第二学期第二十九次课 §3张量 123.1线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系 设V是域K上的n维线性空间,E12…,En和72…,7n是V的两组基,且 (n2…,Dn)=(E12,En) (1) 设a∈V1在(E…,En)下的坐标为(x1…,x),则由前面的知识,可得 由此可知,坐标是逆变的 现在考虑V的对偶空间V。512…,En在V的对偶基为f,…,”,n1,n在V的对 偶基为g1,g",那么就有 0 将(1)代入(3) 0 01 ,E,)T )(4) 01 g (注意可逆矩阵相乘,可交换)比较(3)和(4)可得: g f g 现设f∈ f=(a (b,…,bn 由(5)和(6)得到 (b1,…,bn)=(a12…,an)T
第二学期第二十九次课 §3 张量 12.3.1 线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系 设 V 是域 K 上的 n 维线性空间， 1 ,..., n 和 1 ,..., n 是 V 的两组基，且 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n = T （1） 设 V1 在 1 ( ,..., ) n 下的坐标为 1 ( ,..., ) n x x ，则由前面的知识，可得 1 1 n n x y T x y = （2） 由此可知，坐标是逆变的； 现在考虑 V 的对偶空间 * V 。 1 ,..., n 在 * V 的对偶基为 1 ,..., n f f ， 1 ,..., n 在 * V 的对 偶基为 1 ,..., n g g ，那么就有 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( ,..., ) ( ,..., ) 0 0 0 1 n n n n f g f g = = (3) 将（1）代入（3） 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( ,..., ) ( ,..., ) 0 0 0 1 n n n n g g T T g g = = （4） (注意可逆矩阵相乘，可交换)比较（3）和（4）可得： 1 1 n n f g T f g = （5） 现设 * f V ， 1 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n n n f g f a a b b f g = = （6） 由（5）和（6）得到： 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n b b a a T =
对比(1)式,可知V的对偶空间的坐标变换是共变的 张量的记法( Einstein约定) 在一般的数学式子中,和号表示为 b=a1b+a2b2+…+anbn 而在张量理论中,将某一个量的下角标改写为上角标,同时省略和号,即令 ab+ab+...+a 按 Einstein约定,将(1)中的T写成 T Tn 令S=(T),并将S写成 S 则V内基变换和V内基变换之间的关系可概括如下: 1=1sk,而E=S1m 2)g=sf,而=t 定义126逆变张量 现考察 V⑧…⑧=V(P) 它有相应的两组基 5③…③5,(4,…分别取值1,2,…,m) 7n③…③,(,…,J分别取值1 对于V(p)内任一向量a,它在两组基下的坐标分别设为 ⑧E⑧…⑧ E 小2 ⑧n2⑧…⑧ 将V内的基变换公式E=S代入上式,得
对比（1）式，可知 V 的对偶空间的坐标变换是共变的。 张量的记法（Einstein 约定） 在一般的数学式子中，和号表示为 1 1 2 2 1 . n i i n n i a b a b a b a b = = + + + 而在张量理论中，将某一个量的下角标改写为上角标，同时省略和号，即令 1 2 1 2 . i n i n a b a b a b a b = + + + 按 Einstein 约定，将（1）中的 T 写成 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 , n n n n n n t t t t t t T t t t = 令 1 S T( )− = ，并将 S 写成 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ; n n n n n n s s s s s s S s s s = 则 V 内基变换和 * V 内基变换之间的关系可概括如下： 1) , ; 2) , . k k i i k i i k i i k i i k k k t s g s f f t g = = = = 而 而 定义 12.6 逆变张量 现考察 ( ). p V V V p = 项 它有相应的两组基： 1 1 1 1 ( ,..., ,..., ( p p i i p j j p i i j j 分别取值1,2,...,n); 分别取值1,2,...,n). 对于 V p( ) 内任一向量 ，它在两组基下的坐标分别设为 1 2 1 2 1 2 1 2 . p p p p i i i i i i j j j j j j a a = ＝ 将 V 内的基变换公式 k i i k = s 代入上式，得
a4862…5 (S7)8(S22)…⑧(Sm1) ss2…s"a"(mn③n2②…③n) 于是我们得到a在两组不同基下的坐标变换关系: ss2…san 在内取定一组基E1…,En,让它对应于域K内一组元素 {a"|i,…,in分别取值1,2,…,,n 如果这组元素随V内的基变换E=sn而按公式(*)变换时,就称它为V上的一个P秩 逆变张量 定义127协变张量 现考察V的张量积 (q) 对于T(q)内任意向量f,它在V(q)的两组基 八⑧…⑧∫(1…分别取值1,2,…,n) g^⑧…⑧g"(i,…j分别取值1,2,,n) 下的坐标分别设为 b4,f③f③…8 现在将V内基变换公式f=t8代入,得 b8…8=b(8)(82)8…8(8") =h…b-,(g8g2…⑧g) 于是我们得到∫在两组不同基下的坐标关系 取定V内一组基:f,…,∫”,让它对应于域K内一组元素 b,1,…,分别取值1,2,,n} 如果这组元素随V内的基变换∫=t8而按公式(*)变换时,就称它为V上的一个q秩
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p p p p p i i i i i i i i i j j j i j i j i j j i i i j j i i i j j j a a s s s s s s a = = 于是我们得到 在两组不同基下的坐标变换关系： 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p p j j j j i i i j j i i i a s s s a = （*） 在 V 内取定一组基 1 ,..., n ，让它对应于域 K 内一组元素 1 2 1 { | ,..., }. p i i i p a i i 分别取值1,2,...,n 如果这组元素随 V 内的基变换 k i i k = s 而按公式（*）变换时，就称它为 V 上的一个 p 秩 逆变张量。 定义 12.7 协变张量 现考察 * V 的张量积 * * * ( ) q V V V q = 项 对于 * V q( ) 内任意向量 f ，它在 * V q( ) 的两组基 1 1 1 1 ( ,..., ,..., ( q q i i q j j q f f i i g g j j 分别取值1,2,...,n); 分别取值1,2,...,n). 下的坐标分别设为 1 2 1 2 1 2 1 2 . q q q q i i i i i i j j j j j j f b f f f b g g g = = 现在将 * V 内基变换公式 i i k k f t g = 代入，得 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ). q q q q q q q q q q i i j i i i j i j i i i i i i j j j i j i i j j j j j i i i b f f f b t g t g t g t t t b g g g = = 于是我们得到 f 在两组不同基下的坐标关系： 1 2 1 2 1 2 1 2 . q q q q i i i j j j j j j i i i b t t t b = （**） 取定 * V 内一组基： 1 ,..., n f f ，让它对应于域 K 内一组元素 1 2 1 { | ,..., } q i i i q b i i 分别取值1,2,...,n ， 如果这组元素随 * V 内的基变换 i i k k f t g = 而按公式（**）变换时，就称它为 V 上的一个 q 秩
协变张量 定义12.8 最后,我们来考察张量积(p)⑧'(q),它有两组基 En⑧…⑧En⑧fh⑧…⑧f (,…,,,…,J分别取值,…,m) n⑧…⑧n.⑧g18…⑧g (k,,k,,…,J分别取值1,…,n) (p)⑧(q)内一个向量可表示成 a-"51③…⑧E,⑧fh⑧…③f =amn…,②818…⑧g 在基变换E1=sm,f=tg4下,有 -kkk=Si …a的 域K内一组元素{am”14,…,…,分别取值…在F和F的上述基变换下按 公式(**)变换时,就称它为上的一个p秩逆变,q秩协变的混合张量,或简称为(Pp,q) 型张量 1232张量的加法和乘法 (i)加法 给定两个(Pq)型张量:a”,和b,定义 h“2-+b1 J12""Jg 称为两个张量的和。显然,两个(p,q)型张量的和仍然是一个(P,q)型张量 (i)乘法 给定一个(p,q)型张量am,,把它看作张量积Ⅳ(p)②V(q)内向量a在基 6的…8E,8f…下的坐标:又给定一个(,s)型张量b,,把它看作 r()()内一个向量B在1②…⑧5,…8八下的坐标。我们考察张量积 ((p)⑧I(q)((r)(s)=⑧…8rv⑧…⑧V 它里面有一组基为
协变张量。 定义 12．8 最后，我们来考察张量积 * V p V q ( ) ( ) ，它有两组基 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., 1,..., ), ( ,..., , ,..., 1,..., ). q p q p j j i i p q l l k k p q f f i i j j n g g k k l l n 分别取值 分别取值 * V p V q ( ) ( ) 内一个向量可表示成 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 p q q p p q q p i i i j j j j j i i k k k l l l l l k k a f f a g g = 在基变换 k i i k = s ， i i k k f t g = 下，有 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . p p q p q p q q k k k k j i i i k j l l l i i l l j j j a s s t t a = （***） 域 K 内一组元素 1 2 1 2 1 1 { | ,..., , ,..., 1,..., } p q i i i j j j p q a i i j j n 分别取值 在 V 和 * V 的上述基变换下按 公式（***）变换时，就称它为 V 上的一个 p 秩逆变， q 秩协变的混合张量，或简称为 ( , ) p q 型张量。 12.3.2 张量的加法和乘法 （i） 加法 给定两个 ( , ) p q 型张量： 1 2 1 2 p q i i i j j j a 和 1 2 1 2 p q i i i j j j b ，定义 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 p p p q q q i i i i i i i i i j j j j j j j j j c a b = + 称为两个张量的和。显然，两个 ( , ) p q 型张量的和仍然是一个 ( , ) p q 型张量。 （ii） 乘法 给定一个 ( , ) p q 型张量 1 2 1 2 p q i i i j j j a ，把它看作张量积 * V p V q ( ) ( ) 内向量 在基 1 1 q p j j i i f f 下的坐标；又给定一个 ( , ) r s 型张量 1 1 r s k k l l b ，把它看作 * V r V s ( ) ( ) 内一个向量 在 1 1 s r l l k k f f 下的坐标。我们考察张量积 * * * * ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) . p r q s V p V q V r V s V V V V + + = 项 项 它里面有一组基为
6,…5,868…⑧5,88…⑧户8f8…③f (4,…,p,k…,k,和…,,1 我们有 a②B=(aE…四E1,②∫的…∫) 8(bEn8…6f②…⑧f) b:E1…85,858…5 我们定义 称它为两个张量a和的乘积。c-是张量积 (V(p)⑧(q)(()(s)=V(p+r)⑧(q+s) 内一个向量在所取定的基(**)下的坐标,所以它是一个(p+r,q+s)型的张量
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,..., , ,..., , ,..., , ,..., 1,2,..., ). q s p r j j l l i i k k p r q s f f f f i i k k j j l l n = （****） 我们有 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) . = p q q p r s s r p r q s p r q s i i i j j j j j i i k k l l l l k k i i i k k j j j l l i i k k j j l l a f f b f f a b f f f f = 我们定义 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 , p r p r q s q s i i k k i i i k k j j l l j j j l l c a b = 称它为两个张量 1 2 1 2 p q i i i j j j a 和 1 1 r s k k l l b 的乘积。 1 1 1 1 p r q s i i k k j j l l c 是张量积 * * * ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) V p V q V r V s V p r V q s = + + 内一个向量在所取定的基（****）下的坐标，所以它是一个 ( , ) p r q s + + 型的张量
