定义1一个群G的一个子群N叫做一个不变子群或正规子群,假如a∈G,都有M=aN, 例1群G的子群G和{e}总是G的不变子群 例2N刚好包含群G的所有有以下性质的元7 n2a-a,不管a是G的哪一个元 那么N是G的一个不变子群。 因为M3,所以N是非空的。 又=an,n2=02=号4“n2=a na=anena=nann=n-nan-=an-l 这就是说,为2∈M,2∈N→2∈M,n∈M→n∈M 这个不变子群叫做G的中心。 例3一个交换群G的每一个子群H都是不变子群 例4G=3。那么,N={(1),(123),(132)是一个不变子群 定理1一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是: aNa=N 对于G的任意一个元a都对。 证明:aNT=Na→aMa-4=(a=0Na)a-1=l(ax)=e=N na-=n= Na =(aNa )a(an(a a)=ane=aN 定理2一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是:a∈G,n∈=ama∈ 证明:(1 Na,(a Na) nana- (1)和(2) aNa=N
定义 1 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子群(或正规子群)，假如 ，都有 。 例 1 群 G 的子群 G 和{e}总是 G 的不变子群。 例 2 N 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 G 的哪一个元， 那么 N 是 G 的一个不变子群。 因为 ，所以 N 是非空的。 又 这就是说， 这个不变子群叫做 G 的中心。 例 3 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群。 例 4 G= 。那么，N={(1)，(123)，(132)}是一个不变子群。 定理 1 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 对于 G 的任意一个元 都对。 证明： 。 定理 2 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充分而且必要条件是： 证明：(1) (2) (1)和(2)
S=aN, bN, cN (xNON=(X)N 定理3一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群。 证明:L.显然, IL (XNYNEN-[(NEN=(Iz)N XNONZN)=xNLOZ)N]=(Zz)N eNxN=exN= XN 定义2一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号G/N来表示
定理 3 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群。 证明：I.显然， II. IV. V. 。 定义 2 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所作成的群叫做一个商群。这个群我们用符号 来表示