北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第十二章 张量积与外代数 12.1 多重线性映射 12.2 线性空间的张量积 12.2.1 域 K 上的二线性空间的张量积的定义（归纳地有多个张量积的定义）

第二学期第二十七次课 第十二章张量积与外代数 §1多重线性映射 12.1.1线性空间的一组基的对偶基的定义 定义121对偶空间 设v是k上n维线性空间,E,E,,E,是v的一组基,则线性函数 f:F→K(K为数域)被∫在此组基下的映射法则决定,即f(c)f(62)…,f(E)已给定。 现设T内全体线性函数组成的集合为V,则在V内定义加法与数乘如下 (i)f,g∈V,(∫+g)(a)=f(a)+g(a); (ilf∈V,k∈K,(kf)(a)=kf(a 则V关于上述加法、数乘组成K上的线性空间,称为V的对偶空间,记作(V,K) 定义122对偶基 假设同定义12.1,定义V内n个线性函数 f(En)=δn(,j=1,2,,n) (由前面的知识,不难知f(a)知存在且是唯一的),则f1,f2,fn构成V的一组基,称这 组基为V内E1E2…En则组基的对偶基。(事实上,我们很容易说明∫1,2…,J线性无关, 再f∈V均可被f1,12…,线性表出。) 12.1.2线性空间的多线性函数、多线性映射的定义(双线性函数的推广) 名词笛卡尔乘积 设A,A2…,A是k个非空集合,定义一个新集合如下: A1×A2x…×A4={( )|a2∈A1} 这个新的集合称为集合A1,A2,…,A的笛卡尔乘积 定义123多线性函数、多线性映射 设H1…Vk,W是域K上的线性空间,由设f是从笛卡尔乘积Vx…×V到W的一个 集合间的映射,满足如下条件:V2,H∈K,v,l≤i≤k,有 f(a1…,ar+B,…,∝k)=Af(a1,…,a1,…,a)+Hf(a1…,B,…,ak) 即映射∫对每个变元a1∈V来说都是线性的,则称∫是从V×…×V到W的一个多线性映 射 当k=2时,也称∫是双线性映射

第二学期第二十七次课 第十二章 张量积与外代数 §1 多重线性映射 12．1．1 线性空间的一组基的对偶基的定义 定义 12.1 对偶空间 设 v 是 k 上 n 维 线 性 空 间 ， 1 2 , ,..., n    是 v 的 一 组 基 ， 则 线 性 函 数 f :V  K(K为数域) 被 f 在此组基下的映射法则决定，即 1 2 ( ), ( ),..., ( ) n f  f  f  已给定。 现设V 内全体线性函数组成的集合为 * V ，则在 * V 内定义加法与数乘如下： * * (i) , ,( )( ) ( ) ( ); (ii) , ,( )( ) ( ). f g V f g f g f V k K kf kf             则 * V 关于上述加法、数乘组成 K 上的线性空间，称为V 的对偶空间，记作 (V,K) . 定义 12.2 对偶基 假设同定义 12.1，定义V 内 n 个线性函数 ( ) ( , 1,2,..., ) i ij ij f    i j  n (由前面的知识，不难知 ( ) i f  知存在且是唯一的)，则 1 2 , ,..., n f f f 构成 * V 的一组基，称这 组基为V 内 1 2 , ,..., n    则组基的对偶基。（事实上，我们很容易说明 1 2 , ,..., n f f f 线性无关， 再 * f V 均可被 1 2 , ,..., n f f f 线性表出。） 12．1．2 线性空间的多线性函数、多线性映射的定义（双线性函数的推广） 名词 笛卡尔乘积 设 1 2 , ,..., A A Ak 是 k 个非空集合，定义一个新集合如下： 1 2 1 2 {( , , , ) | }. A A Ak k i i    a a  a a  A 这个新的集合称为集合 1 2 , ,..., A A Ak 的笛卡尔乘积。 定义 12.3 多线性函数、多线性映射 设 1 ,..., , V Vk W 是域 K 上的线性空间，由设 f 是从笛卡尔乘积V1 Vk 到W 的一个 集合间的映射，满足如下条件：,  K,i,1 i  k ，有 1 1 1 ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ), i i k i k i k f          f        f      即映射 f 对每个变元i Vi 来说都是线性的，则称 f 是从V1 Vk 到W 的一个多线性映 射。 当 k  2 时，也称 f 是双线性映射

如果W=K,则称∫为定义在集合H×…×V上的多重线性函数。 当k=2时,也称∫是定义在1x…×V上的双线性函数 §2线性空间的张量积 12.2.1域K上的二线性空间的张量积的定义(归纳地有多个张量积的定义 定义124设V1V2W是域K上的线性空间。彐双线性映射q,V1V2W, 如果对任意双线性映射a:H×H2→U(U为域K上的任意线性空间),都有唯一的线性映 射v:W→>U时的下图表交换 W 亦即G=v,则称(W,q)为H×V2的张量积,简记为W,或更多的时候记作vH2 定理域K上的二线性空间的张量积存在,并且在同构意义下是唯一的 证明取V得一组基E1…,En,V2的一组基m,…,n,取m个文字 51,5my,1,5m,令W为{5n}生成的k一线性空间,即W=∑k15|k∈K}(线 性的定义W上的加法和数乘) 令q:H1x2→形即∑k,∑1n)→∑k5,易验证是双线性映射 对于任一双线性映射a:V1×V2→>U由 W U可(,7) 得:v:5b(E,m),则对于任一(a,B)∈Wx2(设a=∑k,B=∑1),有

如果W  K ，则称 f 为定义在集合V1 Vk 上的多重线性函数。 当 k  2 时，也称 f 是定义在V1 Vk 上的双线性函数。 §2 线性空间的张量积 12．2．1 域 K 上的二线性空间的张量积的定义（归纳地有多个张量积的定义） 定义 12.4 设 1 2 V ,V ,W 是域 K 上的线性空间。 1 2 ,V V W  双线性映射   ， 如果对任意双线性映射 1 2  :V V U （U 为域 K 上的任意线性空间），都有唯一的线性映 射 :W U 时的下图表交换： 亦即  ，则称(W,) 为V1 V2 的张量积，简记为W ，或更多的时候记作V1 V2 。 定理 域 K 上的二线性空间的张量积存在，并且在同构意义下是唯一的 证 明 取 V1 得 一 组 基 1 ,..., m   ， V2 的 一 组 基 1 ,...,  n ， 取 mn 个 文 字 11 1 ,..., ,..., ,..., n ij mn     ，令W 为{ }ij  生成的 k  线性空间，即W = , { | } ij ij ij i j k  k K （线 性的定义W 上的加法和数乘）。 令 1 2  :V V W 即 , ( , ) i i j j i j ij i j k  l   k l  ，易验证 是双线性映射。 对于任一双线性映射 1 2  :V V U 由 得： : ( , );  ij i j     则对于任一 ! 2 (,  )V V , （设 , i i j j   k    l  ），有   W U     W U   ij  ( , )  i j  

v(q(a,B)=v(∑=∑kW(5)=∑k0(Enn,) a(∑k,∑1m)=a(a,B) 所以,四=σ,即上图可交换,v的唯一性来源于图的可交换性,这就证明了(W,)是 张量积。 下面说明张量积的唯一性。设(W",q)是V,H2的张量积,则由张量积的定义 由上图不难得出:vov=ld,同理vov'=lid,所以W≡W 以后我们以 ×V2→H⑧V2 (a,B)a⑧B 记V和V2的张量积,简记为V⑧V2

, , , ( ( , )) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) i j ij i j ij i j i j i j i j i j i i j j i j k l k l k l k l                            所以，  ，即上图可交换， 的唯一性来源于图的可交换性，这就证明了 (W,) 是 张量积。 下面说明张量积的唯一性。设(W ,) 是 1 2 V ,V 的张量积，则由张量积的定义 由上图不难得出：  id ，同理   id ，所以W  W  。 以后我们以 1 2 1 2 : ( , )  V V V V          记V1和V2 的张量积，简记为V1 V2 。 V1 V2 W W ' W  '    ' 