例1A={1,2}, 1>2,2->1 是A的所有的变换。其中3、是一一变换。 > 例22:1>2,2-2,所以,12-2 24:1->1,2—>1,所以,24 例3看例1的1,Vr从左边来乘1,有 (1)?=1 1≠E 定理1假设G是集合A的若干个变换所作成的集合,并且G包含恒等变换E。若对于上述乘法来说G 作成一个群,那么G只包含A的一一变 证明:VT∈G,因为G是群,所以有可,使=t2=E, 下面证明是A的一一变换, (1)E是A到A的一个满射,Va∈A
： ——> 例 1 A＝{1，2}， ：1——>1，2——>1， ：1——>2，2——>2， ：1——>1，2——>2， ：1——>2，2——>1； 是 A 的所有的变换。其中 、 是一一变换。 ： ——> ， ： ——> ，那么， ——> ， ： ——> 。 例 2 ：1——>2，2——>2，所以， ； ：1——>1，2——>1，所以， 。 例 3 看例 1 的 ， 从左边来乘 ，有 ：1——> ，2——> 。 定理 1 假设 G 是集合 A 的若干个变换所作成的集合，并且 G 包含恒等变换 。若对于上述乘法来说 G 作成一个群,那么 G 只包含 A 的一一变换。 证明： ，因为 G 是群，所以有 ，使 ， 下面证明 是 A 的一一变换， (1) 是 A 到 A 的一个满射， ， ： ——> ；
(2)T是单射,a≠b→a"=b, 反证,若a'=b,则(a)=(b”)”→a2=b2→a=b 定义1一个集合A的若干个一一变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做A的一个变换群 定理2一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G 证明:1假如1,2是一变换,那么2也是。 2= 所以2是A到A的满射。 a≠b→a≠b"→(a")≠(b)→an≠bm2 所以“12是一一变换。 Il结合律对于一般的变换都对,所以对于一一变换也对 IV.单位元就是恒等变换 V.设2是一个任意的一一变换,有一个一一变xY 例4假如A是一个平面的所有的点作成的集合,那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看作A的一个 变换。我们令G是包含所有绕一个定点的旋转,那么G作成一个变换群。 吗“,G是闭的: Ⅱl结合律当然成立: G
(2) 是单射， ， 反证，若 ，则 。 定义 1 一个集合 A 的若干个一一变换对于以上规定的乘法作成的一个群叫做 A 的一个变换群。 定理 2 一个集合 A 的所有的一一变换作成一个变换群 G。 证明：I. 假如 ， 是一一变换，那么 也是。 ： ——> ： ——> ： ——> 所以 是 A 到 A 的满射。 ， 所以 是一一变换。 II. 结合律对于一般的变换都对，所以对于一一变换也对。 IV. 单位元就是恒等变换 。 V. 设 是一个任意的一一变换，有一个一一变换 ， ： ——> ，假如 ： ——> 。 例 4 假如 A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面的一个绕一个定点的旋转可以看作 A 的一个 一一变换。我们令 G 是包含所有绕一个定点的旋转，那么 G 作成一个变换群。 I. ，G 是闭的； II. 结合律当然成立； IV. ； V.
定理3任何一个群都同一个变换群同构 证明:G b x:吕_gx=g是集合G的一个变换 X 是G到的满射。 y 所以是G到G间的一一映射 g"=g(列)=(gx)y=(g)y=(g)"=g,即2y=, 所以列是G与G间的同构映射,所以G是一个群
定理 3 任何一个群都同一个变换群同构。 证明：G＝{ }， ， ： ——> 是集合 G 的一个变换； ， ： ——> 是 G 到 的满射。 消去律： ， 所以 是 G 到 间的一一映射。 ，即 ， 所以 是 G 与 间的同构映射，所以 是一个群