第六讲曲面论(三) Gauss-Bonne公式(续 2001年11月30日 1微积分在复变函数论中应用简介 我还应该再讲两次.这两次我有个计划:预备讲一点复变函数论,因为在数 学中,很要紧的一件事实,同时在数学史上也是非常要紧的一件事情,就是 有复数.这个复数使得数学简单,复函数有许多漂亮,有意思的性质,因此 这使得这些函数在应用上特别有用处.所以,我预备讲一讲,比如说,复变函 数有一个很重要的性质:任意的代数方程在复变函数之中一定有解.这是 个不得了的事情,因为不管你怎么样写一个方程,你要是允许解是复数的话 它一定有解.例如,x2+1=0,那么它有个解就是√-1,所以√-就这么样 子有用处.不但如此,复数跟实数一样,可以加减,有同样的性质,所以,它 可以运算.同时它包含了许多材料是实数不能包含的.我想我的课在过程中 定会有个空挡,在空挡的时候,我想找两次讲复变函数我预备讲:一个是 我刚才讲的代数的基本定理,就是说任意的代数的方程在复数域中一定有 解.这个是很难证明的,需要数学上新的观念.比方说,伟大数学家如 Euler, 他想法子证明,但没有能成功.我想 Gauss是我们近代最伟大的数学家,他 很年轻的时候就有一个证明,也就是复数需要一些几何的性质,不完全是代 数的问题我预备下次讲复数的时候证明这个定理:同时,复变函数最主要 的一个定理是 Picard定理,就是说,假使对于一个复变函数,取它的函数值在 复平面里头所取的位置,它把整个复平面都盖住了,其中也许可以去掉一点 两点.这是不得了的,就是说,函数如果是一个全纯函数的话,它分布得非常 之均匀,可以说差不多把平面都盖住了.有意思的一件事情是这个定理是复 变函数高峰的定理,可以利用我们现在要讲的 Gauss-Bonnet公式来证明.这 说明看起来没有关系的一些方法跟观念,结果是有关系的.这是数学上非常 要紧,有意思的问题
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2关于学习的自动性 这个课快结束了,你们在这个课写个报告,最好是自动你能够自己找到 个问题,这是更要紧的.我想你们都是大学生,大学生受高等教育最后的 段,以后到社会上去,即使在学校,在学术单位里头,最要紧的一定要自动 不要是等老师叫你做什么,你再做什么,这个最坏.要自动,要自己能找问 题,要自己能够答复自己找的问题.那么,当然你找的问题不一定合适,你暂 时也不一定能够得到答案.不过,你中间经过一些弯路,经过一些错误,可以 使得你的学问真正进步,而使得你真正进步的就是要经过这样的手续,所以 我鼓励大家要自动.多一点地讲起来,你们甚至要能够组织一个团体,互相 报告找问题,或者请校内校外老师,同学来做报告,这是很有好处的,自己要 把数学想一想,或者对任意的学问,你自己有个思想,觉得有个什么样的活 动,对于你,对于这个学问的知识可以增加,同时你对学问的能力也可以增 加.所以这是很值得注意的一件事情,希望你们考虑一下这个可能性 3 Gauss-Bonnet公式的证明 上次,Gaus- Bonnet公式我没有证明全,所以我先把证明说全了.我上次讲 的 Gauss-Bo nnet公式就是:假使在空间里头有一个曲面,它是一个整个的 曲面,并且假使这个曲面是定向的,即它的法线有一定的方向,于是这样子, Gaus率K就是曲面上的一个函数,我可以把这个函数对于曲面上的面积 度量求积分,这个积分是一个2重积分,求它积分之后,结果这个积分等于 个常数(2)乘以曲面的 Euler示性数即 KdA=2丌x(M) (6.1) Euler示性数就是把曲面切成小块之后,适于一点自然的条件,把它切完之 后,其顶点个数一边的个数+面的个数,这样3个数的正负的和就叫做这个曲 面的 Euler示性数.当曲面是球面的话,它的Eule示性数=2,如果它是个环 面,它的 Euler示性数是0.你们可以试一试,就能得到这个.如果曲面是个定 2
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向曲面,这是个的唯一的拓扑不变式.一般讲起来,假使球上加几个环,环的 个数就跟 Euler示性数有个关系:这环的个数普通叫曲面的亏格( genus),这 是曲面最重要的拓扑不变式.有意思的是,这曲面的性质,曲面上头函数的 性质跟亏格有密切的关系,所以亏格是拓扑不变式,个影响到曲面的几何性 质和解析性质,有非常之重要的影响.所以整个这些关系是很深奥的,相当 深奥的.因此,也是非常要紧,非常有意思的.我上次证明 Gauss-Bonnet公 式,最要紧的公式就是 du12=-u13∧u23 u1∧w2 (6.2) 我现在重复一遍.要研究曲面论的话,一定要研究曲面上的标架.假使取这 个标架,使标架的3个单位矢量互相垂直,并且我们假定个是个右手系,即 在两个之间选择一个右手或者左手,我们假使是右手系.那么,对于这样子 标架,假使你知道第一个矢量之后,其个两个矢量就确定了.因为我们假定 第三个是曲面的单位法矢量,那么第一个,第三个定了的话,第二个也就定 了.事实上,我这是一个单位标架,同时是右手系(右手标架),这就完全定了 所以对于在一个点的所有这种样子的标架,一共这种标架有单参数系one parameter family),是根据了一个变数.曲面是2维的,再加上这点的标架有 个参数,所以曲面所有标架是一个3维的空间.3维空间有x这个顶点,定个 在曲面的位置,个去掉两个维,然后再取一个切线方向,又有一个维,因为切 线在切面里头可以转,所以又多了一维.这样子就得到所有标架系所成空间 的3维的性质.有了标架系,有什么好处呢?因为有了矢量,你可以用公式来 表示出来矢量有分量,这分量就有数.我们搞数学最要紧的要有数.你要 有数的话,描写是准确的,并且应用的时候你可以观察到的都是数.在某种 意义下为什么微积分要紧?我想数学主要的目的是研究函数,研究两个系统 的关系。现在这关系呢,函数不好搞了,所以微积分是把这个关系线性化,因 此可以用代数矢量可以加,拿个数目来乘,所以微积分主要的成就是把空 间的理论,把函数的理论线性化,代数化.有了代数以后,你就可以算,所以 就有用,因此也重要.那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢?我把这
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个标架叫做re1e2e3 E={re1e2eM定向e3是法矢量,e1mbox4#% (6.3) e3是全位的法矢量.x,e1,e2,e3都是矢量,所以它们的微分也是一个矢量.微 分之后是一次微分式矢量值.因此,它们可以表为e1,e2,e3的一个线性组合 我把dx表为线性组合,得到的系数我叫做u1,2, dr=w1e1twge2 (6.4 1∧u2就是曲面的面积度量,是一个2次微分式,它确然可以用来做个重积 分的积分函数( integral),所以把它积分的紧,就得到这个曲面的面积.我讲 的关于曲面的算论的这些结果,你在微分几何者上找不到.如果你不能完全 接找,不能完全懂的紧,没有关系.因为这些二容大概是根通微分几何可以 讲一个月,我讲一两次就把它讲完够.这也证明这个方法的优点它的优点 主要是我在研究3维空间的 Euc lid几何. Euclid几何最好是用正交标架,因 为正交性在 Euclid几何不变,是有意义的,所以最好用正交标架.那么,一般 的微分几何的者等用到曲面论的时候,它不用正交标架,你要想通的法子 如说,平面解析几何,你不用正交标架,你的两个坐标不垂直,甚至于它走 的方向不是全位的方向,你去试试看就知道难多够,麻烦多够.不是不可能 做,可以做到,就是麻烦多够.有意思的一件事情,确然我们都知道,坐标系 统是法国的哲学家,数学家笛卡尔发现的.他头一次用坐标的时候不是正交 标架,都是任意的标架.他用任意的标架拿来处算这种几何的问题不知道 是哪位先生放够个正交标架,以后你在者上看到的都是正交标架.所以,我 的标架是ree2e3,这4个都是矢量.它们的微分也得到矢量值的一次微分,所 以每一个可以表为e1,e2,e3的线性组合.由于我们是在一个3维的空间,那么 这就是上面写的这个公式(64)和下面的公式: dei= wijej (6.5) 这时候,因为是一次微分式,所以这种线性组合是e1,e2,e3的线性组合,它的 系数是一次微分式,不再是函数够.以前如果是函数的紧,它线性组合的
➬✮✪✇✮xe1e2e3, E = {xe1e2e3|M➼✺ e3✹✛✪Þ, e1 mbox4#%} (6.3) e3✹❭➔④✛✪Þ. x, e1, e2, e3 Ñ✹✪Þ, ➘✶➬➣④❻■✎✹✘➬✪Þ. ❻ ■❷⑨✹✘✬❻■✯✪Þ❾. ❖✩, ➬➣✱✶✱➃e1, e2, e3④✘➬✧✉✜❭. ➲➨dx✱➃✧✉✜❭, ③t④ø❥➲✇✮ω1, ω2, dx = ω1e1 + ω2e2. (6.4) ω1 ∧ ω2Ò✹▼➪④➪èÝÞ, ✹✘➬2✬❻■✯, ➬❤❧✱✶⑦✉✮➬➢è ■④è■❁❥(integral), ➘✶➨➬è■④➏, Ò③t❨➬▼➪④➪è. ➲❨ ④✞➉▼➪④➤❳④❨❏❼✯, ✜ó❻■✁❬❱Þ■❳t. ➌✯✜❳✕q❭ ③■, ❳✕q❭➹④➏, ➊❿✞ø. ❖➃❨❏✓➂▲➊✹✃✴❻■✁❬✱✶ ❨✘➬Û, ➲❨✘Ü✬Ò➨➬❨qê. ❨✎②Ò❨➬✵✛④⑨➎. ➬④⑨➎ ❒✞✹➲óÏ➘3➅✽✲④Euc lid ✁❬. Euclid✁❬✦P✹⑦t❜✮✪, ❖ ➃t❜✉óEuclid✁❬❳★, ✹❿❄❇④, ➘✶✦P⑦t❜✮✪. ➃, ✘➘ ④❻■✁❬④❱⑧⑦t▼➪❳④✣⑧, ➬❳⑦t❜✮✪, ✜✞✳✴④✛✝. ✞➌⑨, ➨➪❽Û✁❬, ✜❳⑦t❜✮✪, ✜④Ü➬✰✮❳✒❺, ☎➊➉➬✒ ④✵✺❳✹❭➔④✵✺, ✜❱❆❆✗Ò⑧✇✡õê, ❢✫õê. ❳✹❳✱✕ ✮, ✱✶✮t, Ò✹❢✫õê. ❿❄❻④✘●✴❁, ❤❧➲➣Ñ⑧✇, ✰✮ø ✿✹✛✮④❙➛✛, ❥➛✛❼☛✏✕✙④. ➷❃✘✬⑦✰✮④✣⑧❳✹t❜ ✮✪, Ñ✹⑧❄④✮✪. ➷⑦⑧❄④✮✪ü✉ÿ➤❨➠✁❬④➥☛. ❳⑧✇ ✹ý➔☛✠✽ê➬t❜✮✪, ✶⑨✜ó❱Þ✗t④Ñ✹t❜✮✪. ➘✶, ➲ ④✮✪✹xe1e2e3, ❨4➬Ñ✹✪Þ. ➬➣④❻■✎③t✪Þ❾④✘✬❻■, ➘ ✶➎✘➬✱✶✱➃e1, e2, e3④✧✉✜❭. ❸➉➲➣✹ó✘➬3➅④✽✲, ➃ ❨Ò✹Þ➪❯④❨➬Ú✯(6.4)❩✆➪④Ú✯: dei = ωijej . (6.5) ❨✣⑧, ❖➃✹✘✬❻■✯, ➘✶❨➠✧✉✜❭✹e1, e2, e3④✧✉✜❭, ➬④ ø❥✹✘✬❻■✯, ❳ò✹❁❥ê. ✶✄➌✯✹❁❥④➏, ➬✧✉✜❭④ 4
系数是函数,现在,系数是一次微分式,这些一次微分式重要得很.因为它 描写一个标架跟它临近标架的关系:它临近标架动一点点,跟原来相差多 少?相差是一个微分,就是我们的u跟这几个微分式有简单的关系,最 要紧的是ω,你看它很麻烦,,从1到3,但是因为标架是正交的单位矢量 所以对于i,是反对称的.因此,你把写成一个3×3的方阵的话,这个 方阵是反对称的,它的对角线的元素都是0,并且对于对角线它是反对称的 所以只有3个真正要处理的一次微分式.你要用标架来研究几何的这种情 况,在力学很自然.力学讲一个物体在那儿移动,那么它的位置就是时间的 函数,因此,这标架是时间的函数.这种函数在力学上是一个变数的函数 因为在力学上,在动力学上,真正的变数是时间,只有一个.但是要研究几 何的话,情况来得复杂,可能这个标架是跟多于一个变数有关系,可以是多 变数的函数.因此这之间就有些关系,这关系就是你求d(de).我讲过,你用 上d的话,d用两次是0.所以你把这个关系写出来的话,就得到d是一个式 子,可以用其他的u来表示,这式子是 dui=ik∧k (6.6) 你得到这样子一组方程,这是有意义的.因为是一次微分式,你把它微 分的话是2次微分式,而在右边是两个一次微分式相乘,所以也是2次微分 式,因此这组方程不荒谬.这组方程非常要紧,它们代表运动群整个的性 质.这组方程看着复杂,其实非常简单,因为这些u;是反对称的,所以如 果i≠j的话,例如,如果i=1,j=2,那么k=3.这是因为k要是等于1,于 是有u11=0,而要是k等于2,那么有u2=0.所以这组方程式看着复杂,右 边只有一项.很简单地,你还可以得到一个特别情形,就得到 du12=u13∧u32=-u13∧u23 (6.7) 这个公式要紧极了.我们在这个情形就碰到一个新的情况:同样你们念微积 分的时候,一般只有一个空间,大概一般不是平面就是3维空间,可是我们现 在有两个空间,一个是标架常数成的空间,是3维的;另一个是我们2维的曲 面,所以我有一个2维曲面还有一个3维的空间,这3维空间是个标架.因此如 5
ø❥✹❁❥, ✙ó, ø❥✹✘✬❻■✯, ❨❏✘✬❻■✯➢✞③✐. ❖➃➬ ➹❯✘➬✮✪❐➬ø↔✮✪④✞ø: ➬ø↔✮✪➘✘➎➎, ❐➷✉★❿õ è? ★❿✹✘➬❻■, Ò✹➲➣④ωi❐ωij . ❨✁➬❻■✯❿❀❭④✞ø, ✦ ✞➏④✹ωij , ✜✗➬✐❢✫, i, j✱1t3, ❜✹❖➃✮✪✹t❜④❭➔✪Þ, ➘✶ωijé➉i, j✹✬é➪④. ❖✩, ✜➨ωij❯➘✘➬3 × 3 ④✵❥④➏, ❨➬ ✵❥✹✬é➪④, ➬④é♥✧④➹↔Ñ✹0, ❄✪é➉é♥✧➬✹✬é➪④, ➘✶➄❿3➬❪t✞ÿ➤④✘✬❻■✯. ✜✞⑦✮✪✉Ï➘✁❬④❨➠❁ ❨, ó➴➛✐✞❧. ➴➛❨✘➬Ô✍ó✍★➘, ➃➬④➔➌Ò✹✣✲④ ❁❥, ❖✩, ❨✮✪✹✣✲④❁❥. ❨➠❁❥ó➴➛Þ✹✘➬★❥④❁❥. ❖➃ó➴➛Þ, ó➘➴➛Þ, ❪t④★❥✹✣✲, ➄❿✘➬. ❜✹✞Ï➘✁ ❬④➏, ❁❨✉③❹ì, ✱✕❨➬✮✪✹❐õ➉✘➬★❥❿✞ø, ✱✶✹õ ★❥④❁❥. ❖✩❨❷✲Ò❿❏✞ø, ❨✞øÒ✹✜❋d(dei). ➲❨✱, ✜⑦ Þd④➏, d⑦Ü✬✹0. ➘✶✜➨❨➬✞ø❯ñ✉④➏, Ò③tdωij ✹✘➬✯ ✝, ✱✶⑦Ù➷④ω✉✱✰, ❨✯✝✹ dωij = ωik ∧ ωkj . (6.6) ✜③t❨ø✝✘✜✵➬, ❨✹❿❄❇④. ❖➃ωij✹✘✬❻■✯, ✜➨➬❻ ■④➏✹2✬❻■✯, ✌ó➁✣✹Ü➬✘✬❻■✯★➷, ➘✶✎✹2✬❻■ ✯, ❖✩❨✜✵➬❳➥Ø. ❨✜✵➬✿➒✞➏, ➬➣❙✱ä➘❦r➬④✉ ➓. ❨✜✵➬✗ø❹ì, Ù✧✿➒❀❭, ❖➃❨❏ωij ✹✬é➪④, ➘✶➌ ✯i 6= j ④➏, ➽➌, ➌✯i = 1, j = 2, ➃k = 3. ❨✹❖➃k ✞✹⑧➉1, ➉ ✹❿ω11 = 0, ✌✞✹k⑧➉2, ➃❿ω22 = 0. ➘✶❨✜✵➬✯✗ø❹ì, ➁ ✣➄❿✘✶. ✐❀❭➃, ✜↕✱✶③t✘➬✁✴❁♦, Ò③t dω12 = ω13 ∧ ω32 = −ω13 ∧ ω23. (6.7) ❨➬Ú✯✞➏ôê. ➲➣ó❨➬❁♦Ò➁t✘➬❝④❁❨: ✸ø✜➣✬❻è ■④✣⑧, ✘➘➄❿✘➬✽✲, ▲➊✘➘❳✹➨➪Ò✹3➅✽✲, ✱✹➲➣✙ ó❿Ü➬✽✲, ✘➬✹✮✪➒❥➘④✽✲, ✹3➅④;☞✘➬✹➲➣2➅④▼ ➪, ➘✶➲❿✘➬2➅▼➪↕❿✘➬3➅④✽✲, ❨3➅✽✲✹➬✮✪. ❖✩➌ 5
果一个标架,你取它原点的话,我们说它就投影到曲面上去了,这样子就有 个投影.现在它有个名词叫做纤维丛.现在是圆周丛了,纤维是圆周,有 把圆周,而整个的圆周所成的空间就是我原来的曲面,我们叫原来的曲面为 许空间.拿同一个原点的所有单位切矢量就成纤维,于是构成纤维丛.它就 象我们衣服似的,有一条一条的线.最简单的纤维丛是它的纤维是直线,那 么它是直线丛.我试着把它比方成一把筷子,你有好多筷子,每一根筷子是 条直线,那么有好多筷子,整个筷子成一个空间,这就是我们的纤维丛,这是 直线的情况.我们现在做的情况是圆周丛.这个观念是微积分里头一个新的 观念,就是说,你不是讨论一个空间,而是你在讨论两个空间,并且这两个空 间之间有密切的关系.一个是圆周所成的空间,一个是我们的许空间,也就 是原来的曲面.这两个空间之间有我所说的这个关系,这个关系有意思极了 重要极了,因为有下面的关系 Ku1∧ (6.8) 右边是曲面上的式子,这是因为K是Gaus曲率,u1∧u2是面积度量,所以 右边是曲面上的性质.左边是一个东西的微分.c12是在纤维从E里头的 次微分式,这个一次微分式的外微分等于右边的式子.这个证明说明 Gauss 曲率只跟 Riemann度量有关,因为要是有了 Riemann度量就有u12.那么我 们右边的式子只跟 Riemann度量有关,这是 Gauss当年很得意的一个结果 连 Guass都觉得很不得了有这么样子一个关系. Gauss-Bonnet公式就是我 们要求右边这个式子的积分.我们现在有一个封闭的曲面,它是定向的, 要求右边的积分,求出它的值来.那么当时我也有一种错误,因为右边这 个式子既然是d一个东西的话,在一个封闭曲面上的积分应该是0.事实 上,它应该等于12沿着这个曲面的边界的积分,而如果曲面是封闭的,它 没有边界,所以应该是0.这显然是错的.为什么它不等于0?我们虽然 有du12=-Ku1∧u2,但这个关系不是在一个2维空间上,它是在E这个3维 空间上.所以我们只能够在3维空间利用 Stokes定理.而在3维空间的话,这 个曲面在3维空间里头就有边界了.你要把这个曲面升到3维空间去,怎么升 呢?就是每点要给一个拿这点做原点的切矢量.换句话说,这就是所谓的矢
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量场.所以这个曲面需要有个矢量场,每点有个切矢量,而这个切矢量是E里 头的一个点,就把这个曲面升到E里头去.假使有一个曲面,是不是一定有 个矢量场?这不简单了.在局部的时候,当然很简单.你写下坐标,随线写些 矢量,就有了.是不是能够在整个曲面给一个矢量场,这是几何里头所谓整 体的问题,普通拓扑就搞这个问题.也就是说,局部显然过以写矢量的,你 有局部坐标,你把坐标分量写下来,当然就有个矢量场,但是这个是局部的 能不能扩充到整个的曲面,不一定过能.那么,我上次已经讲过,要这样的 话,必须允许这个矢量场有异点( singularity).比方说,在下面几个图里头有 几个矢量场的例子:(图见透明片)最左边的例子,它的异点就在原点经过 这个原点,向所有方向画矢量.样了原点之外,就定了一个矢量场,但是原点 是一个异点,它是所有水流出来的出发点,所以它是个异点.第二个,所有矢 量都向原点走,原点还是一个异点,原点就相成一个沉下去的一个点,英文 叫sink.而左边的叫 source.当然也有象最右边的例子.从这些例子过以看出 矢量场在异点有不同性质.置何描写它的不同的性质,就有一个叫做矢量场 的指标( index).你在这一点,假使有个孤立的异点,那么围系这个异点做个 小圆圈,因为是孤立的异点,所以在小圆圈上的点的矢量是完全确定的.那 么现在,在小圆圈的点绕系异点转多少圈呢?置果转一圈,并且是在正的方 向转一圈,它的指标是1.置果向负的方向就是-1.那么,在我的上面例子 中,无论sink还是 source,指标都是1.双曲线的现象指标为-1.异点很复 杂,因此指标过以取任何值.假使我把曲面升到纤维丛里头,升到圆周丛里 头,并且允许有异点,那么这个上去的曲面就有边界,这个边界就相当于这 些异点所以根据公式du12=-K1∧u2,我们关于Gaus)率的积分就等 于异点的指标和.所以我们证明一个重要性质:不论你取任何一个矢量场 假使它只有有限个异点,我们这个积分是指标和,即是把每个异点的指标加 起来就等于指标和.这里很要紧,因为这个积分是跟矢量场选择无关的.所 以这证明了一个曲面假使有一个有有限个异点的矢量场,在异点的指标和 矢量场的选择无关.它等于那个积分,而那个积分里是没有矢量场,所以就 得到这样一个结果.我再说一遍,现在有一个封闭的曲面,取一个矢量场,有 有限个异点,它的指标和是与矢量场的选择无关的,这是因为它等于右边的 7
Þ➐. ➘✶❨➬▼➪❽✞❿➬✪Þ➐, ➎➎❿➬★✪Þ, ✌❨➬★✪Þ✹E➦ ❃④✘➬➎, Ò➨❨➬▼➪☞tE➦❃❱. ✧✫❿✘➬▼➪, ✹❳✹✘➼❿ ➬✪Þ➐? ❨❳❀❭ê. óÛ❭④✣⑧, ❤❧✐❀❭. ✜❯✆✰✮, ➧✧❯❏ ✪Þ, Ò❿ê. ✹❳✹✕êór➬▼➪➱✘➬✪Þ➐, ❨✹✁❬➦❃➘➣r ✍④➥☛, ✃✴❴➚Ò➫❨➬➥☛. ✎Ò✹⑨, Û❭✗❧✱✶❯✪Þ④, ✜ ❿Û❭✰✮, ✜➨✰✮■Þ❯✆✉, ❤❧Ò❿➬✪Þ➐, ❜✹❨➬✹Û❭④, ✕❳✕❥ßtr➬④▼➪, ❳✘➼✱✕. ➃, ➲Þ✬✳➨❨✱, ✞❨ø④ ➏, ✗➀ã➂❨➬✪Þ➐❿■➎(singularity). ✞✵⑨, ó✆➪✁➬❈➦❃❿ ✁➬✪Þ➐④➽✝: ( ❈❉❄Ò→) ✦✫✣④➽✝, ➬④■➎Òó➷➎, ➨✱ ❨➬➷➎, ✺➘❿✵✺➌✪Þ. øê➷➎❷✐, Ò➼ê✘➬✪Þ➐, ❜✹➷➎ ✹✘➬■➎, ➬✹➘❿②✖ñ✉④ñ✕➎, ➘✶➬✹➬■➎. ➅✓➬, ➘❿✪ ÞÑ✺➷➎✒, ➷➎↕✹✘➬■➎, ➷➎Ò★➘✘➬➻✆❱④✘➬➎, ❪➞ ✇sink. ✌✫✣④✇source. ❤❧✎❿✻✦➁✣④➽✝. ✱❨❏➽✝✱✶✗ñ ✪Þ➐ó■➎❿❳✸✉➓. ➌❬➹❯➬④❳✸④✉➓, Ò❿✘➬✇✮✪Þ➐ ④➁✮(index). ✜ó❨✘➎, ✧✫❿➬ñ➪④■➎, ➃➀ø❨➬■➎✮➬ ❇❐❲, ❖➃✹ñ➪④■➎, ➘✶ó❇❐❲Þ④➎④✪Þ✹q❭❤➼④. ➃✙ó, ó❇❐❲④➎✇ø■➎Ýõè❲✑? ➌✯Ý✘❲, ❄✪✹ót④✵ ✺Ý✘❲, ➬④➁✮✹1. ➌✯✺❿④✵✺Ò✹−1. ➃, ó➲④Þ➪➽✝ ➙, ➹❳sink ↕✹source, ➁✮Ñ✹1 . ✈▼✧④✙✻➁✮➃−1. ■➎✐❹ ì, ❖✩➁✮✱✶❘⑧❬❾. ✧✫➲➨▼➪☞t✍➅✲➦❃, ☞t❐➧✲➦ ❃, ❄✪ã➂❿■➎, ➃❨➬Þ❱④▼➪Ò❿✣➂, ❨➬✣➂Ò★❤➉❨ ❏■➎. ➘✶✃âÚ✯dω12 = −Kω1 ∧ ω2, ➲➣✞➉Gauss▼●④è■Ò⑧ ➉■➎④➁✮❩. ➘✶➲➣②Ò✘➬➢✞✉➓: ❳❳✜❘⑧❬✘➬✪Þ➐, ✧✫➬➄❿❿✦➬■➎, ➲➣❨➬è■✹➁✮❩, ý✹➨➎➬■➎④➁✮✜ å✉Ò⑧➉➁✮❩. ❨➦✐✞➏, ❖➃❨➬è■✹❐✪Þ➐➔✡➹✞④. ➘ ✶❨②Òê✘➬▼➪✧✫❿✘➬❿❿✦➬■➎④✪Þ➐, ó■➎④➁✮❩ ✪Þ➐④➔✡➹✞. ➬⑧➉➬è■, ✌➬è■➦✹➊❿✪Þ➐, ➘✶Ò ③t❨ø✘➬❼✯. ➲ò⑨✘✭, ✙ó❿✘➬❯✔④▼➪, ❘✘➬✪Þ➐, ❿ ❿✦➬■➎, ➬④➁✮❩✹➛✪Þ➐④➔✡➹✞④, ❨✹❖➃➬⑧➉➁✣④ 7
积分,而右边积分根本没有矢量场,所以与矢量场的选择无关.为什么这个 数目等于 Euler示性数呢?现在既然它跟矢量场选择无关,你就任取一个矢 量场,比方说,线使有个筷面,你把筷面分割了,分割成小块,每个小块是理 角形.对于这理角形,每个边取它的中点,理角形取它的重心,你就可以定 个矢量场,就象我所画的.从顶点出去,然后到理角形的重心就进去.对于 这样子定的矢量场很容是看出来,刚巧在边量的这种点的指标等于-1.于 是它在顶点的指标是1,在理角形重心的指标都是1,但是在边量每个点指标 为-1.所以把这指标加起来的话,就等于顶点的个数+面的个数一边的个数 因此就是 Euler示性数.这样子证就了 Gauss.- Bonnet公式 4 Gauss-Bonnet公式的推广及应用 Gaus- Bonnet公式真到有用的时候是筷面有边界.在筷面有边界的时候 Gauss-Bonnet公式是顶点+顶点的外角+边的测为筷件( geodesic curva ture),再加量在面的Gaus筷件下面是一般的 Gauss-Bonnet公式 ∑(-0)(点+∑/4)(边)+∑/4(m=2mx(M)(69) 对于有边界的筷面,头一部分是边界顶点的点筷件,其次是边界的边的线 筷件,然后整个的这个东西的面筷件,所以你有一个有边界的筷面,你就 取边界的点筷件+边界的线筷件+面筷件,是 Euler示性数.证就是一样的 真到 Gauss-Bonnet公式最有用的是有边界的情况.比方说,在一个 Euclid把 面,线使有一个理角形,这个理角形由直线所成由于空间是 Euclid空 间,Gaus件=0;线使边都是直线,所以测为筷件也是0.因此这个就是 说∑(丌-a)等于2丌.这是因为要是理角形, Euler示性数是1.右边要等于2r 所以这就说就理角形理角之和在 Euclid把面量等于. Gauss.- Bonnet公式是 理角形理角和公式在一般情形的推广.这个观念重要极了,它就是整个纤 维丛的观念我说,由这个纤维丛, Maxwell)程就是这个情况的推广.你到 物理量应用的时候,你的空间是4维,是3维空间+1维时间,是4维的洛仑兹流 形.那么要表 Maxwel)程的话,你要用一个圆周丛,实际量是一个复的直
è■, ✌➁✣è■✃ý➊❿✪Þ➐, ➘✶➛✪Þ➐④➔✡➹✞. ➃✤➃❨➬ ❥ø⑧➉Euler ✰✉❥✑? ✙ó✑❧➬❐✪Þ➐➔✡➹✞, ✜Ò⑧❘✘➬✪ Þ➐, ✞✵⑨, ✧✫❿➬▼➪, ✜➨▼➪■➾ê, ■➾➘❇▲, ➎➬❇▲✹➤ ♥♦. é➉❨➤♥♦, ➎➬✣❘➬④➙➎, ➤♥♦❘➬④➢❡, ✜Ò✱✶➼ ✘➬✪Þ➐, Ò✻➲➘➌④. ✱➸➎ñ❱, ❧⑨t➤♥♦④➢❡Ò➓❱. é➉ ❨ø✝➼④✪Þ➐✐➂✹✗ñ✉, ➛✜ó✣Þ④❨➠➎④➁✮⑧➉−1. ➉ ✹➬ó➸➎④➁✮✹1, ó➤♥♦➢❡④➁✮Ñ✹1, ❜✹ó✣Þ➎➬➎➁✮ ➃−1. ➘✶➨❨➁✮✜å✉④➏, Ò⑧➉➸➎④➬❥+➪④➬❥−✣④➬❥, ❖✩Ò✹Euler ✰✉❥. ❨ø✝②ÒêGauss-Bonnet Ú✯. 4 Gauss-BonnetÚ✯④▼✒ù❛⑦ Gauss-BonnetÚ✯❪t❿⑦④✣⑧✹▼➪❿✣➂. ó▼➪❿✣➂④✣⑧, Gauss-Bonnet Ú✯✹➸➎+➸➎④✐♥+✣④⑧➃▼●(geodesic curvature), ò✜Þó➪④Gauss▼●. ✆➪✹✘➘④Gauss-BonnetÚ✯ X(π − α) (➎) + XZ kg(s)ds (✣) + XZ Z KdA (➪) = 2πχ(M) (6.9) é➉❿✣➂④▼➪, ❃✘❭■✹✣➂➸➎④➎▼●, Ù✬✹✣➂④✣④✧ ▼●, ❧⑨r➬④❨➬➚Ü④➪▼●, ➘✶✜❿✘➬❿✣➂④▼➪, ✜Ò ❘✣➂④➎▼●+✣➂④✧▼●+➪▼●, ✹Euler✰✉❥. ②Ò✹✘ø④. ❪tGauss-BonnetÚ✯✦❿⑦④✹❿✣➂④❁❨. ✞✵⑨, ó✘➬Euclid➨ ➪, ✧✫❿✘➬➤♥♦, ❨➬➤♥♦❸❺✧➘➘. ❸➉✽✲✹Euclid✽ ✲, Gauss▼●=0; ✧✫✣Ñ✹❺✧, ➘✶⑧➃▼●✎✹0. ❖✩❨➬Ò✹ ⑨ P (π−α) ⑧➉2π. ❨✹❖➃✞✹➤♥♦, Euler ✰✉❥✹1. ➁✣✞⑧➉2π, ➘✶❨Ò⑨Ò➤♥♦➤♥❷❩óEuclid➨➪Þ⑧➉π. Gauss-BonnetÚ✯✹ ➤♥♦➤♥❩Ú✯ó✘➘❁♦④▼✒. ❨➬✡✬➢✞ôê, ➬Ò✹r➬✍ ➅✲④✡✬. ➲⑨, ❸❨➬✍➅✲, Maxwell✵➬Ò✹❨➬❁❨④▼✒. ✜t Ô➤Þ❛⑦④✣⑧, ✜④✽✲✹4➅, ✹3➅✽✲+1➅✣✲, ✹4➅④❜❯û✖ ♦. ➃✞✱Maxwell✵➬④➏, ✜✞⑦✘➬❐➧✲, ✧✓Þ✹✘➬❹④❺ 8
线丛.它有个曲率,我们的曲率是Gaus}率他以面积描素,而这个曲率是 个2反微分式,把表示这个曲率是写闭的条件写出来就是 Maxwe)它.所 以, Maxwell方它的几何背景是非常简单的,就是因为世界是4维的空间,所 以是从2维空间扩充到4维.那么这个曲率因为是一个2反微分式,还是反对 称的,因此在4维空间里是一个4×4方阵 0 E1 E2 E3 (FO E10-B0B2 E2B00-B1 (6.10) E3-B2B10 这个方阵里头E1,E2,E3是 Electric Potential,Bo,B1,B2是 Magnetic Po ten- tial,也就是电势跟磁势,这些都是方阵里头的函阵.表示由这个方阵所表示 的2反微分式是写闭的,即d这个式子的微分为0,就是 Maxwell方它 d( faBdr n dr)=0 (6.11) Gaus- Bonnet公式是一个历史量很多演变的.真正我写的公式既不由 于 Gauss,也不由于 Bonnet. Gauss只做了三角形的函况,由测地三角形做到 角形. Bonnet没有做拓扑的应用. Bonnet把三角形推广到候意曲线,他 把候意曲线的测地曲率积分表为 Gauss-B onnet公式的积分.当年 Bonnet是 法国最要紧的几何学家,他在微分几何做了非常基本的贡献.我不管你们 了解多积,我希望你们了解这一部分的阵学非常要紧. Maxwell)方它是它的 特别函况,这个非常有用处.我有一篇文章在今年的《科学》量发表,题目 叫《Gaus- Bonnet公式与 Maxwel)它》,我讲的许多要点在这篇文章里头
✧✲. ➬❿➬▼●, ➲➣④▼●✹Gauss▼●➷✶➪è➹↔, ✌❨➬▼●✹ ➬2✬❻■✯, ➨✱✰❨➬▼●✹❯✔④✣●❯ñ✉Ò✹Maxwe ll✵➬. ➘ ✶, Maxwell✵➬④✁❬ò➭✹✿➒❀❭④, Ò✹❖➃✲➂✹4➅④✽✲, ➘ ✶✹✱2➅✽✲❥ßt4➅. ➃❨➬▼●❖➃✹✘➬2✬❻■✯, ↕✹✬é ➪④, ❖✩ó4➅✽✲➦✹✘➬4 × 4✵❥: (Fαβ = 0 E1 E2 E3 −E1 0 −B0 B2 −E2 B0 0 −B1 −E3 −B2 B1 0 . (6.10) ❨➬✵❥➦❃E1, E2, E3 ✹Electric Potential, B0, B1, B2✹Magnetic Po tential, ✎Ò✹➒✸❐✣✸, ❨❏Ñ✹✵❥➦❃④❁❥. ✱✰❸❨➬✵❥➘✱✰ ④2✬❻■✯✹❯✔④, ýd❨➬✯✝④❻■➃0, Ò✹Maxwell ✵➬ d(Fαβdxα ∧ dxβ ) = 0. (6.11) Gauss-BonnetÚ✯✹✘➬➺✩Þ✐õÜ★④. ❪t➲❯④Ú✯✑❳❸ ➉Gauss, ✎❳❸➉Bonnet. Gauss➄✮ê➤♥♦④❁❨, ❸⑧➃➤♥♦✮t ➤♥♦. Bonnet✎➊❿✮❴➚④❛⑦. Bonnet➨➤♥♦▼✒t⑧❄▼✧, ➷ ➨⑧❄▼✧④⑧➃▼●è■✱➃Gauss-B onnetÚ✯④è■. ❤★Bonnet✹ ✛✮✦✞➏④✁❬➛✛, ➷ó❻■✁❬✮ê✿➒äý④à✚. ➲❳☛✜➣ ê❽õè, ➲æ❶✜➣ê❽❨✘❭■④❥➛✿➒✞➏. Maxwell✵➬✹➬④ ✁✴❁❨, ❨➬✿➒❿⑦ÿ. ➲❿✘➓➞✾ó➌★④✕✮➛✖Þ✕✱, ☛ø ✇✕Gauss- BonnetÚ✯➛Maxwell✵➬✖, ➲❨④➂õ✞➎ó❨➓➞✾➦❃ ❿. 9
