第九讲
第九讲
533解对初值的连续性和 可微性定理 解对初值的连续性 二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性
§3.3 解对初值的连续性和 可微性定理 一、解对初值的连续性 二、解对初值和参数的连续性 三、解对初值的可微性
一、解对初值的连续性
一、解对初值的连续性
问题的提出:对于徽分方程 f(x,y),(x,y)∈G dx 我们讨论了解的存在唯一性定理及解的延拓定理,其中G为平面R2 上一个区域.如果f(xy)在G内连续且关于y满足局部Lchz条件, 则对任意的(xny0)∈G, Cauchy问题: X,y y( 存在唯一的饱和解现在让(xy)在G内变动则上述 Caucr问题的解 一般也要随之变动
例如:对于cauc问题: 它的解为y=yx3
因此一般而言, Cauchy问题的解不仅与x有关,而且还与初值 (x0,y)有关.为了明确起见,也常把cauc问题的解表示为 y=g(x,x,y)并且它具有下列性质 性质1:(;,)=y0; 性质2:关于初值的对称性设微分方程中=(x),(x,∈G的满足初 始条件y(x0)=%的解是唯一的,记为y=g(x,x0,y0),则在此表达式中, (x,y)与(x0y)的地位是对称的,即在解的存在范围内成立关系式: 0=g(x,x,y)
这里出现了一个在理论上与应用上都很重要的问题:当初值发生 变化时,对应的解是如何变动的?根据所考虑的解的存在范围是否有 限分成下面两种问题 问题1:在某个有限区间a,上有定义讨论初值(x,y)的微小变化 对解的影响情况称为解对初偵的连续性内容包括:当初值发生小的 变化时,所得到的解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上 是否也变化很小? 问题2:在某个无限闭区间如[a,+∞o)上有定义讨论初值(x,yo)的微小 变化是否导致解在[a,+∞)有定义以及解在整个区间[a,+0)上变化很小? 这种问题称为解的稳定性问题将在第六章中讨论
现在来讨论问题在于为此先给出两个引理 引理1 Bellman不等式):设g(x)为团区间[ab]上的非负连续函数, xo∈[a,b]若存在≥0k≥0,对任意的x∈[a,使得 g(x)≤B+kg(5)al 则对任意的x∈[a,b],g(x)≤4
在介绍第二个引理之前先给出下面的定义 定义1:设B,E2CR2,令心 d(E2)=ifx1-x2)2+(1+y2)2|(x,n)∈B1(x2y2)∈B2 则称d(B1,B2)为码1,E2之间的距离 引理2:设码CR2是有界闭集(也称紧致集),B2CR2是闭集,且 B1∩E2=,则 d(21,2E2)>0
定理1(解对初值的连续依赖性定理):对于定义在平面R2上一个区域 G中的做分方程 f(x, y) d 设f(x)y)在G内连续且关于y满足局部 Lipschitz条件.如果(xn)y)∈G 且Cauc问题: f(x, y) O(o)=> 的解y=(x,x0,y)在某个闭区间[a,的上有定义,则对任意的a>0,存在 8=(;a,b)>0,对任意的(x∈G,只要(x-x)2+(-y0)2≤B,使得 Cauchy问题: f(x,y dx y 的解y=(x,x在[a,b]上也有定义,且对任意的x∈[a,b],恒成立 (x)-x)
