第七章无穷级数 选择题 1.设α为常数,则级数 ∑ SIn na (A)绝对收敛.(B)发散。(C)条件收敛.①D)敛散性与α取值有关 ih na 解 绝对收敛 发散,所以S|sm in na 1 发散.(B)是答案 2.设Ln=(-1)"ln(1+=),则 (A∑n与∑吃都收敛(∑与∑都发散 (C)∑un收敛,而∑v发散(D)∑u发散,∑收敛 解,由菜布尼兹判别法∑收敛,E吃Cm(+ 因为 ln2(1+ m=1,∑发散,所以∑v发散(C是答案 3.设函数f(x)=x2,0≤x<1,而s(x)=∑ b sin nx,-0<x<+0.其中 bn=2f(x) sin ndx,(n=12,…),则s(-)等于 (A) D)1 解、s(x)=∑bsin,-<x<+是f(x)=x20≤x<1进行奇展拓后展成的富氏级 数.所以s(- -)=-(B)是答案 4.设∑(-1)”an条件收敛,则 (A)∑an收敛,(B)∑an发散,(C)∑(an-an)收敛 (D)∑a2和∑a21都收敛 解因为∑(-1)°an条件收敛,所以lman=0.对于(C)
第七章 无穷级数 一. 选择题 1. 设a为常数, 则级数Â • = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 sin 1 n n n na (A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 解. Â • =1 2 sin n n na 绝对收敛, Â • =1 1 n n 发散, 所以Â • = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 sin 1 n n n na 发散. (B)是答案 2. 设 ) 1 ( 1 ) ln(1 n u n n = - + , 则 (A) Â • n=1 u n 与Â • =1 2 n u n 都收敛. (B) Â • n=1 u n 与Â • =1 2 n u n 都发散. (C) Â • n=1 u n 收敛, 而Â • =1 2 n u n 发散. (D) Â • n=1 u n 发散, Â • =1 2 n u n 收敛. 解 . 由 莱 布 尼 兹 判 别 法 Â • n=1 u n 收 敛 , Â Â • = • = = + 1 2 1 2 ) 1 ln (1 n n n n u . 因 为 1 ln (1 1 ) lim 2 = + Æ• n n n , Â • =1 1 n n 发散, 所以Â • =1 2 n u n 发散. ( C)是答案. 3. 设 函 数 ( ) ,0 1 2 f x = x £ x < , 而 Â • = = -• < < +• 1 ( ) sin , n n s x b n px x . 其 中 Ú = = 1 0 b 2 f (x )sin n xdx , (n 1, 2, L) n p , 则 ) 2 1 s (- 等于 (A) 2 1 - , (B) 4 1 - , (C) 4 1 , (D) 2 1 解. s x = Â b n x -• < x < +• n ( ) sin p , 是 ( ) ,0 1 2 f x = x £ x < 进行奇展拓后展成的富氏级 数. 所以 ) 2 1 s(- = 4 1 ) 2 1 ) ( 2 1 - s( = - f = - . (B)是答案. 4. 设Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 条件收敛, 则 (A) Â • n=1 a n 收敛, (B) Â • n=1 a n 发散, (C) Â • = - + 1 1 ( ) n a n a n 收敛, (D) Â • =1 2 n a n 和Â • = + 1 2 1 n a n 都收敛. 解. 因为Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 条件收敛, 所以lim = 0 Æ• n n a . 对于(C)
sn=∑(a-ak+)=a1-an 所以imsn=lim(a1-an)=a1(C)是答案 5.设级数∑un收敛,则必定收敛的级数为 (A)∑(-1)(B)∑v2(C)∑(u2n-2)①)∑(n+un-) 解∑un收敛,所以∑un收敛收敛级数的和收敛所以(D)是答案对于(C)有以下反 例∑1=2(-n,∑2n1=22=1,∑4=2-2n所以 2n-1 发散 6.若∑an(x-1)”在x=-2处收敛,则此级数在x=-1处 (Δ)条件收敛,(B)绝对收敛,(C)发散,(D)收敛性不确定 解.因为在x=-2收敛,所以收敛半径大于2.幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛 (B)是答案 7.设幂级数∑ax"的收敛半径为3,则幂级数∑man(x-1)的必定收敛的区间为 (A)(-2,4) (B)[-2,4](C)(-3,3) 解(区u)-m=立m“n立“有相收数半径所以 x-1k3 2<x<4 在(-2,4)中级数一定收敛,在端点级数不一定收敛所以答案为(A 二.判断下列级数的敛散性: 解.因为lim n(n+2) 1,所以 sin和∑ 有相同的敛散性.又 i In(n+2)n nIn n nIn n
Â= = - + = - + n k n a k a k a a n s 1 1 1 1 ( ) 所以 1 1 1 lim s lim (a a ) a n n n n = - + = Æ• Æ• . (C)是答案. 5. 设级数 • n=1 u n 收敛, 则必定收敛的级数为 (A)  • = - 1 ( 1 ) n n nn u (B)  • =1 2 n un (C)  • = - - 1 2 1 2 ( ) n u n u n (D)  • = + - 1 1 ( ) n u n u n 解.  • n=1 u n 收敛, 所以 • = - 1 1 n u n 收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反 例:   • = - • = = - 1 1 1 1 ( 1 ) n n n n n u ,   • = • = - - = 1 1 2 1 2 1 1 n n n n u ,   • = • = = - 1 1 2 2 1 n n n n u . 所以   • = • = - - = 1 1 2 1 2 1 ( ) n n n n n u u 发散. 6. 若 • = - 1 ( 1 ) n n n a x 在 x = - 2 处收敛, 则此级数在 x = - 1处 (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定. 解. 因为在 x = - 2 收敛, 所以收敛半径大于 2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案. 7. 设幂级数 • n=1 n n a x 的收敛半径为 3, 则幂级数 • = + - 1 1 ( 1 ) n n n na x 的必定收敛的区间为 (A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) 解. ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê Â • = ' n 1 n n a x  • = - = 1 1 n n n na x  • = + 1 2 1 n n n x na x 和 • n=1 n n a x 有相同收敛半径. 所以 | x -1 | < 3 , - 2 < x < 4 在(－2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A). 二. 判断下列级数的敛散性: 1.  • = 1 + 1 sin ln( 2 ) 1 n n n 解. 因为 1 ln 1 1 sin ln( 2 ) 1 lim = + Æ• n n n n n , 所以 • = 1 + 1 sin ln( 2 ) 1 n n n 和 • =1 ln 1 n n n 有相同的敛散性. 又
因为 丁发散由积分判别法知∑ nIn n 发散.所以原级数发散 n i(a+n-la+na+n+l(a+ 0) 2.∑n1m 解.因为 lim la+n-D(a+n(a+n+ 1)=1,所以 m(a+n-1)(a+n)(a+n+1) 有相同的敛散性x收敛,所以原级数收敛 3 n ∑ 3-(n+1) slin(n+1)”1 >1,所以级数发散 n+1/n 解,lin「n2n+1/n=01收敛,p<1发散 (2n-1)! 1)=hm(2n+2) 1=lim 3n (2n+1)!! 2n+121,所以级数收敛 2n+4)!
因为Ú +• 2 ln 1 dx x x 发散, 由积分判别法知Â • =1 ln 1 n n n 发散. 所以原级数发散. 2. ( 0 ) ( 1 )( )( 1 ) 1 1 ¹ + - + + + Â • = a a n a n a n n 解. 因为 1 1 ( 1 )( )( 1 ) 1 lim 3 = + - + + + Æ• n a n a n a n n , 所 以 ( 0 ) ( 1 )( )( 1 ) 1 1 ¹ + - + + + Â • = a a n a n a n n 和 Â • =1 3 1 n n 有相同的敛散性. Â • =1 3 1 n n 收敛, 所以原级数收敛. 3. Â • =1 3 ! n n n n n 解. 1 3 3 ! ( 1 ) 3 ( 1 )! lim lim 1 1 1 = > + + = + + Æ• + Æ• e n n n n u u n n n n n n n n , 所以级数发散. 4. Â • = 1 + 2 ( 1 / ) n n n n n 解. 0 1 1/ ( ) lim ( 1/ ) lim 2 2 = 1收敛，r 1, 所以级数收敛
+1+√n-1 解.lim-址=lim (n+1)! =lim =00)
7. Â • = + - - 1 ( 1 1 ) ! 1 n n n n 解. 0 1 ( 1 )( 2 ) 1 1 lim ( 1 1 ) ! 1 ( 2 ) ( 1 )! 1 lim lim 1 = 0 )
解因为 lim u≠0,级数发散 (n+1)yn+1-1 n+1 x+1 解.Iim =0,令f(x)= →(n+1)√n+1 (x+1)y√x+1 (x+1) 当x>0时,f"(x)= <0,所以数列 单减.根 x+1)√x+1-2 n+1)n+ 据莱布尼兹判别法级数收敛 因为limn(n+1)Nn+1 =1,而∑产发散所以∑ 1 发散.原级数条 m(n+1)√n+1-1 件收敛 解.因为1 m3m+)=所以(m+)收效级数绝收效 4.∑(-1) 3.5·7…(2n+1) 2.5·8…(3n-1) 3·5…(2n+1)(2n+3) 解因为im=m2:5…(37-1)(3n+2)2-2n+3∠1 3.5…(2n+1) n+3n+ 5…(3n-1) 所以 3.5·7…(2n+1) 收敛,原级数绝对收敛 2·5·8…(3n-1) tan tan 解.lim 收敛,原级数绝对收敛 ∑si(m
解. 因为lim ¹ 0 Æ• n n u , 级数发散. 2.  • = + + - + - 1 ( 1 ) 1 1 1 ( 1 ) n n n n n 解. 0 ( 1 ) 1 1 1 lim = + + - + Æ• n n n n , 令 ( 1 ) 1 1 1 ( ) + + - + = x x x f x 当 x > 0 时, 0 [( 1) 1 1] 1 2 1 1 ( 1) ' ( ) 2 2 < + + - - + - + = x x x x f x , 所以数列 ˛ ˝ ¸ Ó Ì Ï + + - + ( 1) 1 1 1 n n n 单减. 根 据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为 1 1 ( 1 ) 1 1 1 lim = + + - + Æ• n n n n n , 而 • =1 1 n n 发散, 所以 • = + + - + 1 ( 1 ) 1 1 1 n n n n 发散. 原级数条 件收敛. 3.  • = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + - 1 3 1 2 1 ( 1) n n n n n 解. 因为 3 2 3 1 2 1 lim ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê + + Æ• n n n n n , 所以 • = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + + 1 3 1 2 1 n n n n 收敛, 原级数绝对收敛. 4.  • = × × - × × + - 1 2 5 8 (3 1 ) 3 5 7 (2 1 ) ( 1 ) n n n n L L 解. 因为 1 3 2 3 2 2 3 lim 2 5 (3 1 ) 3 5 (2 1 ) 2 5 (3 1 )(3 2 ) 3 5 (2 1 )(2 3 ) lim lim 1 = < + + = × - × + × - + × + + = Æ• Æ• + Æ• n n n n n n n n u u n n n n n L L L L 所以 • = × × - × × + 1 2 5 8 (3 1 ) 3 5 7 (2 1 ) n n n L L 收敛, 原级数绝对收敛. 5.  • = - - 1 1 1 ( 1 ) tan n n n n 解. nÆ• lim n n n n 1 1 tan =1,  • =1 1 n n n 收敛, 原级数绝对收敛. 6.  • = + 1 sin( ) n n n p p
sin( nT t =∑(-1 )"sin t 因为im一1=z,又因为∑(-1),条件收敛,所以原级数条件收敛 阻1设正项数列单调下∑n发明级数∑“)收数 2设正项数列{n},b}满足b,2-bn2(6>0为常数证明:级数∑a收敛 证明:1.因为正项数列{an}单调下降,且∑(-1)”an发散,由莱布尼兹判别法 lim a=a存在,且a≠0.容易证明:Vn,an>a,(反设存在N,使得axaN>aN+ 令k→∞,得到a>ax≥a,矛盾).所以 1-a=an-m0为常数),所以 bnan-bnan≥an1>0,即该数列递减有下界,于是 lim b a存在.由此推出 b,an-bnan+1)收敛 han-hnan,所以级数>a收敛 五.求下列级数的收敛域: 1.∑(3"+vn)x-1)2 解.∑(3"+x-12=∑3x-132+∑Ⅵn(x-1)2 第一个级数的收敛半径为,第二个级数的收敛半径为1.所以它们的共同收敛区域为 (1-÷=1+一)考察端点
解. Â Â • = • = + = - 1 1 sin( ) ( 1 ) sin n n n n n n p p p . 因为 p p = Æ• n n n 1 sin lim , 又因为Â • = - 1 1 ( 1 ) n n n , 条件收敛, 所以原级数条件收敛. 四. 1.设正项数列{ } n a 单调下降, 且Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 发散, 证明: 级数Â • = + - 1 1 (1 ) n n na a 收敛. 2. 设正项数列{ } n a , { } n b 满足 ( 0 1 1 - + ³ > + d d n n n n b a a b 为常数), 证明: 级数Â • n=1 a n 收敛. 证 明 : 1. 因为 正项 数列 { } n a 单 调 下降 , 且 Â • = - 1 ( 1 ) n n n a 发 散 , 由莱 布 尼兹 判别 法 , a a n n = Æ• lim 存在, 且a ¹ 0 . 容易证明: n a a " , n > .(反设存在 N, 使得a a N > + 1 > L > + , 令k Æ • , 得到a a a > N ³ , 矛盾). 所以 a a a a a a a a n n n n n n n 1 1 1 1 + + - + + d d n n n n b a a b 为 常 数 ), 所 以 0 bna n - b n+1a n+ 1 ³ da n+ 1 > , 即 该 数 列 递 减 有 下 界 , 于 是 n n n b a Æ• lim 存 在 . 由 此 推 出 Â • = - + + 1 1 1 ( ) n b na n b n a n 收敛. d 1 1 1 + + + - < n n n n n b a b a a , 所以级数Â • n=1 a n 收敛. 五. 求下列级数的收敛域: 1. Â • = + - 1 3 2 (3 )( 1 ) n n n n x 解. Â Â Â • = • = • = + - = - + - 1 3 2 1 2 1 3 2 (3 )( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) n n n n n n n n n x x n x 第一个级数的收敛半径为 3 1 , 第二个级数的收敛半径为 1. 所以它们的共同收敛区域为 ) 3 1 ,1 3 1 (1 - + . 考察端点:
当x=1土一时,得∑1+∑第一个级数发散,第二个级数收敛所以该级数发散原 级数的收敛区域为(1-,1+一) 2n+1 解.lim =|x2<1,于是|xk1 →V2n+ 当x=1时,得∑(-1,收敛当x=-1时,得∑(-1) 收敛.于是原级 2n+1 数的收敛区域为[-1,1 2n-1 n F|x∠1xk√2.当x=±2时,得数项级数S2n-1 √2 通项都不趋于0,发散该级数的收敛区域为(√2,√2) ∑(*21) 第一个级数的收敛区域(-1,1),第二个级数的收敛区域|x.所以公共收敛区域为 IE 解mn9=91.当x-1=土3时得数项级数∑,发散,该级数的收 敛区域为(-2,4) n 解Im=1x-5F=4x-5k1.当x-5=-1时,得∑收敛,当x-5=1时
当 3 1 x = 1 ± 时, 得Â Â • = • = + 1 3 1 3 1 n n n n 第一个级数发散, 第二个级数收敛. 所以该级数发散. 原 级数的收敛区域为 ) 3 1 ,1 3 1 (1 - + . 2. Â • = + + - 1 2 1 2 1 ( 1 ) n n n n x 解. | | 1 2 1 | | lim 2 2 1 = . 所以公共收敛区域为 1) 2 1 ) ( 2 1 (-1，- » ， . 5. Â • = × - 1 2 9 ( 1 ) n n n n x 解. 1 9 | 1 | 9 | 1 | lim 2 2 < - = × - Æ• x n x n n n n . 当 x -1 = ± 3 时得数项级数 Â • =1 1 n n , 发散. 该级数的收 敛区域为(－2, 4). 6. Â • = - 1 ( 5 ) n n n x 解. | 5 | | 5 | 1 1 lim - = - < Æ• x x n n n n . 当 x - 5 = - 1 时, 得 Â • = - 1 ( 1 ) n n n 收敛, 当 x - 5 = 1 时
得∑一发散敛该级数的收敛区域为46 六.求下列级数的和 ∑ 2(3n+1)(3n+4(3n+7) 2 左(3k+1)3k+4)(3k+7)1813k+13k+43k+7 1,21121121 2 471071013 3n+13n+43n+7 所以 z(3n+1)(3n+4)(3n+7)24 i n(n+m) 令n充分大,n→ n(n+m) m(nn+m n(n+m)n红k(k+m)mn=如(kk+m m n+1 7+m/5m(1+2+…+1 2n-1 xP(-yx2=1+x所以s(x=(x)=「 d x= arctan x -1,1 4.∑m(n+1)x 解Im{m(m+1)1x=|xk1收敛当x=±1得∑m(n+1)及∑(-1)"m(n+1都发散
得Â • =1 1 n n 发散敛. 该级数的收敛区域为[4, 6). 六. 求下列级数的和: 1. Â • = 0 (3 +1 )(3 + 4 )(3 + 7 ) 1 n n n n 解. Â Â = = ˙ ˚ ˘ Í Î È + + + - + = + + + n k n k k k k k k k 1 1 3 7 1 3 4 2 3 1 1 18 1 (3 1 )(3 4 )(3 7 ) 1 = ˙ ˚ ˘ Í Î È + + + - + - + + - + + - + + + 3 7 1 3 4 2 3 1 1 13 1 10 2 7 1 10 1 7 2 4 1 7 1 4 2 1 18 1 n n n L = 24 1 3 7 1 3 4 1 4 1 1 18 1 ˙ Æ ˚ ˘ Í Î È + + + - - n n . 所以 24 1 (3 1 )(3 4 )(3 7 ) 1 0 = + + + Â • n= n n n 2. Â • = 1 ( + ) 1 n n n m 解. ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + = - n n + m m n n m 1 1 1 ( ) 1 . 令 n 充分大, n Æ • Â Â Â= Æ• = Æ• • = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + = - + = + n k n n k n n n n m k k m m k k m 1 1 1 1 1 lim 1 ( ) 1 lim ( ) 1 = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê ˜ = + + + ¯ ˆ Á Ë Ê + - - + + + + - m Æ• m n n m m m n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 lim 1 1 L L L 3. Â • = - - - - 1 2 1 1 2 1 ( 1 ) n n n n x 解. | | 1 2 1 | | lim 2 2 1 = < - - Æ• x n x n n n 级数收敛, 所以收敛半径为 1. 当 x = ± 1时都得到交错级数. 由 莱 布尼 兹判 别法知 收敛 . 所 以收敛 区域 为[ － 1, 1].令 s(x ) = Â • = - - - - 1 2 1 1 2 1 ( 1 ) n n n n x . s'(x ) = 2 1 1 2 2 1 1 ( 1 ) x x n n n + Â - = • = - - 所 以 dx x x s x s x dx x x arctan 1 1 ( ) ' ( ) 0 2 0 = + = = Ú Ú , [－1, 1]. 4. Â • = + 1 ( 1 ) n n n n x 解. lim ( + 1) | | = | | < 1 Æ• n n x x n n n 收敛. 当 x = ± 1得Â • = + 1 ( 1 ) n n n 及Â • = - + 1 ( 1 ) ( 1 ) n n n n 都发散
所以收敛区域为(-1,1) m+1x积分二次∑x-)=x 2 n( n+Ir=x 1+x)(1+x) x+1|x+1 <1,所以当-3<x<1时收敛 当x=1时得数项级数 发散;当x=-3时得数项级数∑(-1)一,收敛于是收敛区 域为[一3,1 x+1 dx =h2-ln(1-x)=h2 ,[-3,1) n(n+)x2并求 解、x=21xk2.当x=+2时得到的数项级数发散,所以收敛 区域为(-2,2) ∑叫m+x“积分二次 )-(3)-1x1 16 (-2,2) 所以yn(n+1)16 =16 (2-1)3 七.把下列级数展成x的幂级数 1.f(x)=ln(1+x-2x) 解.∫"(x)= 1+x-2x22x+11-x =2∑(-1)2"x"-∑x"=∑(-1)"2"-lx 上述级数的收敛半径为一.所以 (1∑(-2-xh=∑(-y2-1x=∑p2
所以收敛区域为(－1, 1). 3 ' ' 2 1 ' ' 1 1 1 1 (1 ) 2 1 ( 1 ) ( 1 ) x x x x n n x x n n x x x x n n n n n n + = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê Â + =  +  • = • = - + • = 积分二次 ,(－1, 1) 5.  • = + 1 2 ( 1) n n n n x 解. 1 2 | 1 | 2 | 1 | lim < + = + Æ• x n x n n n n , 所以当- 3 < x < 1时收敛. 当 x = 1时得数项级数 • =1 1 n n , 发散; 当 x = - 3时得数项级数 • = - 1 1 ( 1 ) n n n , 收敛. 于是收敛区 域为[－3, 1). Â Ú Â Ú - Â Ú - • = - - • = • = - ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê + = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê + = + x x n n x n n n n n n dx x dx x dx n x n x 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) 2 ( 1) = x x - - - = 1 2 ln 2 ln(1 ) ln , [－3, 1). 6.   • = - • = - - + + 1 1 1 1 1 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n n n n n n x n n 并求 解. 1 ,| | 2 2 | | | | 2 ( 1 ) lim 1 1 = < < + - - Æ• x x x n n n n n n . 当 x = ± 2 时得到的数项级数发散, 所以收敛 区域为(－2, 2). 3 ' ' 2 ' ' 1 ' ' 1 1 1 1 1 1 1 (2 ) 16 2 2 2 4 2 2 ( 1) x x x x x x n n n n n n n n n n - = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - = ˜ ˜ ¯ ˆ Á Á Ë Ê ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê = ˜ ¯ ˆ Á Ë + Ê Â Â Â • = • + = - • + = - - 积分二次 , (－2, 2) 所以 16 (2 1 ) 16 2 ( 1 ) 3 1 1 = - = +  • = - n n n n 七. 把下列级数展成 x 的幂级数: 1. ( ) ln(1 2 ) 2 f x = + x - x 解. x x x x x f x - - + = + - - = 1 1 2 1 2 1 2 1 4 ' ( ) 2 =    • = • = + • = = - - = - - 0 0 1 0 2 ( 1 ) 2 [( 1 ) 2 1 ] n n n n n n n n n n x x x 上述级数的收敛半径为 2 1 . 所以 = - - = Ú Â • = + x n n n n f x x dx 0 0 1 ( ) [( 1 ) 2 1 ] n n n n n n n n x n n x   • = • - = + + - - = + - - 1 1 0 1 1 [( 1 ) 2 1 ] 1 [( 1 ) 2 1 ]
时得数项级数 (-1)”,因为∑-发散,∑(-1) 敛,所以∑(-)2-1( (-1)发散 当x=时得数项级数∑(1)2”-11.因为∑(-1y收敛∑一1收敛,所以 n (-1)"2-11 收敛.所 (1(-y2-1hk=(-y2-1x1=(m2-1 的收敛区域为(-1,1 2.f(x)= (1-x)(1+2x) 解.f(x)= (1-x)(1+2x)1+2x1- =2∑(-1)2"x"+∑ =∑[(-1)2+1lx 以上级数在公共收敛区域(一,)内收敛 当x=-时得∑[2+(-1),发散 当x=时得∑〖-1)"2+],发散所以 ()2(-2+(2 3.f(x)=xm(x+√1+x2)-√+x2 解.∫(x)=ln(x+1+x2)+ =In( x f"(x)=-1 (-=-1)·(---2)…(---n+1) 1+x 1+ √1+x2
当 2 1 x = - 时得数项级数 • = - - - 1 2 1 ( 1 ) [( 1 ) 2 1 ] n n n n n n . 因为 • = - 1 1 n n 发散,  • = + - 1 1 2 1 ( 1 ) n n n n 收 敛, 所以 • = - - - 1 2 1 ( 1 ) [( 1 ) 2 1 ] n n n n n n 发散. 当 2 1 x = 时得数项级数 • = - - 1 2 [( 1 ) 2 1 ] 1 n n n n n . 因为 • = - 1 1 ( 1 ) n n n 收敛,  • = - 1 2 1 n n n 收敛, 所以  • = - - 1 2 [( 1 ) 2 1 ] 1 n n n n n 收敛. 所以 = - - = Ú Â • = + x n n n n f x x dx 0 0 1 ( ) [( 1 ) 2 1 ] n n n n n n n n x n n x   • = • - = + + - - = + - - 1 1 0 1 1 [( 1 ) 2 1 ] 1 [( 1 ) 2 1 ] 的收敛区域为 ] 2 1 , 2 1 (- . 2. (1 )(1 2 ) 3 ( ) x x f x - + = 解.   • = • = = - + - + + = - + = 0 1 2 ( 1 ) 2 1 1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 3 ( ) n n n n n n x x x x x x f x = • = + - + 0 1 [( 1 ) 2 1 ] n n n n x 以上级数在公共收敛区域 ) 2 1 , 2 1 (- 内收敛. 当 2 1 x = - 时得 • = + - 0 ] 2 1 [2 ( 1 ) n n n , 发散; 当 2 1 x = 时得 • = - + 0 ] 2 1 [( 1 ) 2 n n n , 发散. 所以 f (x ) = • = + - + 0 1 [( 1 ) 2 1 ] n n n n x , ) 2 1 , 2 1 (- 3. 2 2 f (x ) = x ln( x + 1 + x ) - 1 + x 解. ln( 1 ) 1 1 ' ( ) ln( 1 ) 2 2 2 2 x x x x x x f x x x = + + + - + = + + + n n x n n x x f x 2 1 2 1 2 2 ! 1 ) 2 1 2 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 ( 2 1 (1 ) 1 1 1 ' ' ( )  • = - - × - - × - - - - + = + = + + = L