兰州大学：《矩阵理论》第六讲 标准正交基

矩阵理论-第六讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-1 矩阵理论-第六讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 维复欧氏空间 (酉空间) 完备 Hilber空间 n维复空间Cn n维欧氏空间 内积空间 n维实空间RN了 以 X.x 完备 线性空间 赋予范数 赋范空间 Banach空间 范数在优化问题中的应用 几个重要的不等式 有限维赋范空间的范数特性 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲2

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-2 上节内容回顾 • 范数在优化问题中的应用 • 几个重要的不等式 • 有限维赋范空间的范数特性 • 内积空间的正交性、构造标准正交向量组的方法 内积空间 赋范空间 Hilbert空间 完备 线性空间 n维实空间Rn = = n i i i x y 1 ,  n维欧氏空间 n维复空间Cn n维复欧氏空间  （酉空间） = = n i i i x y 1 ,  Banach空间 完备 x x, x 2 =

标准正交基 Gram- Schmidt正交化定理 设X是内积空间,而{xn:n∈N}是X中线性无关的子集,则存在 标准正交集{enn∈N},使得 Vn∈N,Span{e1,e2,…en}=span{x,x2,…xn} Hilbert空间中完全的标准正交集,称之为标准正交基 标淮准正交集(en}的完全性 标准正交集en}称为是完全的,如果再不能添加元素于其中,使添 加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说,假使这样的元素存在 其必为0,即若x∈X,使ve∈{en},(x,e)=0,则必有 举例 R 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-3 标准正交基 – Gram-Schmidt正交化定理 设X是内积空间，而 是X中线性无关的子集，则存在 标准正交集 ，使得 – Hilbert空间中完全的标准正交集，称之为标准正交基 • 标准正交集 的完全性 标准正交集 称为是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添 加后所得的集合仍是标准正交集。换句话说，假使这样的元素存在， 其必为0，即若 ，使 ， ，则必有 • 举例 {x : n N} n  {e : n N} n  , span{ , , } span{ , , } 1 2 n 1 2 n n N e e e = x x x xX x = 0 { }n e { }n e { } i n e  e x,ei = 0         = 0 1 1 e         = 1 0 2 e 2 R

标准正交基 0 0 0 >R或C′ x∈C″,可由C"的标准正交基{en}的线性组合表示,其中对 应于e的系数为 ei x=(x,ei 又,若y∈C"的在同一标准正交基{en}的线性组合表示中,对 应于e的系数为7,则 71 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲4

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-4 标准正交基 或 – ，可由 的标准正交基 的线性组合表示，其中对 应于 的系数为 – 又，若 的在同一标准正交基 的线性组合表示中，对 应于 的系数为 ，则               = 0 0 1 1  e               = 0 1 0 2  e n R               = 1 0 0  n e n C n C { }n e n xC i e i H i i  = e x = x,e T i H i e = e n y C { }n e j e  j        = = = = = = = = = = n i i i n i i j n j i j n i n j i i j j n j j j n i i i e e x y e e e e 1 1 1 1 1 1 1 , , , ,       

标准正交基 x∈Cn,在标准正交基en}的线性组合表示中,对应于e的系 数为5;,则 X.x 2 ∑=52∑"5=)=∑5(e,∑m5) ②n5∑m(e,e)=(②15)=(∑ 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲5

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-5 标准正交基 – ，在标准正交基 的线性组合表示中，对应于 的系 数为 ，则 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) , , ( , ) 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1         = = = = = = = = = = = = = n i i n i i i n i i j n j i j n i n j i i j j n j j j n i i i e e x x x e e e e          n xC { }n e i e  i

酉矩阵 对A∈C,若其n个列向量是一个标准正交基,那么这样的矩 阵具有怎样的性质? 八的 SWer A"A=1或A=A,其中A= 具有这样性质的矩阵称为酉矩阵( Why call it酉?) 酉=U maybe Uniform: not changing,因为给定A为西矩阵,则Ax,4y)=(xy) 即:保持任两向量的内积不变,向量的长度不变,两点之间的距离 不变。 复內积空间C"称为酉空间?? 酉矩阵的性质: 若4是酉矩阵,则A也是酉矩阵 证1:A是酉矩阵口→AA=1 →→A(A)=I A)=(A 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲6

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-6 酉矩阵 – 对 ，若其n个列向量是一个标准正交基，那么这样的矩 阵具有怎样的性质？ 或 ，其中 具有这样性质的矩阵称为酉矩阵（Why call it 酉？） • 酉 = U，maybe: Uniform: not changing，因为给定A为酉矩阵，则 即：保持任两向量的内积不变，向量的长度不变，两点之间的距离 不变。 • 复内积空间 称为酉空间??? – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证1：A是酉矩阵 n n A C   A A I H = H A = A −1 H T A = A Ax, Ay = x, y n C −1 A A A I H = H A = A −1 A A H H ( ) = A A I H H = − ( ) 1 A A I H = − − ( ) 1 1 H (A ) (A ) −1 −1 −1 =

酉矩阵 酉矩阵的性质: 若是酉矩阵,则A也是酉矩阵 A1=H→(A (4 )2=(4)x 4y=(4)→(A)yA1=1 A AA=AAA=IA=A AB=(cn)=anb)=Cab)=(∑。ab)=AB 若A,B是酉矩阵,则AB也是酉矩阵 证明: A-I=AH E>(AB)=BA=B"=BA=(AB) (AB) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲7

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-7 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 也是酉矩阵 证2： • 若A, B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵 证明： −1 A T H H T T A A A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − = = = = = H A = A −1 A A I H = −1 −1 ( ) −1 −1 −1 −1 −1 −1 A AA = A AA = I A = A AB c a b a b a b AB n k i k kj n k i k kj n k = i j =  i k kj =  =  = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 H H T T T (AB) B A B A B A (AB) 1 1 1 = = = = − − − H A = A −1 H B = B −1 T = (AB)

酉矩阵 酉矩阵的性质 若是酉矩阵,则detA=1,或 det adet A= det a det=1 证明: 1=det/= det(a"a)=det a"det A=det(a)det A -det a det a=det a det A=det A->det A det(a)=det(a k k det a (-1)/A 11j ∑ 14-1=∑a1(-)14 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲8

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-8 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • 若A是酉矩阵，则 ，或 证明： det A =1 det Adet A= det Adet A =1 2 det det det det det 1 det det( ) det det det( ) det A A A A A I A A A A A A H H T = = = = = = = det A =1 det(A) = det(A) k k j j k j j k j j k j j k j j k j j k j k j j j k A a A a A A a A a A det ( 1) ( 1) det ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = − = − = − = −     = − + = − + = − + = − +

酉矩阵 酉矩阵的性质: A是酉矩阵<→A的n个列向量是两两正交的单位向量 证明: 设矩阵A=(a1a2…an),则 H H AA= n 易见,A是酉矩阵的充分必要条件是 a, d 0.i≠ 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲9

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-9 酉矩阵 – 酉矩阵的性质： • A是酉矩阵 A的n个列向量是两两正交的单位向量 证明： 设矩阵 ，则 易见，A是酉矩阵的充分必要条件是 ( ) A = a1 a2  an               =               = n H n H n H n n H H H n H H H n H n H H H a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A          1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 ( )     = = = i j i j a a a ai H i j j 0, 1,

酉相似下的标准形 方阵4有n个线性无关的特征向量(A的所有特征值的几何重数等 于其代数重数) A~diag(a1,a2,…an 若此条件不满足,退而求其次,方阵4在复数域上总是能相似于 Jordan标准形:分块对角矩阵 A 再退而求其次,不管n阶方阵的特征向量的相关性,也不管其特 征值的代数重数和几何重数,方阵4总可以酉相似于一个上三角 矩阵 AT 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10

信息科学与工程学院 矩阵理论第5讲-10 酉相似下的标准形 – 方阵A有n个线性无关的特征向量（A的所有特征值的几何重数等 于其代数重数） – 若此条件不满足，退而求其次，方阵A在复数域上总是能相似于 Jordan标准形：分块对角矩阵 – 再退而求其次，不管n阶方阵的特征向量的相关性，也不管其特 征值的代数重数和几何重数，方阵A总可以酉相似于一个上三角 矩阵 ~ diag( , , , ) A a1 a2  an             s J J J A  2 1 ~ A ~ T