习题1在2中规定a田b=a+b-1ab=a+b-ab 证明Z关于,成环。 证明:1证2为加群 (1)封闭a田b=a+b-1∈2 (2)结合律成立 (a田b)田c=(a+b-1c=(a+b-1)+c-1 由(b由c)=a由(b+c-1)=a+(b+c-1)-1 (3)零元1,1田b=1+b-1=b (4)负元a由b=1→a+b-1=1=a=2-b (5)交换律a由b=b田a 2证2对乘法为半群 (1)封闭aob=a+b-ab∈z (2)结合律 (a)oc=(a+b-ab)oc=(a+b-ab+c-(a+b-ab)c ao(boc)=ao(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc bc-ab-ac +ab 3分配律成立 ao(boc)=ao(b+c-1)=a+(b+c-1)-a(b+c-1)=2a+b+c-ab-ac (aob)o(aoc)=(a+b-abye(a+c-ac=(a+b-ab)+(a+c-ac)-1 2a +b+c-ab-ac-1 习题2在15中找出适合方程x=1的一切元素。 解:[1],[4],[l,[4 习题3证明,由所有实数a+b2(a,b是整数)作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环 证明:1证为一个环 (1)加法(a+b√2)+(c+d √2)=(a+c)+(b+d)E∈R
习题 1 在 中规定 ，证明 关于 ， 成环。 证明：1.证 为加群 （1）封闭 （2）结合律成立 （3）零元 1， （4）负元 （5）交换律 2.证 对乘法为半群 （1）封闭 （2）结合律 3.分配律成立 习题 2 在 中找出适合方程 的一切元素。 解：[1]，[4]，[11]，[14] 习题 3 证明：由所有实数 （ ， 是整数）作成的集合对于普通加法和乘法来说是一个整环。 证明： 1.证 为一个环 （1）加法
结合律成立 零元为0=0+0 a+b√2的负元-a-b (2)乘法(a+b2c+dv2)=aE+b2+advE+bd(√2)2 =ac+2bd+(bc+ad)√2∈R 结合律成立。 (3)分配律成立 2.有单位元1=1+0√E∈R 3.乘法的交换律成立 4.无零因子 习题4证明:一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。 证明:只要证 R*=R\(0) 是一个群 (1)R无零因子,说明R*对乘法封闭 a,b∈R*→a≠0,b≠0→ab≠0→ab∈R (2)结合律成立 (3)R无零因子从而消去律成立。R*满足消去律 习题5假定口是模的一个剩余类。证明:若(a,2)= ,则“的数都同n互素 证明Vb∈[,设(,)=m,则m|,m|b n|(a-b)→m(a-b)→m(a-b)+b]→m|a (a,2)=1→m=1 习题6假定R是模7的剩余类环在x]中计章(3x3+(5]x-4]x2-x+[3 解,上23392+(2012-2+5162+4x12]
结合律成立。 零元为 的负元 （2）乘法 结合律成立。 （3）分配律成立 2. 有单位元 3. 乘法的交换律成立 4. 无零因子 习题 4 证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。 证明：只要证 是一个群 （1） 无零因子，说明 对乘法封闭 （2）结合律成立 （3） 无零因子从而消去律成立。 满足消去律。 习题 5 假定 是模 的一个剩余类。证明：若 ，则 的数都同 互素。 证明： ，设 ，则 又 习题 6 假定 是模 7 的剩余类环,在 中计算 解：上式
=12]x5-[3]x4+[29]x3-[21x2+19]x-[12 [5]x3-[3]x4+x2+[5x-[5]