第四章微分中值定理与泰勒公式 设函数fx)在闭区间0,1上可微,对于[0,1上每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1) 内,且∫(x)≠1,证明:在(O,1)内有且仅有一个x,使fx)=x 证明:由条件知00,F(1)0)上连续,在(0,x)内可导,且f(0)=0,试证:在(0,x)内存在一个ξ,使 f(x)=(1+5)ln(1+x)f(5 证明:令F(0)=f(,G(=1n(1+1),在0,x上使用柯西定理 F(x)-F(0)F(2) G(x)-G(0)G(5)5∈(0,x) 所以_f(x) (1+5)f"(5),即f(x)=(1+5)ln(1+x)f() n(1+x) 设fx)在{a,b上可导,且ab>0,试证:存在一个ξ∈(a,b),使 [n()+5() b-af(a) f(b) 证明:不妨假设a>0,b>0.令F(x)=x"∫(x).在{a,b上使用拉格朗日定理 bf(b)-a"f(a)=[nm1f(2)+5"f()](b-a) 六,设函数x),g(x),h(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,证明:存在一个ξ∈(a,b),使
第四章 微分中值定理与泰勒公式 一. 设函数 f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个 x, 函数 f(x)的值都在开区间(0, 1) 内, 且 xf ≠ 1)(' , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x. 证明: 由条件知 0 0, F(1) 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且 f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个ξ, 使 xf += ξ + fx ξ )(')1ln()1()( . 证明: 令 F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理 )(' )(' )0()( )0()( ξ ξ G F GxG FxF = − − , ξ ∈ (0, x) 所以 )(')1( )1ln( )( f ξξ x xf += + , 即 xf = + ξ + fx ξ )(')1ln()1()( . 五. 设 f(x)在[a, b]上可导, 且 ab > 0, 试证: 存在一个ξ ∈ (a, b), 使 1 )](')([ )()( 1 − += − n n n fnf bfaf ab ab ξξξξ 证明: 不妨假设 a > 0, b > 0. 令 xfxxF )()( . 在[a, b]上使用拉格朗日定理 n = ))]((')([)()( 1 abffnafabfbn n n n =− + − − ξξξξ 六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个ξ ∈ (a, b), 使
f(a g(a) h( ∫(b)g(b)h(b)|=0 f"(5)g'(5)h(5 ff(a) g(a) h(a) 证明:令F(x)=f(b)g(b)h(b),则F(a)=f(b)=0,所以存在一个∈(anb,使 f(x)g(x)h(x) f(a g(a) h( F(5)=∫(b)g(b)h(b)=0 f(5)g(5)h( 七设函数fx)在[0,1上二阶可导,且f(0)=f(1)=0,试证:至少存在一个∈(0,1),使 f'()=2f( 证明:(/"(x)2f(x)f(x)2 ∫(x)1 二边积分可得lnf(xx-1)2=c,所以 f(x)(x-1)2=e) 令F(x)=f(x)(x-1)2.由0)=1)=0知存在n∈0,1),f(n)=0.所以F(n)=F() 0,所以存在ξ∈(n1)F(5)=0.立即可得f=2(5) 八.设(x)在[x1,x]上二阶可导,且00,证明:存在一个∈(x1,x2)或(x2x1),使 (1-5)e(x1-x2) 证明:不妨假设0<x<x令F(x)=,G(x)=-,在图1,对]上使用柯西定理在(x,x) 内至少存在一个ξ,满足 F(x2)-F(x1)x2x15 (x2)-G(x1)1 立即可得x1e2-x2e=(1-5)e(x1-x2)
0 )(')(')(' )()()( )()()( = hgf ξξξ bhbgbf ahagaf 证明: 令 )()()( )()()( )()()( )( xhxgxf bhbgbf ahagaf xF = , 则 F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ ∈ (a, b), 使 0 )(')(')(' )()()( )()()( )(' = = ξξξ ξ hgf bhbgbf ahagaf F 七. 设函数 f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且 f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 证 明 : ( x xf xf − = 1 )('2 )('' , xxf xf − = 1 2 )(' )('' 二边积分可得 , 所 以 ) =− cxxf 2 )1)(('ln c =− exxf 2 )1)((' 令 . 由 f(0) = f(1) = 0 知存在η ∈ (0, 1), 2 xxfxF −= )1)((')( f η = 0)(' . 所以 F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1), F ξ = 0)(' . 立即可得 ξ ξ ξ − = 1 )('2 )('' f f 八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且 0 0, 证明: 存在一个ξ ∈ (x1, x2)或(x2, x1), 使 )()1( 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ 证明: 不妨假设 0 < x1 < x2. 令 x xG x e xF x 1 = ， )()( = , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2) 内至少存在一个ξ, 满足 2 2 12 12 2 1 2 1 )()( 111 )()( 2 1 ξ ξ ξ ξξ − − = − − = − − ee xx x e x e xGxG xFxF xx 立即可得 )()1( . 1 2 21 2 1 exex xxe x x −−=− ξ ξ
十.设f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b内可导,且fa)=fb)=0,8(x)≠0,试证:至少存在 个ξ∈(a,b),使 f(5)g(5)=g(5)f(5) 证明:令F(x)=(x),所以F(02=F(b=0由罗尔定理至少存在一个∈(a.b使 F"(5)=0 于是f(5)g()=g(5)f(5) 本期答案由聚焦图书提供,特别感谖
十. 设 f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0, 试证: 至少存在一 个ξ ∈ (a, b), 使 ξ ξ = ξ fggf ξ )()(')()(' 证明: 令 )( )( )( xg xf xF = , 所以 F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ ∈ (a, b), 使 F ξ = 0)(' , 于是 ξ ξ = ξ fggf ξ )()(')()('