)(y-y)+y(x0)(x-z0)=0 上页
1.空间曲线方程为 , ( ) ( ) = = z x y x ( , , ) , 在M x0 y0 z0 处 , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 x z z x x x y y − = − = − ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 + x0 y − y0 + x0 z − z0 = 法平面方程为 切线方程为 特殊地：
2空间曲线方程为F(x,y)=0 G(x,y,z)=0 Z-Z 切线方程为 O-Y GG G. G GG Z0 x|0 y 法平面方程为 x-xo+ (-yn)+ GG G. G (z-z0) xlo 0 上页
2.空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 切线方程为 , 0 0 0 0 0 0 x y x y z x z x y z y z G G F F z z G G F F y y G G F F x x − = − = − 法平面方程为 0. ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 = − + − + z − z G G F F y y G G F F x x G G F F x y x y z x z x y z y z
庄例2求曲线x2+y2+2=6,x++z=0在 点(1,-2,1处的切线及法平面方程 王解1直接利用公式 解2将所给方程的两边对x求导并移项,得 y z-x y;+x,=-x dyd +“=-1 中dd y-Z x-y y-Z 上页
例 2 求曲线 6 2 2 2 x + y + z = ，x + y + z = 0在 点(1,−2, 1)处的切线及法平面方程. 解 1 直接利用公式; 解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得 + = − + = − 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y , y z z x dx dy − − = , y z x y dx dz − − =
0 (1,-2,1) drl,2. 1) 由此得切向量T={1,0,-1}, 所求切线方程为 x-1y+2x-1 0 法平面方程为(x-1)+0·(y+2)-(z-1)=0 →x-z=0 上页
由此得切向量 T = {1, 0,−1}, 所求切线方程为 , 1 1 0 2 1 1 − − = + = x − y z 法平面方程为 (x − 1) + 0 ( y + 2) − (z − 1) = 0, x − z = 0 0, (1, 2, 1) = dx − dy 1, (1, 2, 1) = − dx − dz
庄二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为 4 F(x,y,z)=0 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 x=o(t) r:{y=v(, z=0() 压曲线在》处的切向量r=6《 上页
设曲面方程为 F(x, y,z) = 0 { ( ), ( ), ( )}, 0 0 0 T = t t t 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通 过点M的曲线 , ( ) ( ) ( ) : = = = z t y t x t 二、曲面的切平面与法线 n T M