《高等代数》 多媒体教案 惠州学院数学系 潘庆年
《高等代数》 多媒体教案 惠州学院数学系 潘庆年
前言 作为大学基础课程的基础代数,是中学代数的继 续和提高,在中学数学教师的知识结构中占有重要地 位,通过这门课程的学习,读者会发现它和中学代数 有很大的不同,这种不同不仅表现在内容的深度上。 同时读者将会体会到由具体抽象出一般概念回到具体 事物去这种辨证观点的逻辑推理方法,从中受到一次 严格的教学训练,这对提高学生的教学素养,为后继 课程打好理论基础无疑是非常必要的 高等代数基本上是由被称为多项式理论和被称为 线性代数的相互联系着的这两部分内容组成 多项式理论主要是研究关于形如: CnX+amn-1x+…+a1x+ao
前言 作为大学基础课程的基础代数，是中学代数的继 续和提高，在中学数学教师的知识结构中占有重要地 位，通过这门课程的学习，读者会发现它和中学代数 有很大的不同，这种不同不仅表现在内容的深度上。 同时读者将会体会到由具体抽象出一般概念回到具体 事物去这种辨证观点的逻辑推理方法，从中受到一次 严格的教学训练，这对提高学生的教学素养，为后继 课程打好理论基础无疑是非常必要的。 高等代数基本上是由被称为多项式理论和被称为 线性代数的相互联系着的这两部分内容组成。 多项式理论主要是研究关于形如： 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − −
的多项式的最基本的最重要的一系列代数性质, 即多项式在加法和乘法运算中表现出来的性质, 其中主要是和多项式的整除性相联系的若干概念 和结论、多项式唯一分解定理、最大公因式及其 求法等内容。 线性代数理论是由研究有个未知量的一次线 性方程组的问题发展起来的,为了研究方程的个 数等于未知量个数的线性方程组,引进了行列式 理论。为了讨论方程的个数不等于未知量个数的 线性方程组,又引进了矩阵理论。随着线性代数 自身的不断发展,尤其是计算机科学的飞速发展, 使得线性化的问题越来越突出,高等代数的内容 正经历一次又一次的变革,而且在科学技术和科 学研究方面将起到更加重要的作用
的多项式的最基本的最重要的一系列代数性质， 即多项式在加法和乘法运算中表现出来的性质， 其中主要是和多项式的整除性相联系的若干概念 和结论、多项式唯一分解定理、最大公因式及其 求法等内容。 线性代数理论是由研究有个未知量的一次线 性方程组的问题发展起来的，为了研究方程的个 数等于未知量个数的线性方程组，引进了行列式 理论。为了讨论方程的个数不等于未知量个数的 线性方程组，又引进了矩阵理论。随着线性代数 自身的不断发展，尤其是计算机科学的飞速发展， 使得线性化的问题越来越突出，高等代数的内容 正经历一次又一次的变革，而且在科学技术和科 学研究方面将起到更加重要的作用
第 章 第藁灬 基本概 (Basic Concept) 讲 (Sets) 本讲的教学目的和要求 本讲主要介绍了集合的基本内容:集合的概念, 集合的基本要素,集合的表示方法以及集合的运算。 是现代数学最基本的概念之一,完全是为日后高 等代数的学习进行必要的知识储备 本章的教学重点和难点 集合的概念,尤其是所谓的“三要素”以及集合 中的五种常用的运算是学生重点要掌握的知识。而 由于补集、差集和积集这两个概念相对“复杂”些
第 一 章 基 本 概 念(Basic Concept) 第 一 讲 集 合 (Sets) 本讲的教学目的和要求 本讲主要介绍了集合的基本内容：集合的概念， 集合的基本要素，集合的表示方法以及集合的运算。 它是现代数学最基本的概念之一，完全是为日后高 等代数的学习进行必要的知识储备。 本章的教学重点和难点 集合的概念，尤其是所谓的“三要素”以及集合 中的五种常用的运算是学生重点要掌握的知识。而 由于补集、差集和积集这两个概念相对“复杂”些， 故要求予以高度的重视
集合的概念 1、集合和它的元素 将一群确定的事物作为整体来考虑 时,这一整体就叫做集合。常用大写拉丁 字母A、B、C…表示。 例如: 某校的全体学生组成一个集合; 某房间的全部桌椅组成一个集合 全体自然数组成一个集合 区间[1,3内的自然数组成一个集合
集合的概念 1、集合和它的元素 将一群确定的事物作为整体来考虑 时，这一整体就叫做集合。常用大写拉丁 字母 …表示。 例如： 某校的全体学生组成一个集合； 某房间的全部桌椅组成一个集合； 全体自然数组成一个集合； 区间[1，3]内的自然数组成一个集合。 A、B、C
定义1:组成集合的每一个事物叫做这个集合 的元素。常用小写拉丁字母a,b,c,…表 小 注 1、如果a是集合的A元素,就说a属于 记作a∈A;如果不是的元素,就是说a不属 于A,记作a≠A 2、一个集合若只含有限个元素,这个集 龛贰篾有限默命它果限集合由无限多个 例1:4={35,79}是有限集7∈A而4gA 是由所有自然数构成的集合,那么是个无限集 且10∈B而√2gB
定义1：组成集合的每一个事物叫做这个集合 的元素。常用小写拉丁字母 表 示。 注： 1、如果a是集合的A元素，就说a属于A， 记作 ;如果不是的元素，就是说a不属 于A，记作 。 2、一个集合若只含有限个元素，这个集 合就叫做有限集合；如果一个集合由无限多个 元素组成的，就叫它为无限集合。 例1： 是有限集 而 。 是由所有自然数构成的集合，那么是个无限集 且 而 a A a A A ={3,5,7,9} a,b,c, 7 A 4 A 10B 2 B
2、集合的三要素 确定性:给出一个集合,就相当于给出了一个明确的判定标准,由 超任嘉果没若果雁或标准确就朵3给毫个拿中的元素是的 譬如,我的班上所有“胖子”的同学构成的集合,这个集合是无法确 定的,因为其中的元素不能准确确定。 相异性:同一集合的诸元素是彼此不同的。也就是说,相同的对象归入 譬如,不能说某集合中有四个元素都是数b说数b是这个集合里的一个 元素。 无序性:集合中元素的罗列顺序是不讲究的。也就是说这个集合中无论元 素的次序如何颠倒,其结果还是原来这个集合 说明:对于常见的数的集合(简称数集)我们约定用一些特定的字母 来表示: N—一自然数 Z—整数集 Q——有理数集 R—实数集 C—复数集
2、集合的三要素 确定性：给出一个集合，就相当于给出了一个明确的判定标准，由它可以 判定任意 对象是否属于这个集合。也就是说，这个集合中的元素是确 定的。如果没有这个标准或标准不明确，就不算给出一个集合。 譬如，我的班上所有“胖子”的同学构成的集合，这个集合是无法确 定的，因为其中的元素不能准确确定。 相异性：同一集合的诸元素是彼此不同的。也就是说，相同的对象归入一 个集合时，只能算作这个集合的一个元素。 譬如，不能说某集合中有四个元素都是数b说数b是这个集合里的一个 元素。 无序性：集合中元素的罗列顺序是不讲究的。也就是说这个集合中无论元 素的次序如何颠倒，其结果还是原来这个集合. 说明：对于常见的数的集合（简称数集）我们约定用一些特定的字母 来表示： N——自然数 Z——整数集 Q——有理数集 R——实数集 C——复数集
集合的表示法 集合的表示方法常用的有两种: 1、列举法:把集合的元素一一列举出来,写 在大括号内表示集合的方法叫做列举法。 例2:小于7的自然数的集合可以表示为 A={1,2,3,4,5,6} 说明:对于无限集合来说,列举法使用起来就 不方便了,比如,{2,3…}集合如不加说明,我们 没有理由认为它表示自然数,因为{…}表示什么, 我们并不清楚
二、集合的表示法 集合的表示方法常用的有两种: 1、列举法：把集合的元素一一列举出来，写 在大括号内表示集合的方法叫做列举法。 例2：小于7的自然数的集合可以表示为： 说明：对于无限集合来说，列举法使用起来就 不方便了，比如， 集合如不加说明，我们 没有理由认为它表示自然数，因为 表示什么， 我们并不清楚。 A ={1,2,3,4,5,6} {1,2,3, } {}
2、描述法:把集合中元素的共同属性描述 出来,写在大括号内表述集合的方法叫做 描述法。即一般形式为{xP(x),其中P(x)表 示元素ⅹ的共同属性 例3:A={xx=2m,n∈公}表示全体偶 数组成的集合 B={x∈R,x2+3x+2=0 表示方程x2+3x+2=0的全体实 根组成的集合
2、描述法：把集合中元素的共同属性描述 出来，写在大括号内表述集合的方法叫做 描述法。即一般形式为 ,其中 表 示元素x的共同属性。 例3： 表示全体偶 数组成的集合。 表示方程 的全体实 根组成的集合。 {x P(x)} P(x) A={x x = 2n,nZ} { , 3 2 0} 2 B = x x R x + x + = 3 2 0 2 x + x + =
集合的包含与相等 1、集合的包含 定义2:设A,B是两个集合,如果A的每个元素都 是B的元素,则称A包含于B或B包含A记作:AcB。 这时称A是B的子集,B是A的扩集。如果A∈B且B中 至少有一个元素不属于A,那么A叫做B的真子集,记 作AcB 例4显然有 NCZCOCRCC 说明:不含任何元素的集合叫做空集,记为φ。我们约定 对任何集合A,都有sA 注:集合{0}不是空集;不能将集合记作{} 说明:一般地,若研究的一切集合都是某个固定集合的子 集,那么这个固定集合叫做全集 2、集合的相等 集合A与集合B相等:A=B→AB且BcA
三、集合的包含与相等 1、集合的包含 定义2：设 ， 是两个集合，如果 的每个元素都 是 的元素，则称 包含于 或 包含 记作： 。 这时称 是 的子集， 是 的扩集。如果 且 中 至少有一个元素不属于 ，那么 叫做 的真子集，记 作 例4：显然有 说明：不含任何元素的集合叫做空集，记为 。我们约定： 对任何集合A，都有 。 注：集合{0}不是空集；不能将集合记作{ } 说明：一般地，若研究的一切集合都是某个固定集合的子 集，那么这个固定集合叫做全集。 2、集合的相等 集合A与集合B相等： A B A B A B B B A A A B B A A B B A B A B A N Z Q R C A A= B A B且B A
