第五讲曲面论(二) Gauss- Bonnet公式 2001年11月23日 1曲面论发展的简介 很高兴又与大家见面了.我在医院里住了几天,你们可以看出来我还没 有完全好,不过我觉得我还是跟大家讲讲这些东西.那么,我今天要讲的 是 Gauss-Bonnet公式.这个公式有相当的意义,也有相当的历史,尤其跟我 个人的工作也有关系,所以我要提一提我跟这个问题是怎么样的关系.我 们上次讲到曲面论,曲面论是微分几何里头最重要的一部分.因为许多微 分几何的现象在在3维空间里的2维曲面的情况已经产生了.同时,因为它 是在3维空间里头,这个几何的情况是可以看见的,不是完全用代数来表示 曲面论有很长的历史,最早的当然是 Monge. Monge是法国的大数学家,他 老先生对政治有些活动,所以他除了做大学教授之外,他对法国的教育有 很多影响.他是拿破仑底下的一个雇员,帮助拿破仑做事,他是拿破仑政府 的海军部长,甚至还跟着拿破仑去埃及打仗.因为他的影响,法国的高工学 校( Ploytechnique)就建立起来了.很长一段时期,法国最好的学生都在高工 学校.我想高工学校也许象现在的清华,有许多好的学生,例如说,法国一个 最大的数学家 Poincare就是 Ploytechniquel的学生. Monge是第一个写关于 微分几何书的人,他的书就叫做《微积分在几何上的应用》,这也是我要讲 的题目.因此,法国的教育在微分几何有一个相当的传统除了 Monge本人 之外,由于他在高工的影响,他有很多学生,都是在微分几何有相当贡献的 人.然后在微分几何逐渐发展之中,比较晚一些的是法国另外一个大数学 家 Darboux. Darbo ux是法国科学院的秘书长,所以在他的时期,他是在科 技界有很多影响的一个人.他不仅是秘书长,也是巴黎大学理学院的院长 他的最大的工作是四本《曲面论》.我想,这四大本是数学文献里头永远的 个文献.现在可惜由于它是法文的,很多人不看这个书,我想这些人对微
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分几何缺少一点了解,他们应该看这个书. Darboux的书讲得非常好,包括了 很多材料.在1941相,我在西南联大教书,教《微分几何》,也讲到曲面论 讲到曲面论时,当然就看 Darboux的书,就想到 Darboux的书里头,一个主要 的方法是用活动标架,也就是采用活动标架法.他用得非常彻底,做得非常 之漂亮. Darbon稍微不用的一点是他不用外微分,我想,我的课是讲微积 分,而微积分你要讲到多元,多变数的时候,这个外微分不能避免.这是因为 在多变数的时候,最有效的工具是外微分.外微分可以加,减,可以乘,可以 微分,所以有很多代数的运算可以用到外微分,同时,一个外微分也是一个 式子,这个式子给予很多数学问题,不管是它的几何,还是它的分析,都给你 很多材料,因此是非常有用的. Darboux的缺点是他没有用外微分.他用活 动标架法,但是没有外微分.因此,有很多工 作,不用外微分,怎么办呢?他也是还要用微积分的,不用外微分,他 用偏微分.用偏微分比外微分差得多了.因为你的曲面是2维的空间,所以 对于两个变数,即曲面的参数u,U,你要对u求偏微分,对u求偏微分,这里头 有很多偏微分,而用外微分就简单多了.但是他不采用外微分,这是很奇 怪的事情. Darboux是发现一次外微分式的第一人.一个是 Darboux,一个 是 Frobenius,他们两个人最那发现这个东西的,但是等到应用到曲面研究的 时候,不知道为什么,他没有用.也底是由于传统的关系,他写了外微分之 后,谁都不懂了,所以他不用外微分了.我刚才讲了,在1941相,我刚巧在昆 明教这个课,我很自然地想,为什么不用外微分呢?所以我就用外微分想法 子做 Darboux所做的工作,或者说至少做曲面论和一些几何的讨论.我采用 外微分,因此我得到一个很好的了解 2曲面论基本内容的回顾 什么叫外微分呢?就是你发现要研究曲面的话,曲面是一个2维的流形,它在 普通空间里头是2维的,所以它上头任意一个点是两个变数,通常就叫做参 数.但是现在呢,我们就叫它局全坐标u,v.因此它的坐标是2个变数的函数 所以是这个条件使它在每一点有一个切平面这个切平面当然很要紧,因为 2
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我们没有法子研究复杂的图形.我们只能研究最简单的如直线,平面这些东 西.切平面跟曲面有最密切的关系.那么,单说密切的关系不够,一定要解析 地能够解决比较更深刻的一些问题.有一个切平面,在这个切平面上是2维 的,于是每一点就有许多矢量,也就是切矢量.切矢量就是跟这个曲面相切 的矢量.因为这个曲面是在 Euclid空间里头,所以我可以讲这个矢量的长度 为简单起见,我限于讨论长度等于1的矢量,即单位矢量,所以有一圈单位 切矢量.跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量,我们假定它是取成单位 的,那么这个矢量我们叫做单位法矢量.要注意的是这里就有一个几何现象 发生了,因为假使这个曲面弄平了的话,单位法矢量可以向上走,也可以向 下走换句话说,这个曲面除了是一个2维的流形之外,它还有一个定向:在 曲面上你是顺方向转,还是跟逆方向转,这个转动是很不一样的.所以,你要 定怎么样子转动是顺方向,这就是要给曲面一个定向.定向有了之后,它的 单位法矢量就定了.单位法矢量在这个方向可以向上走,也可以向下走定 了一个之后,这个曲面也就定向了.这是很重要的一个观念.虽然相差的只 是一个符号,但是这是一个很重要的观念. Mobius是德国伟大的几何学家 因为你要定向, Mobius发现有些曲面不能定向,这当然是很有意思的一件事 情.你们大家都知道的这个图形:就是拿一张纸,你把它转一圈连起来的话, 就得到所谓的 Mobius曲面,它没法子定向.这是几何上很有意思的一件事 情.那么我们假定曲面已经确定了一个方向.有了这样定向的曲面之后,几 何情况是怎么样的呢?由单位法矢量e3,其中e3是在3维空间,你发现有一件 事实,就是说你单独讨论曲面不够,你一定要利用曲面上的单位切矢量,我 叫这个单位切矢量为e1.这样我就有了一个标架,它有了第一个单位矢量和 第三个单位矢量.如果空间是定向的,第二个单位矢量e2=e3×e1也就完全 确定了.所以我就有个单位标架.单位标架就是三个单位矢量按照一定的 次序,是互相垂直的.为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要?就是 因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质,而这运动群 就是标架所成的空间.因为是有一个并且只有一个运动把一个标架变为其 它的标架至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对应,不但是 一对应,而且对应保持拓扑和一切的性质,所以运动群很要紧.因为空讲的
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运动不知道在解析的情况之下如何可以处理,而了标架之后,就可以处理了 标架就是矢量了,而矢量一般是有3个分量的矢量,而每一个分量是函数,就 可以把它微分,加,减什么的.矢量有加,减的运算,也有微分的运算.在某 种意义下,还可以有积分的运算.所以我现在就可以微分.我研究曲面的 时候,不只一个标架,那么在曲面的每点,这样的标架有多少呢?假使你晓 得e1的话,同时这个曲面是定向的,这个标架就完全定了.e1是什么呢?e1是 这个曲面在这一点的单位切矢量,那么这个曲面有多少单位切矢量呢?每点 有一圈在切平面上头等于单位矢量,而曲面是2维的,所以它们所成的空间 是3维流形.这是因为这个点是在曲面上移动,是2维的,现在在点定了之后, 单位切矢量可以绕着它转一圈,成一个圆周,所以它是又加一维,是3维.这 个3维空间非常要紧.我想现在实际上,你们要了解微积分或者了解跟微积 分下去的数学或者在数学中的应用,这个情况是最简单的,同时是最有用的 所以我有一个3维空间,由于每一点有个圆周,现在有个名字叫做圆丛,或者 圆周丛,丛是 bundle.所以你要研究曲面的几何性质,用这个解析的方法, 定要讨论它的圆丛.讨论圆丛了之后,一切都简单了.因为一切都是矢量 而是矢量的话,它有分量,就可以微分,就可以用代数或者微分的运算.我 们是在讨论微积分,我们假定碰到什么函数都可以微分.我叫在这个曲面上 的点为x,那么dx是一个矢量,就是从原点连着这个点的矢量.x是u,的函 数,而u,v是曲面上的局部坐标,所以你可以写出dx:假使x限制在曲面上 那么dx一定是e1与e2的线性组合,所以在这个地方,我就充分利用外微分的 观念.实际上dx是一个矢量值的一次微分式,所以它是e1与e2的线性组合, 它的组合系数是一次微分式,所以dx可以写为 dr=wiel+woe, (dax,dx)就是我们曲面的黎曼度量.因为e1,e2是互相垂直的单位矢量,所以 就是黎曼度量.如果这个清楚了,这对于普通讲微分几何简单多了.因 为普通微分几何,黎曼度量要写成 giidaidr,这是因为在切空间里所利用
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的坐标是候意的 Ca rtesian坐标,它不一定垂直,也不一定是单位.dx等 于u1e1+w2e2,但是我们外微分有个基本的性质,就是再用一次的话,它等 于0.这就是普通说的偏微分可以是交换的条件,一样的,也就是得到的偏微 分与微分的次序无关.所以你就把d到dx上头,一定等于0.你把右边展开 的话,就得到d(ue)+d(u2e2),独意当外微分前面有一个一次因式的话,微 分第二个因子要改号.也而言之,可以得到 du1=-2∧w12;d2=u1∧u12 0=du3=a1∧u13+u2∧w23 (5.4 我会在下面给出12,13,u23.既然用微积分了,所以可以把(re1e2,e3)的微 分表么e,e2,e3的线性组合.这个线性组合把de写成ey现在我用微分几 何普通的符号:假使有一个指数要重复的话,就表示相加,,j,k从1到3.你 把de;写成e,ω的几何意义很明显:你现在有一组标架,这组标架跟 组参数有关系,而对于这一组标架,就有一个邻近标架,这个邻近标架跟原 来标架的关系就是u这关系是由一次微分式来表示的.因此就有 ej 这组方程式很要紧,它就表示两个邻近标架互相的关系.在这个函况之下, 微分几何跟力学不大一样,力学往往变数是时间,所以一个标架跟着时间在 移动,因此你整个标架只有一个变数,都是时间t的函数.现在我们是一个曲 面,每点有许多标架,所以我这标架的参数是3.这是因么有切面的局部坐 标,又有切矢量在平面里头变换的坐标,所以我现在这个要变数是3,还因 么E这空间是3维的.要变数高了,所以这是有原因使得外微分有效.我们已 将de写成方程(5.5).ω对于i,j是反对称的,这是因么我的标架是单位标架 即因么(e,e)=6,所以它是反对称的.因此线际上很简单:你把(c)写 出来,它是一个方阵.这个方阵是反对称的,所以在对角线的u等于0,其余 的对着对角线是反对称的,因此线际上只有3个一次微分式:12,13,23 我想我上次德明了ω12由du1,du的方程(5.3)完合确定,这是一个重要的定 5
④✰✮✹⑧❄④Ca rtesian✰✮, ➬❳✘➼✒❺, ✎❳✘➼✹❭➔. dx ⑧ ➉ω1e1 + ω2e2, ❜✹➲➣✐❻■❿➬äý④✉➓, Ò✹ò⑦✘✬④➏, ➬⑧ ➉0. ❨Ò✹✃✴⑨④➔❻■✱✶✹❜➛④✣●, ✘ø④, ✎Ò✹③t④➔❻ ■➛❻■④✬➇➹✞. ➘✶✜Ò➨d⑦tdxÞ❃, ✘➼⑧➉0. ✜➨➁✣✵✌ ④➏, Ò③td(ω1e1) + d(ω2e2), Õ❄❤✐❻■✄➪❿✘➬✘✬❖✯④➏, ❻ ■➅✓➬❖✝✞➉❘. ✎✌Ó❷, ✱✶③t dω1 = −ω2 ∧ ω12; dω2 = ω1 ∧ ω12. (5.3) 0 = dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23. (5.4) ➲❒ó✆➪➱ñω12, ω13, ω23. ✑❧⑦❻è■ê, ➘✶✱✶➨(xe1e2, e3)④❻ ■✱➃e1, e2, e3④✧✉✜❭. ❨➬✧✉✜❭➨dei❯➘ωijej . ✙ó➲⑦❻■✁ ❬✃✴④♥❘: ✧✫❿✘➬➁❥✞➢❹④➏, Ò✱✰★✜, i, j, k✱1t3. ✜ ➨dei ❯➘ωijej , ωij④✁❬❄❇✐Ò✗: ✜✙ó❿✘✜✮✪, ❨✜✮✪❐✘ ✜❦❥❿✞ø, ✌é➉❨✘✜✮✪, Ò❿✘➬ù↔✮✪, ❨➬ù↔✮✪❐➷ ✉✮✪④✞øÒ✹ωij . ❨✞ø✹❸✘✬❻■✯✉✱✰④. ❖✩Ò❿ dei = ωijej . (5.5) ❨✜✵➬✯✐✞➏, ➬Ò✱✰Ü➬ù↔✮✪➄★④✞ø. ó❨➬❁❨❷✆, ❻■✁❬❐➴➛❳▲✘ø, ➴➛⑨⑨★❥✹✣✲, ➘✶✘➬✮✪❐ø✣✲ó ★➘, ❖✩✜r➬✮✪➄❿✘➬★❥, Ñ✹✣✲t④❁❥. ✙ó➲➣✹✘➬▼ ➪, ➎➎❿➂õ✮✪, ➘✶➲❨✮✪④❦❥✹3. ❨✹❖➃❿★➪④Û❭✰ ✮, ➅❿★✪Þó➨➪➦❃★➛④✰✮, ➘✶➲✙ó❨➬✞★❥✹3, ↕❖ ➃E ❨✽✲✹3➅④. ✞★❥➦ê, ➘✶❨✹❿➷❖✫③✐❻■❿❍. ➲➣✳ ❘dei ❯➘✵➬(5.5). ωijé➉i, j✹✬é➪④, ❨✹❖➃➲④✮✪✹❭➔✮✪, ý❖➃(ei , ej ) = δij , ➘✶➬✹✬é➪④. ❖✩ωij✧✓Þ✐❀❭: ✜➨(ωij )❯ ñ✉, ➬✹✘➬✵❥. ❨➬✵❥✹✬é➪④, ➘✶óé♥✧④ω⑧➉0, Ù➏ ④éøé♥✧✹✬é➪④, ❖✩✧✓Þ➄❿3➬✘✬❻■✯: ω12, ω13, ω23. ➲✳➲Þ✬②Òêω12❸dω1, dω2④✵➬(5.3)q❭❤➼, ❨✹✘➬➢✞④➼ 5
理,这是使得Levi- Civita出名的重要定理.我现在平方程(5.5)求外微分.因 为d(de)=0,所以右边的话,我就得求dy,结果得到的是 dw a= Wik Awkj (5.6) 因此这些u之间有很简单的关系,简单得不得了.因为什么呢?因为对 于d=∧ωk,i,j是不相等的.如果相等了的话,i是0,这是因为是 反对称的,所以你取≠j.如果k等于i,则=0k要等于j,幼方=0.所以k 不等于i,不等于j.因为我们是在3维空间,k只有一它可能性.因此这它看着 很神奇的方程式,它的右边只有一项,我上次平它写下来了,就是 du12=u13∧u32 (57) du13=u12∧u23 (5.8) du23=u21∧a13. 尤其是得到d12=a13∧w32这它公式.但是u是反对称的,所以就得到 du12=-u13∧u23 而u13,23都是a1,w2的线性组合 W13= aw1+bw2, W23=bw1 +cwi 5.11 这刚巧就得到下面这它公式 dw12 =-w13 A w23=-Kwi Aw2 K是Gaus曲率,Gaus曲率就是K=ac-b2.这它公式不得了.当变Gaus不 是这样得到这它公式,是用旁的方法得到公式.它叫做 Theorem egregium 用中文讲,它是一它奇妙的定理,妙的定理.你细细看看它,它是很妙的.因 为我们的E是单位矢量丛,它这它圆周丛对于曲面M有一它投影:对于圆周 从,有这它单位矢量,我取它的原点就是它的投影.因此我们现在的几何比 从前观念上比较复杂了,就是说,不只是有一它曲面或者有一它曲线,现在
➤, ❨✹✫③Levi-CivitañÖ④➢✞➼➤. ➲✙ó➨✵➬(5.5)❋✐❻■. ❖ ➃d(dei) = 0, ➘✶➁✣④➏, ➲Ò③❋dωij , ❼✯③t④✹ dωij = ωik ∧ ωkj . (5.6) ❖✩❨❏ω❷✲❿✐❀❭④✞ø, ❀❭③❳③ê. ❖➃✤➃✑?❖➃é ➉dωij = ωik ∧ ωkj , i, j✹❳★⑧④. ➌✯★⑧ê④➏, ωii ✹0, ❨✹❖➃ω✹ ✬é➪④, ➘✶✜❘i 6= j. ➌✯k⑧➉i, ☛ωii = 0; k✞⑧➉j, ωjj = 0. ➘✶k ❳⑧➉i, ❳⑧➉j. ❖➃➲➣✹ó3➅✽✲, k➄❿✘➬✱✕✉. ❖✩❨➬✗ø ✐Û④✵➬✯, ➬④➁✣➄❿✘✶, ➲Þ✬➨➬❯✆✉ê, Ò✹ dω12 = ω13 ∧ ω32. (5.7) dω13 = ω12 ∧ ω23. (5.8) dω23 = ω21 ∧ ω13. (5.9) ❷Ù✹③tdω12 = ω13 ∧ ω32❨➬Ú✯. ❜✹ω ✹✬é➪④, ➘✶Ò③t dω12 = −ω13 ∧ ω23. (5.10) ✌ω13, ω23Ñ✹ω1, ω2④✧✉✜❭: ω13 = aω1 + bω2, ω23 = bω1 + cω2. (5.11) ❨➛✜Ò③t✆➪❨➬Ú✯: dω12 = −ω13 ∧ ω23 = −Kω1 ∧ ω2. (5.12) K✹Gauss▼●, Gauss ▼●Ò✹K = ac−b 2 . ❨➬Ú✯❳③ê. ❤★Gauss❳ ✹❨ø③t❨➬Ú✯, ✹⑦❦④✵✛③tÚ✯. ➬✇✮Theorem Egregium, ⑦➙➞❨, ➬✹✘➬Û➱④➼➤, ➱④➼➤. ✜ûû✗✗➬, ➬✹✐➱④. ❖ ➃➲➣④E✹❭➔✪Þ✲, ➬❨➬❐➧✲é➉▼➪M ❿✘➬❂❦: é➉❐➧ ✲, ❿❨➬❭➔✪Þ, ➲❘➬④➷➎Ò✹➬④❂❦. ❖✩➲➣✙ó④✁❬✞ ✱✄✡✬Þ✞✈❹ìê, Ò✹⑨, ❳➄✹❿✘➬▼➪Ý❱❿✘➬▼✧, ✙ó 6
有两个空间:有E这个空间和曲面M.事实上,有了曲面M,然后有由所有它 的单位矢量所成的空间是E,它是曲面的圆周丛.现在通常叫这个曲面是底 空间,它是在底上的一个空间.所以就有一个3维的圆周丛,它的底空间是我 们的曲面.在这个情况之下,我们有几个一次微分式:在空间里头有一次微 分式u1,w2,然后有12,13,23,一共5个一次微分式,其中u3,u23是u1,w2的 线性组合(公式(5.1),它表示曲面的几何性质.我们有 第一基本式I=ds2=(dx,dr)=u2+u2; 第二基本式Il=(-dx,de3)=u∧u13+uAu23 也就是u1∧u13加上u2∧23是曲面所谓的第二基本式.第一基本式是u+u2, 是两个变数u1,的平方和.第二基本式对于第一基本式有特征值,特征值的 代数和一般叫做中曲率H=",特征值的积就是Gas率,所以Gaus曲 率是ac-b2.而我们现在有一个奇妙的公式就是du12=-Ku1∧u2.在这 个公式右边,边1A就是曲面的面积元素,它当然只跟曲面的度量有关,与 它的位置没有关系,只跟曲面的第一基本式有关.在它的左边,u12是我们 的Levi- Civita联络,由于右边由第一基本式完全确定,所以左边也是只与第 基本式有关,因此我们知道Gaus曲率只跟第一基本式有关.这是 Gauss非 常得意的结果 3 Gauss- Bonnet公式 我们可以由du12=-Ki1∧w2得出来Gaus有名的这个定理.我现在说, Gauss-Bonnet公式也立刻就由这个公式得出来.那么,当年我也这么想,因 为假使你有一个封闭的曲面,有了这个 Gauss率乘以面积元素,你当然很 自然地问它的积分是什么:有一个面积元素乘以一个函数(Gas曲率),把 它在曲面上积一遍得出的数是不是跟这个曲面的几何有关?那么,这个就 是 Gauss-Bonnet公式:M是封闭的定向曲面,则 1 KdA=X(M) 7
❿Ü➬✽✲: ❿E❨➬✽✲❩▼➪M. ✴✧Þ, ❿ê▼➪M, ❧⑨❿❸➘❿➬ ④❭➔✪Þ➘➘④✽✲✹E, ➬✹▼➪④❐➧✲. ✙ó✴➒✇❨➬▼➪✹➂ ✽✲, ➬✹ó➂Þ④✘➬✽✲. ➘✶Ò❿✘➬3➅④❐➧✲, ➬④➂✽✲✹➲ ➣④▼➪. ó❨➬❁❨❷✆, ➲➣❿✁➬✘✬❻■✯: ó✽✲➦❃❿✘✬❻ ■✯ω1, ω2, ❧⑨❿ω12, ω13, ω23, ✘á5➬✘✬❻■✯, Ù➙ω13, ω23✹ω1, ω2④ ✧✉✜❭(Ú✯(5.11)), ➬✱✰▼➪④✁❬✉➓. ➲➣❿ ➅✘äý✯ I = ds2 = (dx, dx) = ω 2 1 + ω 2 2 ; (5.13) ➅✓äý✯ II = (−dx, de3) = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = aω2 + 2bω1ω2 + cω2 2 . (5.14) ✎Ò✹ω1∧ω13 ✜Þω2∧ω23✹▼➪➘➣④➅✓äý✯. ➅✘äý✯✹ω 2 1+ω 2 2 , ✹Ü➬★❥ω1, ω2④➨✵❩. ➅✓äý✯é➉➅✘äý✯❿✁♥❾, ✁♥❾④ ❙❥❩✘➘✇✮➙▼●H = a+c 2 , ✁♥❾④èÒ✹Gauss▼●, ➘✶Gauss▼ ●✹ac − b 2 . ✌➲➣✙ó❿✘➬Û➱④Ú✯Ò✹dω12 = −Kω1 ∧ ω2. ó❨ ➬Ú✯➁✣, ω1 ∧ ω2 Ò✹▼➪④➪è➹↔, ➬❤❧➄❐▼➪④ÝÞ❿✞, ➛ ➬④➔➌➊❿✞ø, ➄❐▼➪④➅✘äý✯❿✞. ó➬④✫✣, ω12 ✹➲➣ ④Levi-Civita➱❞, ❸➉➁✣❸➅✘äý✯q❭❤➼, ➘✶✫✣✎✹➄➛➅ ✘äý✯❿✞, ❖✩➲➣⑧✇Gauss▼●➄❐➅✘äý✯❿✞. ❨✹Gauss✿ ➒③❄④❼✯. 3 Gauss-BonnetÚ✯ ➲➣✱✶❸dω12 = −Kω1 ∧ ω2 ③ñ✉Gauss❿Ö④❨➬➼➤. ➲✙ó⑨, Gauss-Bonnet Ú✯✎➪✴Ò❸❨➬Ú✯③ñ✉. ➃, ❤★➲✎❨➃✳, ❖ ➃✧✫✜❿✘➬❯✔④▼➪, ❿ê❨➬Gauss ▼●➷✶➪è➹↔, ✜❤❧✐ ✞❧➃➥➬④è■✹✤➃: ❿✘➬➪è➹↔➷✶✘➬❁❥(Gauss▼●), ➨ ➬ó▼➪Þè✘✭③ñ④❥✹❳✹❐❨➬▼➪④✁❬❿✞?➃, ❨➬Ò ✹Gauss-BonnetÚ✯: M✹❯✔④➼✺▼➪, ☛ Z Z KdA = 1 2π χ(M). (5.15) 7
在我们这个公式中,我们把A2叫面积元素,我们也可以叫它做dA, KdA就是这个积分.你立刻就想:我们在封闭的曲面,所以如果有一个积 分,它可以写所d什么的,那么它的积分在应该是在曲面的时界上,可以变 为一个时界积分,这是我开始讲的 Stokes定理主要的部分.所以会不会由 这个得到Gaus曲率的积分是0.这看然是错误的,Gaus率积分不会等 于0,这是因为你取一个2维的球面,它可以取一般的度量使它的Gaus曲率 等于1,那么在曲面上的积分当然不会等于0.所以这个道理是错误的.当 年因此我想错在什么地方.错在我们这个公式du12=-KdA不是在曲面上, 是在圆周丛上头.这个曲面是在圆周丛上,所以我需要把这个曲面提高到 圆周丛上头,提高是什么意思呢?就是在每一点你取这个点作为原点的单 位切矢量.所以换句紧说,我们一般叫这个为矢量场,因此你在一个2维流 形上面要取一个矢量场,这个矢量是单位矢量跟曲面相切,即为单位矢量 场,这是不是可能?随便任给你一个曲面,你能不能每点指定一个单位切 矢量,或者切矢量,使得它是连续的,甚至是可以微分的.这样的矢量场不 定有,这是一个拓扑的定理.整个的这一段的发展是曲面论,或者是整 体曲面论跟曲面的度量这种种的关系在差不多100年前是主要的问题.那 个时候最主要的杂志是《 Mathematische annalen》,全世界数学的中心是 在德国.《 Mathematische annalen》上头关于这个问题有很多文章.那时 候, Einstein是《 Mathematische annalen》的一个什辑.这个问题完全搞清 楚了需要一些时间.那么活中有一个因素是假使你有一个封闭的曲面,你 取每点的并且定向的单位法矢量,即取每点确定的单位法矢量,把它映射 到单位球上去,这个通常叫做Gaus映射.所以Gaus映射把你的曲面映射 到单位球上去,这样就把一个2维曲面映射到另一个2维曲面,两个都是定向 的,于是这里就有一个拓扑不变式,叫做 Mapping degree,即映射的次数.在 平面的情形,你有一条曲线,所以单位球就是单位圆,那么你把这条封闭的 曲线映射到单位圆上头,究竟它转了多少圈呢?这就是 Mapping degree(映射 的次数).这个定义在高维,甚至是2维就不这么简单了.看然,我们把曲面 映射到单位球上头,然后取单位球上头的面积元素,这就是 Gauss曲率,所 以这个映射就等于 Gauss曲率的积分,把这个对面空间的面积元素用映射拉
ó➲➣❨➬Ú✯➙, ➲➣➨ω1 ∧ ω2 ✇➪è➹↔, ➲➣✎✱✶✇➬✮dA, KdAÒ✹❨➬è■. ✜➪✴Ò✳: ➲➣ó❯✔④▼➪, ➘✶➌✯❿✘➬è ■, ➬✱✶❯➘d✤➃④, ➃➬④è■ó❛➈✹ó▼➪④✣➂Þ, ✱✶★ ➃✘➬✣➂è■, ❨✹➲✌✮❨④Stokes➼➤❒✞④❭■. ➘✶❒❳❒❸ ❨➬③tGauss▼●④è■✹0 . ❨✗❧✹❋Ø④, Gauss▼●è■❳❒⑧ ➉0, ❨✹❖➃✜❘✘➬2➅④❊➪, ➬✱✶❘✘➘④ÝÞ✫➬④Gauss▼● ⑧➉1, ➃ó▼➪Þ④è■❤❧❳❒⑧➉0. ➘✶❨➬✇➤✹❋Ø④. ❤ ★❖✩➲✳❋ó✤➃➃✵. ❋ó➲➣❨➬Ú✯dω12 = −KdA❳✹ó▼➪Þ, ✹ó❐➧✲Þ❃. ❨➬▼➪✹ó❐➧✲Þ, ➘✶➲❽✞➨❨➬▼➪✡➦t ❐➧✲Þ❃, ✡➦✹✤➃❄❻✑? Ò✹ó➎✘➎✜❘❨➬➎✯➃➷➎④❭ ➔★✪Þ. ➘✶➛é➏⑨, ➲➣✘➘✇❨➬➃✪Þ➐, ❖✩✜ó✘➬2➅✖ ♦Þ➪✞❘✘➬✪Þ➐, ❨➬✪Þ✹❭➔✪Þ❐▼➪★★, ý➃❭➔✪Þ ➐, ❨✹❳✹✱✕? ➧✧⑧➱✜✘➬▼➪, ✜✕❳✕➎➎➁➼✘➬❭➔★ ✪Þ, Ý❱★✪Þ, ✫③➬✹❐➍④, ☎➊✹✱✶❻■④. ❨ø④✪Þ➐❳ ✘➼❿, ❨✹✘➬❴➚④➼➤. r➬④❨✘ã④✕✵✹▼➪❳, Ý❱✹r ✍▼➪❳❐▼➪④ÝÞ❨➠➠④✞øó❿❳õ100★✄✹❒✞④➥☛. ➬✣⑧✦❒✞④ì➇✹✕Mathematische Annalen✖, ❭✲➂❥➛④➙❡✹ ó②✮. ✕Mathematische Annalen✖Þ❃✞➉❨➬➥☛❿✐õ➞✾. ✣ ⑧, Einstein✹✕Mathematische Annalen✖④✘➬✤ö. ❨➬➥☛q❭➫✽ ùê❽✞✘❏✣✲. ➃Ù➙❿✘➬❖↔✹✧✫✜❿✘➬❯✔④▼➪, ✜ ❘➎➎④❄✪➼✺④❭➔✛✪Þ, ý❘➎➎❤➼④❭➔✛✪Þ, ➨➬♥ó t❭➔❊Þ❱, ❨➬✴➒✇✮Gauss ♥ó. ➘✶Gauss♥ó➨✜④▼➪♥ó t❭➔❊Þ❱, ❨øÒ➨✘➬2➅▼➪♥ót☞✘➬2➅▼➪, Ü➬Ñ✹➼✺ ④, ➉✹❨➦Ò❿✘➬❴➚❳★✯, ✇✮Mapping Degree, ý♥ó④✬❥. ó ➨➪④❁♦, ✜❿✘✣▼✧, ➘✶❭➔❊Ò✹❭➔❐, ➃✜➨❨✣❯✔④ ▼✧♥ót❭➔❐Þ❃, ➘➽➬Ýêõè❲✑?❨Ò✹Mapping Degree(♥ó ④✬❥). ❨➬➼❇ó➦➅, ☎➊✹2➅Ò❳❨➃❀❭ê. ✗❧, ➲➣➨▼➪ ♥ót❭➔❊Þ❃, ❧⑨❘❭➔❊Þ❃④➪è➹↔, ❨Ò✹Gauss ▼●, ➘ ✶❨➬♥óÒ⑧➉Gauss▼●④è■, ➨❨➬é➪✽✲④➪è➹↔⑦♥ó♥ 8
元来之后和原来曲面的面积元素一除,即为求它的整个的积分,就得到映 射的 Degree.可以证明这个 Degree在可以定向的曲面的函这下,它是曲面 的 Euler数的2很可惜的,我大概没有时间把这个完合讲完.我想我下次 再详细讲讲.我现在大致讲讲这个证明是怎么样的.显然我们已有基本公 式du12=-KdA.我们还要把曲面放到E上去,所以要定一个单位矢量场 这不一定可天.这样的单位矢量场要有异点,也就是说如果你允许整体单位 矢量场有异点的话,它那是可天的.这也需要证明.有了异点之后,就看这个 异点的性质,比如说,你看看这些单位矢量场,画这儿个图(图略所.这是矢 量场的异点的可天性,可天矢量场有许多不同的方向,但是在异点有时候这 个矢量向外走,也有时候矢量向里走,也有时候就象第三个图,它是跟 双曲线相切.所以讨论矢量场的异点的性质是非常有意思的问题.那么我 在任何曲面一定有一个,并且且不只一个,而是有许多有异点的单位矢量场 在这个函形之下,你要把曲面切成小块,切成一个所谓 complex(复形).你先 定它在顶点,因为所谓的 complex,就是说,有些顶点,有些边,有些面,在顶 点,定一个任何的矢量,那么第二步把这个矢量场延到边.取一个边的话,如 果矢量场已经在顶点确定了,那么很容易看岀来可以把它延到整个的边.现 在是面了:假使是面的话,比方说有个三角形,现在矢量场已经在边上都定 了,是不是天够延长到它的内部,这就不明显了.当然这是一定可以的.假 使你允许它有异点,比方说是一个三角形,那么你就在三角形中间取一点, 然后从这点连到边上,那么这个矢量场就把它延到内部,但是这样定的矢量 场在中间的那点一定是异点,因为中间的那点没法子定一个可以连续的矢 量场,使得每点只有一个矢量.在这一点就没法子定.所以刚才这个理由可 以证明:假使你允许这矢量场有异点,这样的矢量场是存在的.普通一定有 异点,在地球上,要刮风的话,这风跟地球相切的时候,它的方向是个矢量 场,一定有一点没有风,至积有一点而这一点就很复杂了,那么这种样子点 的研究是很有意思,也很要紧的问题.区别矢量场在异点的性质,很简单的 个方法是我们可以在异点定一个整数.这一般就叫做它的指科: I(s)=lim I (5.16)
➹✉❷⑨❩➷✉▼➪④➪è➹↔✘ø, ý➃❋➬④r➬④è■, Ò③t♥ ó④Degree. ✱✶②Ò❨➬Degree ó✱✶➼✺④▼➪④❁❨✆, ➬✹▼➪ ④Euler❥④ 1 2π . ✐✱ê④, ➲▲➊➊❿✣✲➨❨➬q❭❨q. ➲✳➲✆✬ ò✲û❨❨. ➲✙ó▲➋❨❨❨➬②Ò✹✍➃ø④. ✗❧➲➣✳❿äýÚ ✯dω12 = −KdA. ➲➣↕✞➨▼➪✽tEÞ❱, ➘✶✞➼✘➬❭➔✪Þ➐, ❨❳✘➼✱✕. ❨ø④❭➔✪Þ➐✞❿■➎, ✎Ò✹⑨➌✯✜ã➂r✍❭➔ ✪Þ➐❿■➎④➏, ➬✹✱✕④. ❨✎❽✞②Ò. ❿ê■➎❷⑨, Ò✗❨➬ ■➎④✉➓, ✞➌⑨, ✜✗✗❨❏❭➔✪Þ➐, ➌❨✁➬❈➹❈◗➘. ❨✹✪ Þ➐④■➎④✱✕✉, ✱✕✪Þ➐❿➂õ❳✸④✵✺, ❜✹ó■➎❿✣⑧❨ ➬✪Þ✺✐✒, ✎❿✣⑧✪Þ✺➦✒, ✎❿✣⑧Ò✻➅➤➬❈, ➬✹❐✘✘ ✈▼✧★★. ➘✶ÿ❳✪Þ➐④■➎④✉➓✹✿➒❿❄❻④➥☛. ➃➲ ó⑧❬▼➪✘➼❿✘➬, ❄✪✪❳➄✘➬, ✌✹❿➂õ❿■➎④❭➔✪Þ➐. ó❨➬❁♦❷✆, ✜✞➨▼➪★➘❇▲, ★➘✘➬➘➣complex(❹♦). ✜☛ ➼➬ó➸➎, ❖➃➘➣④complex, Ò✹⑨, ❿❏➸➎, ❿❏✣, ❿❏➪. ó➸ ➎, ➼✘➬⑧❬④✪Þ, ➃➅✓❩➨❨➬✪Þ➐Òt✣. ❘✘➬✣④➏, ➌ ✯✪Þ➐✳➨ó➸➎❤➼ê, ➃✐➂✹✗ñ✉✱✶➨➬Òtr➬④✣. ✙ ó✹➪ê: ✧✫✹➪④➏, ✞✵⑨❿➬➤♥♦, ✙ó✪Þ➐✳➨ó✣ÞÑ➼ ê, ✹❳✹✕êÒ➓t➬④✓❭, ❨Ò❳Ò✗ê. ❤❧❨✹✘➼✱✶④. ✧ ✫✜ã➂➬❿■➎, ✞✵⑨✹✘➬➤♥♦, ➃✜Òó➤♥♦➙✲❘✘➎, ❧⑨✱❨➎❐t✣Þ, ➃❨➬✪Þ➐Ò➨➬Òt✓❭, ❜✹❨ø➼④✪Þ ➐ó➙✲④➎✘➼✹■➎, ❖➃➙✲④➎➊✛✝➼✘➬✱✶❐➍④✪ Þ➐, ✫③➎➎➄❿✘➬✪Þ. ó❨✘➎Ò➊✛✝➼. ➘✶➛❜❨➬➤❸✱ ✶②Ò: ✧✫✜ã➂❨✪Þ➐❿■➎, ❨ø④✪Þ➐✹❄ó④. ✃✴✘➼❿ ■➎, ó➃❊Þ, ✞ý❩④➏, ❨❩❐➃❊★★④✣⑧, ➬④✵✺✹➬✪Þ ➐, ✘➼❿✘➎➊❿❩, ➊è❿✘➎. ✌❨✘➎Ò✐❹ìê, ➃❨➠ø✝➎ ④Ï➘✹✐❿❄❻, ✎✐✞➏④➥☛. ❑✴✪Þ➐ó■➎④✉➓, ✐❀❭④ ✘➬✵✛✹➲➣✱✶ó■➎➼✘➬r❥. ❨✘➘Ò✇✮➬④➁✮Õ I(s) = lim 1 2π Z ω1. (5.16) 9
就是说,中间有异点,异点界近的矢量场是完全确定的,所以你在这点画个 小圆周,那么圆周的边界矢量场已经有了,所以你在这一点平它映射到一个 圆周.因地局部的时候,你假定是 Euclid儿何,假定用平行线,你就平它映到 圆周,那么绕圆周是多少次呢?这就是矢量场的指标.下次我证明假使你有 了这些,你就取单位矢量的矢量场,并且平这个曲面提高到E高头,即提高 到圆周世高头,它就变这个曲面地有尖点的既有尖点,又有异点,这个异点 弄上去就是尖点那么这些尖点的指标加在一起就是 Euler常数,就等于这 个积分,即这个积分有意义,它是 Euler常数.我想微积分有一个重要的应用 是在复变函数论.你要讲数,最有意思的数就是复数.很惭愧,我看中国数学 史,中国人太实际了,中国人没有复数.复数要紧得不得了.我要讲一点复 变函数,我要证代数基本定理.复变函数之后,任何代数方程式都有解,这是 不得了的一个结果.这个结果,当年Euer不会证,很多人都证不出来. Gauss 能证明,他是近代最伟大的数学家 10
Ò✹⑨, ➙✲❿■➎, ■➎➂↔④✪Þ➐✹q❭❤➼④, ➘✶✜ó❨➎➌➬ ❇❐➧, ➃❐➧④✣➂✪Þ➐✳➨❿ê, ➘✶✜ó❨✘➎➨➬♥ót✘➬ ❐➧. ❖➃Û❭④✣⑧, ✜✧➼✹Euclid✁❬, ✧➼⑦➨q✧, ✜Ò➨➬♥t ❐➧, ➃✇❐➧✹õè✬✑? ❨Ò✹✪Þ➐④➁✮. ✆✬➲②Ò✧✫✜❿ ê❨❏, ✜Ò❘❭➔✪Þ④✪Þ➐, ❄✪➨❨➬▼➪✡➦tE➦❃, ý✡➦ t❐➧✲➦❃, ➬Ò★❨➬▼➪➃❿✰➎④. ✑❿✰➎, ➅❿■➎, ❨➬■➎ ❆Þ❱Ò✹✰➎. ➃❨❏✰➎④➁✮✜ó✘åÒ✹Euler ➒❥, Ò⑧➉❨ ➬è■, ý❨➬è■❿❄❇, ➬✹Euler➒❥. ➲✳❻è■❿✘➬➢✞④❛⑦ ✹ó❹★❁❥❳. ✜✞❨❥, ✦❿❄❻④❥Ò✹❹❥. ✐♥❝, ➲✗➙✮❥➛ ✩, ➙✮⑤Ô✧✓ê, ➙✮⑤➊❿❹❥. ❹❥✞➏③❳③ê. ➲✞❨✘➎❹ ★❁❥, ➲✞②❙❥äý➼➤. ❹★❁❥❷⑨, ⑧❬❙❥✵➬✯Ñ❿❽, ❨✹ ❳③ê④✘➬❼✯. ❨➬❼✯, ❤★Euler❳❒②, ✐õ⑤Ñ②❳ñ✉. Gauss ✕②Ò, ➷✹↔❙✦➉▲④❥➛✛. 10
