第三讲曲线论 2001年10月26 1平面曲线 我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用.这是非常要紧的发展 那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的曲线.假设平面上有一条曲 线x()=(x1(t),x2(1),即在这个图上所在的情况.用微积分的话呢,就是这 条曲线有条切线切线有个切矢量.对于切矢量,我们取这个矢量是单位矢 量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量.于是我们知道假使把坐标x表示 成弧长s的函数的话,这就表示这个单位切矢量就是x对s的微分芸,即单位 切矢量为 e1=dndr2)a2)=1,s是弧长,en0(3.1) 那么怎么样研究这条切线呢?很简单,那就是有了一个单位切矢量之后,并 假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量, 也就是跟它垂直的那个单位矢量.现在,我叫e1是单位切矢量,e2是单位法 矢量.于是要得到这条切线的性质,第一件事情就是把e1这个函数对于s再求 微分.那么再求微分之后,当然这是一个新的矢量.因为e1是一个单位矢量 所以(e1,e1)=1.那么把它微分一下子,我们就得到同e1垂直,所以它 定在法线的方向.因此,我们就有尝等于单位法矢量e2的倍数.这个倍数是 弧长的一个函数,我们叫k(s).这个倍数满足 ke2,e2是单位法矢量,(e,e2)=0 32) k这个函数一般叫做曲率,是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质, 是弧长的一个函数 习题 对于给定的曲线方程,给出曲率k的公式.[提示:k是曲线方程的一阶和 二阶微分的一个函数
➅➤❨ ▼✧❳ 2001★10Û26❺ 1 ➨➪▼✧ ➲✳❨✁✬❐▲✛❨✘➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ❨✹✿➒✞➏④✕✵. ➃, ✱✦❀❭④❁❨✌✮, ➲➣Ò❨➨➪Þ④▼✧. ✧÷➨➪Þ❿✘✣▼ ✧x(t) = (x1(t), x2(t)), ýó❨➬❈Þ➘ó④❁❨. ⑦❻è■④➏✑, Ò✹❨ ✣▼✧❿✣★✧. ★✧❿➬★✪Þ. é➉★✪Þ, ➲➣❘❨➬✪Þ✹❭➔✪ Þ, ➬④➓Ý✹1, ✎Ò✹❘➃❭➔★✪Þ. ➉✹➲➣⑧✇✧✫➨✰✮x✱✰ ➘➀➓s④❁❥④➏, ❨Ò✱✰❨➬❭➔★✪ÞÒ✹x és ④❻■dx ds ,ý❭➔ ★✪Þ➃ e1 = (dx1 ds , dx2 ds ),(e1, e1) = 1, s ✹➀➓. eqno(3.1) ➃✍➃øÏ➘❨✣★✧✑Ú✐❀❭, Ò✹❿ê✘➬❭➔★✪Þ❷⑨, ❄ ✧÷➌✯➨➪✹➼✺④, ý❿✘➬Ý➘④✵✺, ➃➬Ò❿✘➬❭➔✛✺Þ, ✎Ò✹❐➬✒❺④➬❭➔✪Þ. ✙ó, ➲✇e1✹❭➔★✪Þ, e2 ✹❭➔✛ ✪Þ. ➉✹✞③t❨✣★✧④✉➓, ➅✘●✴❁Ò✹➨e1❨➬❁❥é➉sò❋ ❻■. ➃ò❋❻■❷⑨, ❤❧❨✹✘➬❝④✪Þ. ❖➃e1✹✘➬❭➔✪Þ, ➘✶(e1, e1) = 1. ➃➨➬❻■✘✆✝, ➲➣Ò③tde1 ds ✸e1✒❺, ➘✶➬✘ ➼ó✛✧④✵✺. ❖✩, ➲➣Ò❿de1 ds ⑧➉❭➔✛✪Þe2④õ❥. ❨➬õ❥✹ ➀➓④✘➬❁❥, ➲➣✇k(s). ❨➬õ❥✇✖ de1 ds = ke2, e2 ✹❭➔✛✪Þ,(e1, e2) = 0. (3.2) k❨➬❁❥✘➘✇✮▼●, ✹❨✣▼✧ó❨➬➨➪➦❃✦✞➏④✘➬✉➓, ✹➀➓④✘➬❁❥. ó☛: é➉➱➼④▼✧✵➬, ➱ñ▼●k ④Ú✯. [✡✰Õk✹▼✧✵➬④✘⑦❩ ✓⑦❻■④✘➬❁❥] 1
2空间曲线 从平面曲线再进一步怎么样呢?我们看看空间的情形.假设我们现在有 条曲线是空间的曲线x(t)=(x1(t),x2(t,x3(t).在3维空间里有切线,所以 这个空间的坐标x,y就表示为参数t的函数.这些东西你们大概都知道,我 再温习一下子.所以x(t)是一个矢量,它的分量就是点的坐标,而点是t的 函数.于是它就作一条切线,这3个分量叫做x(t)(=1,2,3).x(t)是一个矢 量,是参数的函数,它的3个分量就是把点的坐标表示为t的函数,那么怎么 进行呢?同样的方法就是对这条曲线用微积分.假定曲线有切线,并且在切 线上面有单位矢量,即有单位切矢量.对曲线有个方向,一直这么走,沿着 个方向,比如说参数t是增加的一个方向.总而言之,我们就有一个单位切 矢量,叫它e1,那么跟平面同样的情况,把e1这个函数对s再求微分,就等于 说对s求二阶的微分.因为e1是单位矢量,所以得到的这个微分跟e1是垂直 的.而对于一条空间中的曲线,它的切线是一条,它的法线有无数个.其实 经过这一点跟切线垂直的法线有无数个,那么其中有一个是会,它是不完全 确定的.由于同样的理由,我把这个方向的单位矢量叫做e2,那么它就是ke2 即可以写成 e2是其中一条法线,我们叫它为主法线( principal normal),而k这个函数与平 面的情形一样,叫做曲线的曲率.所以现在,我有一个切线的方向和一个主 法线方向.在三维空间就有另外一个方向跟这两个方向垂直,我们通常叫 它 binormal.总而言之,存在另外一个法线,所以它有两个法线.那么这两个 法线所成的平面就是法平面.曲线是1维的,切线是1维的,所以法线是2维的, 是个平面.那么有一个e3=e1×e2,其中e1×e2是矢量积.对于两个方向的 话,有一个确定的第三个方向是跟它们垂直的,并且使得e1,e2,e3成一个正 交系统.我们假定这个空间是定向的,右手,左手都有一个确定的方向.通 常我们都用右手,所以就有一个确定的e3满足 (ei, ei)=dij 2
2 ✽✲▼✧ ✱➨➪▼✧ò➓✘❩✍➃ø✑Ú➲➣✗✗✽✲④❁♦. ✧÷➲➣✙ó❿✘ ✣▼✧✹✽✲④▼✧x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t)). ó3➅✽✲➦❿★✧, ➘✶ ❨➬✽✲④✰✮x, y Ò✱✰➃❦❥t ④❁❥. ❨❏➚Ü✜➣▲➊Ñ⑧✇, ➲ ò➜ó✘✆✝. ➘✶x(t) ✹✘➬✪Þ, ➬④■ÞÒ✹➎④✰✮, ✌➎✹t ④ ❁❥. ➉✹➬Ò✯✘✣★✧, ❨3➬■Þ✇✮xi(t)(i = 1, 2, 3). x(t)✹✘➬✪ Þ, ✹❦❥t④❁❥, ➬④3➬■ÞÒ✹➨➎④✰✮✱✰➃t ④❁❥, ➃✍➃ ➓q✑Ú✸ø④✵✛Ò✹é❨✣▼✧⑦❻è■. ✧➼▼✧❿★✧, ❄✪ó★ ✧Þ➪❿❭➔✪Þ, ý❿❭➔★✪Þ. é▼✧❿➬✵✺, ✘❺❨➃✒, ×ø✘ ➬✵✺, ✞➌⑨❦❥t ✹✎✜④✘➬✵✺. ✎✌Ó❷, ➲➣Ò❿✘➬❭➔★ ✪Þ, ✇➬e1, ➃❐➨➪✸ø④❁❨, ➨e1❨➬❁❥és ò❋❻■, Ò⑧➉ ⑨és ❋✓⑦④❻■. ❖➃e1 ✹❭➔✪Þ, ➘✶③t④❨➬❻■❐e1 ✹✒❺ ④. ✌é➉✘✣✽✲➙④▼✧, ➬④★✧✹✘✣, ➬④✛✧❿➹❥➬. Ù✧ ➨✱❨✘➎❐★✧✒❺④✛✧❿➹❥➬, ➃Ù➙❿✘➬✹de1 ds , ➬✹❳q❭ ❤➼④. ❸➉✸ø④➤❸, ➲➨❨➬✵✺④❭➔✪Þ✇✮e2, ➃➬Ò✹ke2, ý✱✶❯➘ de1 ds = ke2. (3.3) e2✹Ù➙✘✣✛✧, ➲➣✇➬➃❒✛✧(principal normal), ✌k❨➬❁❥➛➨ ➪④❁♦✘ø, ✇✮▼✧④▼●. ➘✶✙ó, ➲❿✘➬★✧④✵✺❩✘➬❒ ✛✧✵✺. ó➤➅✽✲Ò❿☞✐✘➬✵✺❐❨Ü➬✵✺✒❺, ➲➣✴➒✇ ➬binormal. ✎✌Ó❷, ❄ó☞✐✘➬✛✧, ➘✶➬❿Ü➬✛✧. ➃❨Ü➬ ✛✧➘➘④➨➪Ò✹✛➨➪. ▼✧✹1➅④, ★✧✹1➅④, ➘✶✛✧✹2➅④, ✹➬➨➪. ➃❿✘➬e3 = e1 × e2 , Ù➙e1 × e2 ✹✪Þè. é➉Ü➬✵✺④ ➏, ❿✘➬❤➼④➅➤➬✵✺✹❐➬➣✒❺④, ❄✪✫③e1, e2, e3➘✘➬t ❜ø✿. ➲➣✧➼❨➬✽✲✹➼✺④, ➁❈, ✫❈Ñ❿✘➬❤➼④✵✺. ✴ ➒➲➣Ñ⑦➁❈, ➘✶Ò❿✘➬❤➼④e3✇✖ (ei , ej ) = δij . (3.4) 2
因此在研究三维几何的时候,这样的三个互相垂直的单位矢量所成的图形 非常要紧.这是为什么呢?这样一个东西我叫它标架.你把一个标架搬到另 个标架的运动是完全确定的.那么三维空间最要紧的性质就是三维空间 的运动.我们要研究的几何性质是经过运动不变的.所以就要知道什么时候 你可以把这个东西搬到另外一个位置,什么时候它的位置相差在于一个运 动,而标架就是这个运动解析的表示的方法.你要能够搬过去就表示这个标 架搬到另外一个标架的运动是完全确定的.显然,只有一个运动并且一定 有一个运动把一个标架变为另外一个标架.因为要研究空间经过运动不变 的性质,所以解析的方法就是利用标架.那么假使我现在有一条曲线,我不 只有一个标架,这些标架是时间的函数,在那里运动.因此e;这三个作为标 架的矢量都是时间t的函数,于是我可以求它的微分盘.盎是个矢量因为 是(e1,e2,e3)是个标架,所以任何一个矢量就可以写成e1,e2,e3这3个矢量的 线性组合.那么我把它稍微曲广一点,就把它写成de等于e的线性组合 dei wii ek 这个组合的系数是一次微分式,这是因为我现在做了一下微分,由这函数便 得到一次微分式,那么这样的一次微分式我叫它山,这就表示两个相邻的 标架的关系.你有一个e1的标架,旁边有个相邻的标架e1+de,那么de;表 为e1的函数的时候,它的组合的系数就是一次微分式.;是一次微分式,在 这里,我的指标,都是从1到3,3是我们空间的维数,所以一共有9个 i,每一个从1到3,所以一共有9个.这9个一次微分式是有关系的,它不是完 全任意的.这个关系就是 所以假使你把心看成一个3×3的方阵的元素的话,这个方阵是反对称的 这一组方程很容易从e,e的内积等于b得到:把这个关系(方程(34)微分 的话,就立刻得到这一组性质.这就是说()是一个3×3方阵的元素,这 个方阵的元素都是一次微分式,并且这个方阵整个是反对称的,换句话说, 这个方阵主角线上的元素是0.其它呢,由于反对称,有12=-u21等,是反 对称的.因此我们现在有一个单位切矢量,有一个主法矢量,还有一个与它
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们垂直的成一个标架的e3=e1×e2(矢量积).对于这个标架,我把它的三个 方程都对弧长求函数(微分),就可以把这个函数表为e1,e2,e3的一个线性组 合.这个组合是这样的一组方程:第一个方程是de1=ke2.因为我们的方阵 是反对称的,主对角线上的元素都是0,所以13=0.但是其他的元素要注 意e3的位置,由于e1,e2选择的关系,u13是等于0的.因此31也等于0.所以 这个方阵写出来,就是我下面的3个方程 de d ke1+we3 这组方程是当年曲线论发展的时候最早的一组方程.我们通常叫它 Frenet 方程, Fren et是法国的一个数学家.我想这是他的的博土论文.他不一定是 头一个给出这个方程,当时有几个人做出这个工作.从我讲的,你们可以看 出来得这个方程并不太困难.因此我除了曲率以外,还有另一个函数u 就是方程中的挠率( orison),也是弧长的函数,是表示空间的曲线在运动群 下的性质.所以空间曲线有两个函数,一个是曲率,另一个是挠率,挠率就是 描写它怎么样不是一条平面曲线,它是在空间弯曲的一个量.所以空间曲线 是用两个函数来描写的,它们解析地描写这空间的性质.这两个函数显然很 重要,因为它们要是等于0的时候,就表示了曲线很简单的性质.要是k=0 的话,这曲线就成为直线这很容易证明,我下面给出证明:因为k=0,所 以de1=0.因此单位切矢量e1是一个常数,因为这样它的微分才等于0.那么 你把这个常数e1=C代入到e1=中,再把它积分一下子就得到x是s的 次函数 C (38) 所以这就是一条直线反过来也很容易能证明如果你有一条直线的话,它的 曲率k是等于0的.因此k=0代表曲线的最简单的性质,就是直线.那么要 注意的是在定挠率的时候,一定要k≠0.若是k=0的,于是当=0.也就 是直线了.这时它就没有法子定主法线.一条直线跟它垂直的是一个平面
➣✒❺④➘✘➬✮✪④e3 = e1 × e2(✪Þè). é➉❨➬✮✪, ➲➨➬④➤➬ ✵➬Ñé➀➓❋❁❥( ❻■), Ò✱✶➨❨➬❁❥✱➃e1, e2, e3 ④✘➬✧✉✜ ❭. ❨➬✜❭✹❨ø④✘✜✵➬Õ➅✘➬✵➬✹de1 = ke2. ❖➃➲➣④✵❥ ✹✬é➪④, ❒é♥✧Þ④➹↔Ñ✹0, ➘✶ω13 = 0. ❜✹Ù➷④➹↔✞Õ ❄e3④➔➌, ❸➉e1, e2 ➔✡④✞ø, ω13 ✹⑧➉0④. ❖✩ω31 ✎⑧➉0. ➘✶ ❨➬✵❥❯ñ✉, Ò✹➲✆➪④3➬✵➬: de1 ds = ke2 de2 ds = −ke1 + ωe3 (3.7) de3 ds = −ωe2 ❨✜✵➬✹❤★▼✧❳✕✵④✣⑧✦④✘✜✵➬. ➲➣✴➒✇➬Frenet ✵➬, Fren et✹✛✮④✘➬❥➛✛. ➲✳❨✹➷④④❋✱❳➞. ➷❳✘➼✹ ❃✘➬➱ñ❨➬✵➬, ❤✣❿✁➬⑤✮ñ❨➬Ó✯. ✱➲❨④, ✜➣✱✶✗ ñ✉③❨➬✵➬❄❳Ô❤✡. ❖✩➲øê▼●✶✐, ↕❿☞✘➬❁❥ω. ω Ò✹✵➬➙④☞●(torison), ✎✹➀➓④❁❥, ✹✱✰✽✲④▼✧óä➘❦ ✆④✉➓. ➘✶✽✲▼✧❿Ü➬❁❥, ✘➬✹▼●, ☞✘➬✹☞●, ☞●Ò✹ ➹❯➬✍➃ø❳✹✘✣➨➪▼✧, ➬✹ó✽✲❦▼④✘➬Þ. ➘✶✽✲▼✧ ✹⑦Ü➬❁❥✉➹❯④, ➬➣❽Û➃➹❯❨✽✲④✉➓. ❨Ü➬❁❥✗❧✐ ➢✞, ❖➃➬➣✞✹⑧➉0④✣⑧, Ò✱✰ê▼✧✐❀❭④✉➓. ✞✹k = 0 ④➏, ❨▼✧Ò➘➃❺✧. ❨✐➂✹②Ò, ➲✆➪➱ñ②ÒÕ❖➃k = 0, ➘ ✶de1 = 0. ❖✩❭➔★✪Þe1✹✘➬➒❥, ❖➃❨ø➬④❻■❜⑧➉0. ➃ ✜➨❨➬➒❥e1 = C❙➐te1 = dx ds➙, ò➨➬è■✘✆✝Ò③tx✹s ④✘ ✬❁❥Õ x = Cs. (3.8) ➘✶❨Ò✹✘✣❺✧. ✬✱✉✎✐➂✹✕②Ò➌✯✜❿✘✣❺✧④➏, ➬④ ▼●k ✹⑧➉0④. ❖✩k = 0 ❙✱▼✧④✦❀❭④✉➓, Ò✹❺✧. ➃✞ Õ❄④✹ó➼☞●④✣⑧, ✘➼✞k 6= 0. ➙✹k = 0 ④, ➉✹de1 ds = 0, ✎Ò ✹❺✧ê. ❨✣➬Ò➊❿✛✝➼❒✛✧. ✘✣❺✧❐➬✒❺④✹✘➬➨➪, 4
这个平面里头所有跟此直线垂直的展向都是有同样的性长,所以就没有主 法线,因此也不能定另率.另率一定要在这点的曲率k≠0的时候才有意义 而当另率等于0的时候,当然就是表示这时曲线是在平面上一时曲线.下面 我也给了一个简单的证明.因为另率这个函数是在 Frenet公式的第三个公 式里.所以由u=0可知此时e3是个常数的架量.对于e3这个常数架量,由 于e是一个法线,并且因为法线跟切线是永远垂直的,所以e3跟的内积 是永远等于0.因此e3要是等于常数的话,我就可以把展程 (3.9) 积分.因为e3是一个常数,所以这积分就是e3跟x的内积等于一个常数.因 此它是一个平面曲线,于是u=0是表示曲线是个平面曲线.反过来,可以 很容易证明平面曲线的另率是0.所以曲率和另率两个函数都有简单的几何 性长.另外一种很有意思的曲线是k与u都不为0,但都是常数.那地在这个 情形之下,可以证明曲线是个螺线.就是这样简单的微积分的应用在生太 化学上有重要的意义.因为我们知道生太化学的一个主要的化合太是DNA. DNA是两时螺线,是个双螺线,这是生太上非常基本之现象.在生太上,这 样的曲线就跑出来了.因此,曲线论在生太化学有重要的应用,也就是大家 要知道曲线的性长如何影响DNA的化学性长,所以数学就很重要了.曲线 的性长影响到化学的性长,尤其是在化学里头,有时候你把DNA切断了,它 的性长就改变了.所以切断之后,数学性长就发生改变,它的化学性长也改 变,讨论它们如何改变,这是在DNA的研究及在生太化学展面是非常基本 的问题,大家做了很多的工作.现在拿一本微生太化学的书要翻开来的话, 就看见有一个基本的公式,叫做 White公式. White是我的一个学生的学生, 他做这个工作是他博士论文的一个结果.他运气很好,他这个结果变为生太 化学的一个基本的公式.我现在不能讲这个结果 5
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3 Fetch不等式, Crofton积分公式和 Fary-Milnor 定理 做这个几何研究的时候,有些重要性质要讨论.事常重要的性质往往是整体 几何的性质,在曲线的情况也不是研究一小段的几何.我们现在把上面的这 个叫做局部的几何,即研究一小段的几何性质,这时k,都是弧长的函数 用它们研究它的性质,是怎么样弯曲.不过更重要的是研究整条曲线.假使 有一条曲线是封闭的,看这条曲线有什么样的性质.这里有个非常要紧的公 式.对于这条封闭的曲线,每点有个曲率.因为封闭了,我就研究全曲率,即 把这个曲率沿整条曲线求它的积分,于是就有所谓 Feuchll公式 kds>2丌 (3.10) 就是说这个积分有个下界,一定是2.这个直觉讲起来就是如果你一点曲 率都没有,这条曲线就直线走下去,是不会封闭起来.你要直线走下去能够 封闭的话,总要把它弯过来,弯过来就要有曲率.那么如果能够弯过来,与原 来地方对上来的话,那么曲率在整个曲线上的积分有一个固定的下界,这个 下界是2丌.这就是所谓的 Fetch2式.我要证明这个公式.为什么讲全曲率 要有一个下界?证明这个公式的方法就是讨论这条曲线的单位切矢量,即 在切线的方向的一个单位矢量.主要观念就是利用高斯映射( Gau ss map) 对于这样一个单位切矢量,在固定点取跟这个切矢量是平行的那些单位矢 量,所以你有许多单位矢量是e1(s),它是长等于1的一个矢量.所以你假使 把它看成空间一个点,它就是在单位球上的一个点.因此你取一个单位球, 将e1(s)看成单位球上的一个点,那么当你这个点沿原来曲线走一圈的时候, e1(s)在单位球上成一条曲线.这是高斯映射的意思即所谓的高斯映射.这 条曲线e1(s)在单位球上所成的的曲线不是原来的曲线,换了一种了,因为它 的方程是e1(s),不是x(s).e1(s)满足: do2 de, del ds2=(a,)=k2,是e1(s)的弧长 (3.11) 单位球面如果有一个大圆,那么这个大圆有一个极点,我叫它y.也就是说
3 Feuchll❳⑧✯, Croftonè■Ú✯❩Fary-Milnor ➼➤ ✮❨➬✁❬Ï➘④✣⑧, ❿❏➢✞✉➓✞ÿ❳. ✴➒➢✞④✉➓⑨⑨✹r✍ ✁❬④✉➓, ó▼✧④❁❨✎❳✹Ï➘✘❇ã④✁❬. ➲➣✙ó➨Þ➪④❨ ➬✇✮Û❭④✁❬➬ýÏ➘✘❇ã④✁❬✉➓, ❨✣k, ωÑ✹➀➓④❁❥, ⑦➬➣Ï➘➬④✉➓, ✹✍➃ø❦▼. ❳✱❮➢✞④✹Ï➘r✣▼✧. ✧✫ ❿✘✣▼✧✹❯✔④, ✗❨✣▼✧❿✤➃ø④✉➓. ❨➦❿➬✿➒✞➏④Ú ✯. é➉❨✣❯✔④▼✧, ➎➎❿➬▼●. ❖➃❯✔ê, ➲ÒÏ➘❭▼●, ý ➨❨➬▼●×r✣▼✧❋➬④è■, ➉✹Ò❿➘➣Feuchll Ú✯ Z c kds ≥ 2π, (3.10) Ò✹⑨❨➬è■❿➬✆➂, ✘➼✹2π. ❨➬❺ú❨å✉Ò✹➌✯✜✘➎▼ ●Ñ➊❿, ❨✣▼✧Ò❺✧✒✆❱, ✹❳❒❯✔å✉. ✜✞❺✧✒✆❱✕ê ❯✔④➏, ✎✞➨➬❦✱✉, ❦✱✉Ò✞❿▼●. ➃➌✯✕ê❦✱✉, ➛➷ ✉➃✵éÞ✉④➏, ➃▼●ór➬▼✧Þ④è■❿✘➬û➼④✆➂, ❨➬ ✆➂✹2π. ❨Ò✹➘➣④FeuchllÚ✯. ➲✞②Ò❨➬Ú✯. ➃✤➃❨❭▼● ✞❿✘➬✆➂? ②Ò❨➬Ú✯④✵✛Ò✹ÿ❳❨✣▼✧④❭➔★✪Þ, ý ó★✧④✵✺④✘➬❭➔✪Þ. ❒✞✡✬Ò✹➻⑦➦❸♥ó(Gau ss map). é➉❨ø✘➬❭➔★✪Þ, óû➼➎❘❐❨➬★✪Þ✹➨q④❏❭➔✪ Þ, ➘✶✜❿➂õ❭➔✪Þ✹e1(s), ➬✹➓⑧➉1 ④✘➬✪Þ. ➘✶✜✧✫ ➨➬✗➘✽✲✘➬➎, ➬Ò✹ó❭➔❊Þ④✘➬➎. ❖✩✜❘✘➬❭➔❊, ❘e1(s)✗➘❭➔❊Þ④✘➬➎, ➃❤✜❨➬➎×➷✉▼✧✒✘❲④✣⑧, e1(s)ó❭➔❊Þ➘✘✣▼✧. ❨✹➦❸♥ó④❄❻, ý➘➣④➦❸♥ó. ❨ ✣▼✧e1(s)ó❭➔❊Þ➘➘④④▼✧❳✹➷✉④▼✧, ➛ê✘➠ê, ❖➃➬ ④✵➬✹e1(s), ❳✹x(s). e1(s) ✇✖: dσ2 ds2 = (de1 ds , de1 ds ) = k 2 , σ✹e1(s)④➀➓. (3.11) ❭➔❊➪➌✯❿✘➬▲❐, ➃❨➬▲❐❿✘➬ô➎, ➲✇➬y. ✎Ò✹⑨, 6
大圆是子午圆,y是这个大圆的极点把这个极点当成顶量的一点,那么曲便 就有个高度,这个高度被取成是(x),是个内积这个高度可以看成是曲便 量的一个函阵,那么曲便在空间里头就有了一个高度.我们这曲便是封闭的 当然有个最高点,有个最低点.在最高点,因为个是最高的,显然个的切便是 平的.在最低点,切便也是平的.所以就有两个临界点,一个是代表高度最 高的,一个是最低的,而与y这个点垂直的那个大圆,一定跟单位球量的曲便 变交.因为(y,dx)这个内积是0,所以y跟球面的e1()在一点变交.因此在单 位球量的曲便跟这个单位圆变交.但是y是任并方向,所以我们球量的高斯 映射的曲便是跟球量的什么圆都变交,这是因为y是任并一个点,于是y的那 个子午圆交我们这条曲便我想高斯曲便我叫个,个跟y的子午圆变交,因 此跟任并单位圆变交,这是很要紧的一个性质.所以?这条曲便一定要变当 长,个在球量不是一条任何的曲便,个在球量是一条跟所有的圆周(大圆)都 变交的曲便.那么我还是需要证明个有2π这个下界,下面来说明这个问题 我这条曲便是e1(s),叫同位圆.e1(s)就是空间曲便的一个高斯映射,个是 切便的方向在单位球量所成的曲便,而这条曲便叫做γ,个跟球量的任何单 位圆都变交.那么一般么,这条曲便变当长了,如式太短,个没有这个性质 说个有一个2r的下界,是 Crofton公式 4L. (3.12) Crofton的文章也很有并思,不是一个正式的阵学文章.英国的百科全 书( Encyclopaedia a)请他写一质文章,是关于几何概率的.他是在写(几何)概 率的文章时候把他的结式写在里头了.这个结式很要紧,换句话说,就在平 面量讲,曲便的长度可以表为跟个变交的直便的度量.长度,就是直便的度 量,这个并思在探物学里,近代在医学都有应用.有时候,你身体量的东两, 要问个有多大,也不能把人切开,是不好量的.于是就是用看变交这个东两 的便作为度量,来量这个身体量的某一部分的大小.这一部分阵学一般叫做 积分几何,不是微分几何.积分几何就是研究这些积分的关系与性质积 分几何在医学量有很大的应用,有很多机器采用采用这理论.因为你要看 人的病体,也不能拿这个病体来量,就拿便射个,按射个的效式来看病体的 7
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大小及其它的性质.这就是积分几何.那么我现在说,(312)是 Crofton公式, 就是说球面上边也有几何,是球面几何.它的点我都知道,它的直线就是大 圆.所以现在我在球面上有条曲线,跟所有大圆都相交.那么,这种直线的 数有一个量度, Crofton公式讲,它是等于4倍它的量度. FeuchT公式是球面 上 Crofton公式的一个结果.因为 Crofton公式说它的量度是4倍于它的四边 路长,所以就利用这条曲线跟每一个大圆都相交的性质就得到 Fetch公式 因此问题就是说什么是球面上大圆的量度.球面上的大圆是球面上非欧几 何的直线.而对于直线,我也有个量度( measure)在球面上的量度很简单,这 是因为球面上的直线跟极点有个简单的对偶关系:因为你有一个大圆,它有 个极点,因此这条直线跟这个极点有个对偶关系.于是这个大圆的量度就 取为这个极点的量度.所以我现在大概讲一讲怎么样证明球面上的 Crofton 公式.这个证明其实很简单,不过要小心一点,就是想法子换换坐标就行了 现在比方说,这条曲线跟一个大圆相交,那么这个大圆可以换坐标、.如果换 坐标,由于e1(s这条曲线跟这个大圆相交,而大圆有个极点y,所以要换y的 坐标.那么换坐标换什么呢?这个大圆与直线相交,而大圆是2维的空间,所 以要有两个坐标.我就取这条曲线的弧长s作为一个坐标,那么,这个大圆跟 直线相交的话,就有图上的这个情况:还缺一个坐标是什么呢?大圆有 个极点,这个极点是y.显然y是与e1垂直的,所以y一定在e2,e3所成的圆周 上,这是因为e2,e3是跟e1垂直的因此y就是在e2,e3的圆周上,于是y就可以 表为 Be2(s)+sin ees( 实际上,y是e2,e3的一个线性组合.又因为它是个单位矢量,所以可以写成 这样的形状.因此y这点有两个坐标我可以取为s,.那么现在的问题是求y 在这个面积元素( element area)的度量,是要把y这点的度量看成是大圆的 度量.通常这不难求.y是一个点,你就求dy.y是在单位球上的一点,于是下 面来求dy.把这个d写为跟y垂直的两个方向的函数,那么这两个单位矢量 系数的外积就是y的度量.所以我现在这么做.e1,e2,e3是标架,它们三个矢
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量是互相垂直的单位矢量,它们也都是s的函数.所以我把它的公式写出来 ds a2e2 a3e3 d 3e1 无论如何,这公式里头的系数成一个反对称的方数.这就做下去,很简单地 如果算一算y,就得到dy一个公式 dy=(sin Be2 +cos Be3)(de+ayds)-e1(a1 cos 8+a3 sine)ds. (3.15) 于是我们有 面积元素=(a2cos6+a3sin6)d∧ds 若命 a2 =COST, a3=sInT, (31 则 面积元素=cos(-6)d∧ds. (318) 即最后cos(r-6)d0∧ds是球面上的面积元素.为了要求这个球面上的面 积,求这个东西的重积分,也就是求这个式子的重积分.那么我数这个点的 时候,是考虑完全绝对值,来求这个绝对值的这个重积分.我刚交假设有两 个变数s跟,那么就对它们来求积分.积分的时候先固定s,取cos的绝对值 来求积分.假使角度转一圈的话,|cos一共变了多少呢?cos的绝对值的积 分是4.这是因为当cos从0到r时是从1到-1,一共是4次1,所以是4.因此这 样你就求到跟曲线相交的大圆的度量,即有多少个大圆这个度量是求这个 重积分,把它算出来.算出来之后,你只要求一次对θ的积分就可以了.剩下 的是曲线的弧进.所以 Cr often问题就能从这个计算得到.你们抄下来,回 去想一想,就可以得到.因此 Crofton公式说?这条曲线至少有多进它把这 个曲线跟任何大圆相交的性质表为一个度量的性质,即有多进.由这个我 就得到 Feucht定理.这是很漂亮的一个定理:我们假使这个流形是封闭的
Þ✹➄★✒❺④❭➔✪Þ, ➬➣✎Ñ✹s④❁❥. ➘✶➲➨➬④Ú✯❯ñ✉: de1 ds = a2e2 + a3e3 de2 ds = −a2e1 + a1e3 (3.14) de3 ds = −a3e1 − a1e2 ➹❳➌❬, ❨Ú✯➦❃④ø❥➘✘➬✬é➪④✵❥. ❨Ò✮✆❱, ✐❀❭➃, ➌✯➤✘➤dy,Ò③tdy✘➬Ú✯: dy = (− sin θe2 + cos θe3)(dθ + a3ds) − e1(a1 cos θ + a3 sinθ)ds. (3.15) ➉✹➲➣❿ ➪è➹↔ = (a2 cos θ + a3 sin θ)dθ ∧ ds. (3.16) ➙× a2 = cos τ, a3 = sin τ, (3.17) ☛ ➪è➹↔ = cos(τ − θ)dθ ∧ ds. (3.18) ý✦⑨cos(τ − θ)dθ ∧ ds ✹❊➪Þ④➪è➹↔. ➃ê✞❋❨➬❊➪Þ④➪ è, ❋❨➬➚Ü④➢è■, ✎Ò✹❋❨➬✯✝④➢è■. ➃➲❥❨➬➎④ ✣⑧, ✹✤❉q❭ýé❾, ✉❋❨➬ýé❾④❨➬➢è■. ➲➛❜✧÷❿Ü ➬★❥s ❐θ, ➃Òé➬➣✉❋è■. è■④✣⑧☛û➼s, ❘cos④ýé❾ ✉❋è■. ✧✫♥ÝÝ✘❲④➏, | cos|✘á★êõè✑Úcos④ýé❾④è ■✹4 . ❨✹❖➃❤cos✱0tπ✣✹✱1t-1, ✘á✹4✬1, ➘✶✹4. ❖✩❨ ø✜Ò❋t❐▼✧★❜④▲❐④ÝÞ, ý❿õè➬▲❐. ❨➬ÝÞ✹❋❨➬ ➢è■, ➨➬➤ñ✉. ➤ñ✉❷⑨, ✜➄✞❋✘✬éθ④è■Ò✱✶ê. ✏✆ ④✹▼✧④➀➓. ➘✶Cr ofton➥☛Ò✕✱❨➬✎➤③t. ✜➣➝✆✉, ➹ ❱✳✘✳, Ò✱✶③t. ❖✩CroftonÚ✯⑨γ❨✣▼✧➊è❿õ➓. ➬➨❨ ➬▼✧❐⑧❬▲❐★❜④✉➓✱➃✘➬ÝÞ④✉➓, ý❿õ➓. ❸❨➬➲ Ò③tFeuchll➼➤. ❨✹✐↕à④✘➬➼➤: ➲➣✧✫❨➬✖♦✹❯✔④, 9
在2维的情形,就是封闭的曲线.对于封闭的曲线,它的总曲率有一个一定的 下限.什么条候这个下限能达到?显然确这条曲线是平面曲线并且是一条 完备( complete曲线条是可以达到的.根据上面讨论也可以证明这个结论 更有意微的一个结果是所谓的Fay- Milnor定理:如果曲线C有结,则 kds>4丌 (3.19 我想 Milnor是近些年来美国最优秀的一个拓扑学家者.他做这个定理的条 候,就跟你们一样.上课条,老师谈到这个问题.他给出一个条件什么条候 条封闭的曲线能打成一个结.假使有结的话,显然我们推测需要曲率更多 些,因为打结就得转转.不过Fray- Milnor定理就是讲假使这个封闭的曲 线有一个结的话,它的全曲率的积分至少为4.所以全曲率一定就大于4.这 个证明很简全,因为如果它小于4的话,一定有个方向,在这个方向上的高度 只有一个极大跟一个极小点.所以我这条曲线一定是连接这个极大点与极 小点的两个弧.那么中间就没有极大点和极小点,所以中间那些平行的平面 跟曲线相交的话,都相交于两点.那么用一条线稍把这两点连起来,于是它 这曲线就围成一个区域.显然曲线就可以缩成一点,所以就不是结.所以如 果这全曲率小于4的话,它这条曲线的结就可以解开.因此如果曲线有个结 的话,它的全曲率一定≥4.于是立刻得出来Fray- Milnor定理.下面我讲讲 与陈国才的工作的关样.陈国才的工作是讨论这个结,进行不只一条曲线 可以有好几条曲线,即所谓link的研究,讨论什么条候这个link能绕过来曲 率是挠率.这个问题物理学家很感兴趣,最近,做了很多这方面的工作.不 过,推广Fary- Milnor定理有个可能性,就是讨论切线的曲率跟挠率对于陈 国才的不变式有什么影响.陈国才是研究曲线的对偶同三的性质跟微分式 的关样,所以真正用在这个方面,你不见得能把这个结解开.但是有可能确 曲线的曲率与挠率有某种性质的条候,他所定的这个不变式会任于0.所以 有些问题研究的条候可以想一想.如果有人听了 Harris教授的课的话,他就 在讲陈国才的工作.陈国才是近几年来中国产生的一个非常优秀的数学家 他没有名,不都与媒介有什么关样,一个人做他的领域,做非常特殊,非常创 新的工作 10
ó2➅④❁♦, Ò✹❯✔④▼✧. é➉❯✔④▼✧, ➬④✎▼●❿✘➬✘➼④ ✆✦. ✤➃✣⑧❨➬✆✦✕❍t? ✗❧❤❨✣▼✧✹➨➪▼✧❄✪✹✘✣ q÷(complete)▼✧✣✹✱✶❍t④. ✃âÞ➪ÿ❳✎✱✶②Ò❨➬❼❳. ❮❿❄❻④✘➬❼✯✹➘➣④Fray-Milnor ➼➤Õ➌✯▼✧C❿❼, ☛ Z C kds ≥ 4π. (3.19) ➲✳Milnor✹↔❏★✉➏✮✦⑨❸④✘➬❴➚➛✛❱. ➷✮❨➬➼➤④✣ ⑧, Ò❐✜➣✘ø. Þ✶✣, ➄✓át❨➬➥☛. ➷➱ñ✘➬✣●✤➃✣⑧ ✘✣❯✔④▼✧✕❑➘✘➬❼. ✧✫❿❼④➏, ✗❧➲➣▼⑧❽✞▼●❮õ ✘❏, ❖➃❑❼Ò③ÝÝ. ❳✱Fray -Milnor➼➤Ò✹❨✧✫❨➬❯✔④▼ ✧❿✘➬❼④➏, ➬④❭▼●④è■➊è➃4. ➘✶❭▼●✘➼Ò▲➉4. ❨ ➬②Ò✐❀❭, ❖➃➌✯➬❇➉4④➏, ✘➼❿➬✵✺, ó❨➬✵✺Þ④➦Ý ➄❿✘➬ô▲❐✘➬ô❇➎. ➘✶➲❨✣▼✧✘➼✹❐③❨➬ô▲➎➛ô ❇➎④Ü➬➀. ➃➙✲Ò➊❿ô▲➎❩ô❇➎, ➘✶➙✲❏➨q④➨➪ ❐▼✧★❜④➏, Ñ★❜➉Ü➎. ➃⑦✘✣✧ã➨❨Ü➎❐å✉, ➉✹➬ ❨▼✧Ò➀➘✘➬❑➢. ✗❧▼✧Ò✱✶➚➘✘➎, ➘✶Ò❳✹❼. ➘✶➌ ✯❨❭▼●❇➉4 ④➏, ➬❨✣▼✧④❼Ò✱✶❽✌. ❖✩➌✯▼✧❿➬❼ ④➏, ➬④❭▼●✘➼≥ 4. ➉✹➪✴③ñ✉Fray-Milnor ➼➤. ✆➪➲❨❨ ➛➼✮❜④Ó✯④✞ø. ➼✮❜④Ó✯✹ÿ❳❨➬❼, ➓q❳➄✘✣▼✧, ✱✶❿P✁✣▼✧, ý➘➣link④Ï➘, ÿ❳✤➃✣⑧❨➬link ✕✇✱✉▼ ●✹☞●. ❨➬➥☛Ô➤➛✛✐→❧❯, ✦↔, ✮ê✐õ❨✵➪④Ó✯. ❳ ✱, ▼✒Fary-Milnor ➼➤❿➬✱✕✉, Ò✹ÿ❳★✧④▼●❐☞●é➉➼ ✮❜④❳★✯❿✤➃❦✴. ➼✮❜✹Ï➘▼✧④é❙✸➤④✉➓❐❻■✯ ④✞ø, ➘✶❪t⑦ó❨➬✵➪, ✜❳❉③✕➨❨➬❼❽✌. ❜✹❿✱✕❤ ▼✧④▼●➛☞●❿ì➠✉➓④✣⑧, ➷➘➼④❨➬❳★✯❒⑧➉0. ➘✶ ❿❏➥☛Ï➘④✣⑧✱✶✳✘✳. ➌✯❿⑤✫êHarriss●④✶④➏, ➷Ò ó❨➼✮❜④Ó✯. ➼✮❜✹↔✁★✉➙✮➋✠④✘➬✿➒⑨❸④❥➛✛. ➷➊❿Ö, ❳Ñ➛➌➄❿✤➃✞ø, ✘➬⑤✮➷④☛➢, ✮✿➒✁❖, ✿➒✌ ❝④Ó✯. 10