兰州大学：《矩阵理论》第七讲 酉矩阵

矩阵理论-第七讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第七讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 酉矩阵 n个列向量是一个标准正交基AA=1A=A1 酉相似下的标准形 Schu定理:任复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 丑U∈Cm"U-=UhU-AU=UHAU=T 正规矩阵 AA=44 用西矩阵化正规矩阵为对角形 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • 酉矩阵 – n个列向量是一个标准正交基 • 酉相似下的标准形 – Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵 • 正规矩阵 – 用酉矩阵化正规矩阵为对角形 1 H U AU U AU T − = = n n U C    1 H U U − = H 1 A A− = H A A I = H H A A AA =

Hermite矩阵的正定性 Hermite矩阵正定性的定义 设彐A∈Cm,且A=A,即A是 Hermite矩阵。如果对任意 0≠x∈Cn 都有 Ax>0C≥0 则称A是 Hermite正定矩阵(半正定矩阵) 定理 设A是 Hermite矩阵,则下列条件等价 A是 Hermite正定矩阵(半正定矩阵) 2.A的特征值全为正实数(非负实数); 彐P∈C,使得A=PP 证明:(1)→(2):由上一讲的推论1, Hermit矩阵的特征值均为实数 现证其为正。A是正规矩阵,彐U∈C,U=U·即存在酉矩阵U 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 Hermite矩阵的正定性 • Hermite矩阵正定性的定义 设 ，且 ，即A是Hermite矩阵。如果对任意 都有 则称A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵） • 定理 设A是Hermite矩阵，则下列条件等价 1. A是Hermite正定矩阵（半正定矩阵）； 2. A的特征值全为正实数（非负实数）； 3. ，使得 证明： (1) →(2)：由上一讲的推论1，Hermite矩阵的特征值均为实数 现证其为正。A是正规矩阵， ， 即存在酉矩阵U 0 ( 0) H x Ax   n n U C    0 n  x C H A A = n n A C    n n P Cn    H A P P = H 1 U U − =

Hermite矩阵的正定性 使得 U"AU=diag(1,2,…n) 上式右边同乘以列向量 n2 左边同乘以行向量y,可得 UHAUy=2n+n2m2 令x=Uy,若y≠0,则x≠0,由于A是 Hermite1定阵 x"Ax=yUHAUy=2n+n2/ +.A, m >0 假设≤0,取 y=(0…010 0)≠0 第个分量 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 Hermite矩阵的正定性 使得 上式右边同乘以列向量： 左边同乘以行向量 ，可得 令 ，若 ，则 ，由于A是Hermite正定阵 假设 ，取 1 2 diag( , , ) H U AU =   n 1 2 n y          =       H y 2 2 2 1 1 2 2 H H n n y U AUy = + +       x Uy = y  0 x  0 2 2 2 1 1 2 2 0 H H H n n x Ax y U AUy = = + +        (0 0 1 0 0)T y =  0 0 i  第i个分量

Hermite矩阵的正定性 则x的第个分量亦不为零,但 x"4x=yU4y=m2=x≤0 与A是 Hermite正定矩阵矛盾,所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数 (2)+(3):由 UAU=dag(λ1,2 可得 A=U diag(l, Udgy2…√2)dag√2…√y PP 令P=dag√2…√, 即证 (3)→(1):因为P∈C,所以对任意0≠x∈C",Px≠0由内积的 正定性xx=xPPx=(Px)"(Px)=(Px,Px)>0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 Hermite矩阵的正定性 则x的第i个分量亦不为零，但 与A是Hermite正定矩阵矛盾，所以假设不成立。即A的特征值全为正 实数 (2) →(3)：由 可得： 令 即证 (3) →(1)：因为 ，所以对任意 ， 由内积的 正定性 2 0 H H H i i i x Ax y U AUy = = =     1 2 diag( , , ) H U AU =   n 1 2 diag( , , ) H A U U =   n 1 2 1 2 diag( )diag( ) H n n H U U P P =       = 1 2 diag( ) H n n P U C   n n  =  0 i  ( ) ( ) , 0 H H H H x Ax x P Px Px Px Px Px = = =  0 n  x C n n P C   Px  0

Hermite矩阵的正定性 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 由detA=2…2>0易知 定理 设A∈Cm,则 1.AA和AA的特征值全为非负实数; AA与AA的非零特征值相同 3. rank(A"A)=rank(AA")=rank A 证明 1.(A"A)=AA AA是 hermite矩阵,对任意0≠x∈C x(A"A)x=(Ax)"(Ax)=(Ax, Ax20 AA半正定一AA的特征值全为非负实数 同理取行向量0≠x∈Cn,可得 AA4x=(x4)4)y(x)4=(x4),(x/)≥0 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 Hermite矩阵的正定性 – 推论 Hermite正定矩阵的行列式大于零 由 易知 • 定理 设 ，则 1. 和 的特征值全为非负实数； 2. 与 的非零特征值相同； 3. 证明： 1. 是Hermite矩阵，对任意 半正定 的特征值全为非负实数 同理取行向量 ，可得 1 2 det 0 A =    n ( ) ( ) ( ) , 0 H H H x A A x Ax Ax Ax Ax = =  H A A m n A C   H AA H A A H AA rank( ) rank( ) rank H H A A AA A = = 0 n ( )  x C H H H A A A A = H A A H A A(( ) ) ( ) ( ) ,( ) 0 H H H H H H H xAA x xA xA xA xA = =  0 n  x C H A A

Hermite矩阵的正定性 设是AA的属于其非零特征值λ的特征向量,即 AAx=Ax,且x≠0y=Ax≠0 否则,AAx=Ax=0 x=0 AA y=AA" Ax=A(A Ax)=Anx=ny 同理可证AA的非零特征值也是AA的特征值(只要设y=A"x) 3.由Ax=0 A Ax=0 反之AAx=0 xAAx=(4x)(Ax)=(4,4x)=0 由内积的正定性一Ax=0 Ax=0与AAx=0同解,解空间的维数相同 n- rank a=n-rank(A4)n:A的列数 rank(A"A)=rank A 上式中以代替 A rank(A42)= rank A rank(A"A)=rank(AA")=rank A 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 Hermite矩阵的正定性 2. 设x是 的属于其非零特征值 的特征向量，即 ，且 否则， 同理可证 的非零特征值也是 的特征值（只要设 ） 3. 由 反之 由内积的正定性 与 同解，解空间的维数相同： 上式中以 代替  ( ) ( ) , 0 H H H x A Ax Ax Ax Ax Ax = = = H AA x  0 H A Ax x =  y Ax =  0 H A A ( ) H H H AA y AA Ax A A Ax A x y = = = =   0 H A Ax x = =  x = 0 H A A H y A x = Ax = 0 0 H A Ax = 0 H A Ax = Ax = 0 rank( ) rank( ) rank H H A A AA A = = 0 H Ax = 0 A Ax = rank rank( ) H n A n AA − = − rank( ) rank H A A A = n: A的列数 rank( ) rank H H AA A = H A A

Hermite矩阵的正定性 设A=(an)∈C"是 Hermite矩阵 detA(k=1,…,n) 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式,则 A是 Hermite正定矩阵 k= det A>0(k=1,…,n) 证明 必要性 A是 Hermite矩阵-→A(k=1,…,n)都是 Hermite矩阵 令F=(e122…),其中 0 1,…,k 第个分量 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 Hermite矩阵的正定性 设 是Hermite矩阵 分别称为A的k阶顺序主子阵和顺序主子式，则 证明： • 必要性 A是Hermite矩阵 都是Hermite矩阵 令 ，其中 det ( 1, , )  = = k k A k n F e e e k k = ( 1 2 ) ( 0 1 0 1, , ) T i e i k = = ( ) n n A a C ij  =  11 12 1 12 22 2 1 2 k k k k k kk a a a a a a A a a a       =       det 0 ( 1, , ) A是Hermite正定矩阵  =  = k k A k n ( 1, , ) A k n k = 第i个分量

Hermite矩阵的正定性 对任意0≠x∈Cx FK Fx≠0 x"Akx=x" FK A Fkx=(Fx)"Ak(fkx)>o →→A(k=1,…,n)都是正定阵 Hermite正定矩阵的行列式大于零 △k=detA>0(k=1l,…,n) 充分性 设△k=detA>0(k=1,…,n),对阶数n用数学归纳法证明A是 Hermite正定矩阵。 当k=1时,a1=detA>0A是 Hermite正定矩阵 设k=n-1时,由△1=detA1>0A是 Hermite正定矩阵 当k=n时,记F为如下的下三角矩阵: 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 Hermite矩阵的正定性 对任意 都是正定阵 Hermite正定矩阵的行列式大于零 • 充分性 设 ，对阶数n用数学归纳法证明A是 Hermite正定矩阵。 当k = 1时， 是Hermite正定矩阵 设k = n – 1时，由 是Hermite正定矩阵 当k = n 时，记F为如下的下三角矩阵： 0 F xk  H A F A F k k k k = 0 k  x C ( ) ( ) 0 H H H H k k k k k k k x A x x F A F x F x A F x = =  ( 1, , ) A k n k = det 0 ( 1, , )  =  = k k A k n 1 1 det 0  =  k k − − A 11 1 a A =  det 0 A1 Ak−1 det 0 ( 1, , )  =  = k k A k n

Hermite矩阵的正定性 F= 0 0 b FAF 0 B 0 b 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 Hermite矩阵的正定性 21 11 1 11 1 / 1 / 1 n a a F a a     −   =       − 11 22 22 11 22 22 0 0 0 0 H a b b a FAF B b b         = =           0 0 12 11 1 11 1 / 1 / 1 n a a a a     −         − 11 12 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a             12 11 1 11 1 / / 1 1 n   − − a a a a          