第四节平面曲线的弧长 四一、平面曲线弧长的概念 巴二、直角坐标情形 巴三、参数方程情形 巴四、极坐标情形 巴五、小结思考题
生一、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两y 个端点,在弧上插入分点 M B=M 4=MM,…·M i MM=B A=M n一 n 工工工 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, c此折线的长∑|M1M1极限存在,则称此极限为 i=1 曲线弧AB的弧长 上页
o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
二、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x)y (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在q,b idy 上在取小区间x+, 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长√(d)2+(dy)2=1+y2t 弧长元素‘=1+y2弧长s=1+y 上页
设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形
士 2 例1计算曲线y=x2上相应从到b的一段 3 弧的长度 解∵y'=x2, d=1+(x3)2x=1+xkx, 所求弧长为 s=+x=21(+b)2-(+a 3 上页
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x 从a 到b 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线y=[" nsin ed e的弧长(0≤x≤mm) x 1 解y =n、SIn SIn n n s=「√1+y2 nC 1+sin-dx 0 n x=nt rt √1+sint.ndt 0 2 sin-+ cos=+2 sin-cos-dt 0 22 n sin -+cos-ldt =4n 0 2 上页
例 2 计算曲线y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n
生三、参数方程情形 曲线弧为 x=o(t) (a≤t≤B) y=y(t) 王其中9(OV(O0a,上具有连续导数 d=x)2+(y)2=lp"2(t)+y"2()th)2 =、g"2(t)+y"(t)d 弧长s=√g2(t)+y"2(r)lt 上页
曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[, ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt = + 三、参数方程情形
庄例3求星形线x+y3=a(a>0的全长 生解星形线的参数方程为(x=010gs2 y=asin t 根据对称性s=4s1第一象限部分的弧长 生-4(+()=4x asin t cos tdt =(a。 上页
例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)的全长. 解 星形线的参数方程为 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2) 根据对称性 4 1 s = s (x ) ( y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 第一象限部分的弧长
例4证明正弦线y= a sin(0≤x≤2)的弧长 x= cos t 上等于椭圆{1+a2 J=1+(0≤t≤27)的周长 证设正弦线的弧长等于 工工工 S,=V1+y2dx=1+a? cos2xdx 0 2 +a cos rar, 0 设椭圆的周长为S2 上页
例 4 证明正弦线y = a sin x (0 x 2)的弧长 等于椭圆 = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0 t 2)的周长. 证 设正弦线的弧长等于 1 s s y dx = + 2 0 2 1 1 a xdx = + 2 0 2 2 1 cos 设椭圆的周长为 2 s 2 1 cos , 0 2 2 a xdx = +
2兀 (x)2+(y)l, 0 根据椭圆的对称性知 a dt 2sint+1+acost) 0元 2 1+acos tdt T 21 +a cos xd=S, 0 故原结论成立 上页
( ) ( ) , 2 0 2 2 2 s x y dt = + 根据椭圆的对称性知 s ( t) ( a )( t) dt = + + 0 2 2 2 2 2 sin 1 cos a xdx = + 0 2 2 2 1 cos , 1 = s 故原结论成立. a tdt = + 0 2 2 2 1 cos
生四、极坐标情形 曲线弧为=(0)(as9≤/ 其中p(6)在a,月上具有连续导数 ∷/=r(6)cos6 (a≤6≤B) y=rosin ds=√(x)2+(dy)2=r2()+r()d, 弧长s= B r2()+r2(0l0 上页
曲线弧为 r = r( ) ( ) 其中( )在[, ]上具有连续导数. = = ( )sin ( )cos y r x r ( ) 2 2 ds = (dx) + (dy) ( ) ( ) , 2 2 = r + r d 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s r r d = + 四、极坐标情形
