§24行列式的基本性质
§2.4 行列式的基本性质
直接用定义计算行列式是很麻烦的事,本节要导出行列 式运算的一些性质,利用这些性质,将使行列式的计算大为 简化 转置行列式:把n阶行列式D={2a的第行 变为第i列(ⅰ=1,2,…,n)所得的行列式 11021 2a2a2称为D的转置行列式,用D表示。 第二章行列式
第二章 行列式 直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列 式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为 简化。 转置行列式：把n阶行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 的第i行 变为第i列（i=1，2，…，n）所得的行列式 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 称为D的转置行列式，用 D 表示
性质1:行列式D与它的转置行列式相等。(转置变换) 证:考察D的任意项a1na21…an (1) 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积,因而 也是取自D′的第j,2…n行,1,2,…,n列的 n个元素的乘积,因而也是D中的一项 12 Inn (2) 1)项所带的符号是(-1)2m0),(2)项所带 的符号也是( 1)()+(2.n) 。因而D中的任一项均为 D中的项而且所带的符号也相同。同理可知D中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D=D 性质1表明,在行列式中,行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质,对列也同样成立 第二章行列式
第二章 行列式 性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 1 2 1 2 n j j nj a a a —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而 也是取自 D 的第 1 2 , , , n j j j 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 D 中的一项: 1 2 1 2 n j j j n a a a —（2）。 （1）项所带的符号是 ( ) (12 ) ( 1 2 ) 1 n n j j j + − , (2)项所带 的符号也是 ( ) ( 1 ) (12 ) 1 n j j n + − 。因而D中的任一项均为 D 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 D 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= D . 性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行 成立的性质，对列也同样成立
性质2:把行列式D中某一行(列)的所有元素同乘以常数k, 相当于用数k乘这个行列式,即 2 k kaml=AD(倍法变换) n2 证明:an1a12 ∑(-1) ka J12J2 第二章行列式
第二章 行列式 性质2 ：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k， 相当于用数k乘这个行列式，即 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka kD a a a = （倍法变换） 证明： 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 n i n j j j j ij nj a a ka a = −
∑(-1) kla 2 推论1:一个行列式中某一行(列)所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面 推论2:如果行列式中某一行(列)所有元素都为零,则这个 行列式等于零。 在性质2中,取k=0,即知结论成立。 性质3:交换行列式D中的某两行(列),行列式变号。 (换法变换) 第二章行列式
第二章 行列式 ( ) ( 1 ) 1 2 1 2 1 n i n j j j j ij nj k a a a a = − 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 推论1：一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提 到行列式的符号外面。 推论2：如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个 行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3：交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。 （换法变换）
12 In 2 2 即设D D 2 则有:D=-D 证:取D中任一项 (1) 它所带的符号是:(-)y 显然a…a 也是D中的一项, 第二章行列式
第二章 行列式 即设 11 12 1 1 2 1 2 1 2 , n i i in j j jn n n nn a a a a a a D a a a a a a 11 12 1 1 2 1 1 2 1 2 n j j jn i i in n n nn a a a a a a D a a a a a a 则有： D D = − 1 证：取D中任一项： 1 1 i j n k ik jk nk a a a a —（1） 它所带的符号是： ( ) ( 1 ) 1 i j n k k k k − ， 显然 1 1 j i n k jk ik nk a a a a 也是 D1 中的一项
它所带符号为:(力(-) 由于对换改变排列的奇 偶性,故D中的任一项与D,中对应项刚好相差一个符号, 故D=-D 推论3:如果行列式中有两行(列)的元素对应相同,则这 个行列式等于零 (交换这两行(列)即知D=-D) 推论4:如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则 这个行列式等于零。 (利用性质2和推论3) 性质4:如果行列式中某一行(列)中的所有元素都可表成 两项之和,则该行列式可拆成两个行列式之和,即 (拆法变换) 第二章行列式
第二章 行列式 它所带符号为： ( ) ( 1 ) 1 j i n k k k k − 。由于对换改变排列的奇 偶性，故D中的任一项与 D1 中对应项刚好相差一个符号， 故 D D = − 1 推论3：如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这 个行列式等于零。 （交换这两行（列）即知 D D = − ） 推论4：如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则 这个行列式等于零。 （利用性质2和推论3） 性质4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成 两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即 （拆法变换）
a1 D ;2 2 2 2 2 证明:D=∑(1)an…(an+b2) =∑(-1) +∑(-1) 第二章行列式
第二章 行列式 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n i i i i in in n n nn a a a D a b a b a b a a a = + + + 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a b b b a a a a a a = + 证明： ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n i i n j j j D a a b a j ij ij nj = − + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 1 1 n n i n i n j j j j j j j ij nj j ij nj a a a a b a = − + −
a1 a1 12 i2 i2 性质5:把行列式中某一行(列)的所有元素同乘上一个数k 再加到另一行(列)的对应元素上,所得行列式与原 行列式相等。(消法变换) a1a12 tka tka tka 2 n2 第二章行列式
第二章 行列式 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a b b b a a a a a a = + 性质5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k 再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原 行列式相等。（消法变换） 即 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn n n nn a a a a a a a a a a a a 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i j i j in jn j j jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a a a a + + + =
利用性质4和推论4即知。 a+x b+x C+x, 例241计算行列式D3=a+2b+x2C+x2 a+x b+x, c+ a+x, b-a c 解:D2=a+x,b a+x, b-a c-al 0 第二章行列式
第二章 行列式 利用性质4和推论4即知。 例2.4.1 计算行列式 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 a x b x c x D a x b x c x a x b x c x + + + = + + + + + + 1 3 2 3 a x b a c a D a x b a c a a x b a c a + − − = + − − + − − 解: = 0