定义1一个环R的不等于R的理想叫做一个最大理想,假如,除了R同自己外,没有包含2的 理想 例1我们看整环R。由一个素数P所生成的主理想(P)是一个最大理想。 假设乃是一个不等于p)的R的理想,并且33(2) 那么 定包含一个不能被p整除的整数q 由于p是素数,q与p互素,所以可以找到整数s和t使得 但p也属于 而且是理想 所以 1∈3.3=R 引理1假定划是环R的一个理想,剩余类环R/除了零理想同单位理想以外不再有理想,当而且只 当是最大理想的时候。 证明;用9来表示R到=R/群的同态满射 先证充分性。假定界是最大理想,是区的理想,并且≠0。那么在之下的的逆象是R 的理想,显然包含外而且不等于,所以8=R,3=区 这样只有零理想同单位理想 现证明定理的条件也是必要的。假定%不是最大理想:R二界,在之下的8的象见是的 理想。由于大于 5≠0 。B也不会等于2。不然的话,对于R的任意元r,可以找到的元b, 使得 [=[b],r-b∈划c 于是,由于乃是理想,可以得到r∈乃,=R,与假定不合。这样,除了零理想同单位理想以外 还有理想 引理2若有单位元)的交换环2除了零理想同单位理想以外没有其它的理想,那么2一定是一个 证明:a0.(a)=R→1e(a)
定义 1 一个环 的不等于 的理想 叫做一个最大理想，假如，除了 同 自己外，没有包含 的 理想。 例 1 我们看整环 。由一个素数 所生成的主理想 是一个最大理想。 假设 是一个不等于(p)的 R 的理想，并且 ，那么 一定包含一个不能被 p 整除的整数 q。 由于 p 是素数，q 与 p 互素，所以可以找到整数 s 和 t,使得 ，但 p 也属于 ，而且是理想， 所以 引理 1 假定 是环 的一个理想，剩余类环 除了零理想同单位理想以外不再有理想，当而且只 当 是最大理想的时候。 证明：用 来表示 R 到 的同态满射。 先证充分性。假定 是最大理想， 是 的理想，并且 。那么在 之下的 的逆象 是 R 的理想， 显然包含 而且不等于 ，所以 ，这样 只有零理想同单位理想。 现证明定理的条件也是必要的。假定 不是最大理想： 。在 之下的 的象 是 的 理想。由于 大于 ， 。 也不会等于 。不然的话，对于 R 的任意元 r,可以找到 的元 b， 使得 于是，由于 是理想，可以得到 ， ＝R，与假定不合。这样， 除了零理想同单位理想以外 还有理想 。 引理 2 若有单位元 的交换环 除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么 一定是一个 域。 证明：
定理假定R是一个有单位元的交换环,是R的一个理想。R划是一个域,当而且只当双是一个 最大理想的时候。 例2R是整数环,(P)是素数P所生成的主理想。B(P)是一个域
定理 假定 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想。 是一个域，当而且只当 是一个 最大理想的时候。 例 2 是整数环， 是素数 所生成的主理想。 是一个域