例1我们看一个模P(2是素数)的剩余类环F。我们说,F是一个域 Ipka,p}b→p [a]=[0][b]≠[0]→[a]]≠[0 [a],[b∈砰*→[a[列∈F* Ⅲp|ax-ax=a(x-x),p}a→p|x-x [ax]=[ax].[a]=[0]→[x]=[x] [a[x]=[a[x],[a]∈F*→[x]=[x] 例2假定G=(O),O2一()是两个循环群,b的阶无限,C的阶是n,G同马都是交换群,它 们的代数运算可以用+来表示 1={所有(n2是整数)} b=0,当而且只当=0的时候 k(k是整数); kc=0 而且只当的时候 R=所有符号(2) chb, kc)+(,b, kc)-(h,b+hb, Kc+k Chab, kc)(hb, c)=0 那么2显然作成一个环 个环的元(b,0)对于加法来说的阶是无限大,但元(0,c)的阶是n 定理1在一个没有零因子的环2里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 证明:如果的每一个不等于零的元的阶都是无限大,那么定理是对的。假定R的某一个元a≠0 阶是有限整数n2,而b是R的另一个不等于零的元 (na)b=a(nb)=0 可得
例 1 我们看一个模 ( 是素数)的剩余类环 。我们说， 是一个域。 例 2 假定 是两个循环群， 的阶无限， 的阶是 。 同 都是交换群，它 们的代数运算可以用＋来表示。 ={所有 （ 是整数）}， ，当而且只当 的时候 ={所有 （ 是整数）}, ，当而且只当 的时候 ={所有符号 那么 显然作成一个环。 这个环的元（b,0）对于加法来说的阶是无限大，但元（0，c）的阶是 n。 定理 1 在一个没有零因子的环 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 证明：如果 的每一个不等于零的元的阶都是无限大，那么定理是对的。假定 的某一个元 的 阶是有限整数 ，而 是 的另一个不等于零的元。 可得
所以b 的阶的阶段 同样可得,a的阶二b的阶 所以a的阶=b的阶 定义一个无零因子环的非零元的相同的(对加法来说的)阶叫做环的特征 定理2如果无零因子环的特征是有限整数n,那么是一个素数 证明;假设n不是素数,=另2,”,n2 为24≠0,22=0,(4)(n2)=(2)a2=0 这与环R无零因子矛盾
所以 的阶 的阶段 同样可得， 的阶 的阶 所以 的阶 的阶 定义 一个无零因子环 的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环 的特征。 定理 2 如果无零因子环 的特征是有限整数 ，那么 是一个素数。 证明：假设 n 不是素数， ，但 这与环 R 无零因子矛盾