定义1假如对任意a,b,c∈A,都有:(ab)。C=a(b°c),则称集合A的代数运算°满足结合 在A里任意取出个元,a2,“,“来,假如我们写下符号°a2°°ax,这个符号当然也没有意 义。但是假如我们用一个加括号的步骤,当然也会得到一个结果。加括号的步骤自然不止不种,但因为n是 个有限整数,这种步骤的个数总是一个有限整数。假定它是N,我们把由这N个步骤所得的结果用 x1(a1 oo…o 来表示。我们规定 定义2假如对于A的2(22)个固定元,a2,“,a,来说,所有的x(20a209a,都相等,我 们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果,用“1°a2°°ax来表示 定理假定一个集合A的代数运算°适合结合律,那么对于A的任意2(222)个元1,a2,“,a来说 所有的(a2°°a,)都相等:因此符号41a29…a,也就总有意 证明用数学归纳法 显然,若是只看两个元或三个元,定理是对的 假定,若是元的个数 定理是对的。我们说,在这个假定之下,对于一个任意的 来说,(a (1)这一步能够证明,我们的定 理也就证明了。这 是经过一种加括号的步骤所得来的结果,这个步骤的最后一步 总是对两个元进行运算 (a1oa20…oan)=hob2 由归纳法的假定 h1=a1 吗b2=a+1°a (a1°a2o…°a2)=(a1°a20…0a1)(a+1°a1+20…oa2) 假如2=1,那么上式就是(1)式。假定2>1,那么
定义 1 假如对任意 a，b，c A，都有： ，则称集合 A 的代数运算 满足结合 律。 在 A 里任意取出 个元 来，假如我们写下符号 ，这个符号当然也没有意 义。但是假如我们用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果。加括号的步骤自然不止不种，但因为 是 一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数。假定它是 N，我们把由这 N 个步骤所得的结果用 来表示。我们规定： 定义 2 假如对于 A 的 个固定元 来说，所有的 都相等，我 们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果，用 来表示。 定理 假定一个集合 A 的代数运算 适合结合律，那么对于 A 的任意 个元 来说， 所有的 都相等；因此符号 也就总有意义。 证明 用数学归纳法。 显然，若是只看两个元或三个元，定理是对的。 假定，若是元的个数 ，定理是对的。我们说，在这个假定之下，对于一个任意的 来说， （1）这一步能够证明，我们的定 理也就证明了。这一个 是经过一种加括号的步骤所得来的结果，这个步骤的最后一步 总是对两个元进行运算： 由归纳法的假定， ， 假如 ，那么上式就是（1）式。假定 ，那么
(a1 [a1o(a2o…0a1)。(a+10a+2o…a2) =a1°[(a2o…°a1)o(a1+10a+2 0:0 =a1o(a2oa3o…oan) 即(1)式仍然成立。证毕
即（1）式仍然成立。证毕