第四节多元复合函数的 求导法则 链式法则 二、全微分形式不变性 巴三、小结思考题
、链式法则 定理如果函数u=d(t)及ν=y()都在点可 导,函数z=∫(u,v)在对应点(u,ν)具有连续偏 导数,则复合函数乙=|y(t),v(t)在对应点可 导,且其导数可用下列公式计算 工工工 dt au d t av dt 证设t获得增量△, 则△=p(t+△)-(t),△v=v(t+△)-v(t);
证 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) −(t); 一、链式法则 定理 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 设 t 获得增量 t
c由于函数z=f(4,)在点(u,)有连续偏导数 △ oz =。△A+△ν+61△+E2△v au av 当A→0,△ν→0时,E1>0,E2→>0 4sOz△u,azA △ △p ·+61+E2 ou△tp △t △t △t 当△→0时,△M→0,△→0 △u △yd △tdt △tdlt 上页
由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v →
d △ oz du a. dv =m== 十 dtM→0△ t au dt av dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 dz a du az dv az dw 如 dt 十 dt au Oy dt aw dt p 牛以上公式中的导数称为金号数 上页
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 王而是多元函数的情况:z=几(xy)y(x,y 如果u=p(x,y)及ν=y(x,y)都在点x,y) A具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,)在对应 午点(4)具有连续偏导数,则复合函数 =∫(x,y),(x,y)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 oz az au az av az oz au z ay ax au ax av ax ay ou ay av Oy 上页 圆
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]. 如果u = (x, y)及v = ( x, y)都在点(x, y) 具有对x和y 的偏导数，且函数z = f (u,v)在对应 点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f [(x, y), (x, y)]在对应点(x, y) 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z + = ， y v v z y u u z y z + =
c链式法则如图示 J ax au ax ay ax az O Ou Oz a av 上页
u v x z y 链式法则如图示 = x z u z x u + v z , x v = y z u z y u + v z . y v
类似地再推广,设u=(x,y)、v=v(x,y)、 w=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,复 函数乙=d(x,y),v(x,y),w(x,y)在对应点(x,y) 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 oz az au az av az aw ax au ax av ax aw ax 十 十 y ay au ay Ov ay aw ay 上页
类似地再推广，设u = (x, y)、v = ( x, y)、 w = w( x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数，复合 函数z = f[(x, y), (x, y), w(x, y)]在对应点(x, y) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z + + = , y w w z y v v z y u u z y z + + = . z w v u y x
特殊地z=∫(u,x,y)其中u=(x,y) 即z=∫|y(x,y),x,y,令ν=x,W=y, OV=1, Ox =0 0 ay 区 az af au af az af au bf 9 十 ax au ax ax ay au ay ay 类 似 两者的区别 把z=∫(u,x,y) 复合函数z=0(x,yx,y中的及y看作不 中的y看作不变而对的偏导数变而对x的偏导数
特殊地 z = f ( u, x, y ) u = ( x, y ) 即 z = f[(x, y), x, y], , xf xu uf xz + = . yf yu uf yz + = 令 v = x , w = y , 其中 = 1 , xv = 0 , xw = 0 , yv = 1 . yw 把复合函数 z = f [( x, y), x, y] 中的y 看作不变而对x 的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的 u 及 y 看作不 变而对x 的偏导数 两者的区别 区别类似
例1设 z=e"sinv,而=x,ν=x+y, Oz az 求ax和 解 s Oz au az av 十 ax au ax ay ax =e“sinv·y+e"cosw·1=e“(ysinν+c0sv, az az au az av Oy au ay aνay =e sinv x+e" cosv1=e"(sinv+ cos v) 上页 圆
例 1 设z e v u = sin ，而u = xy，v = x + y ， 求 x z 和 y z . 解 = x z u z x u + v z x v = e sinv y + e cosv 1 u u e ( ysinv cos v), u = + = y z u z y u + v z y v = e sinv x + e cosv 1 u u e (xsinv cos v). u = +
例2设z=ν+sint,而u=e',v=cost, 求全导数 dt 廨taz, az dv az t=an‘aton;‘mt 十 at =ve -usint+ cost =e cost-e sint+ cos t =e(cos t-sin t)+ cost. 上页
例 2 设z = uv + sint，而 t u = e ，v = cos t ， 求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +