例1G是所有整数的集合 =1+1+ 定义1若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群。G=(a) 例2G包含模n的”个剩余类 a'∈[a]b'∈[b]→[a]=[a][b]=[b] →[a]+[Bb门=[a+b] [a]=[a],[b]-[b→a'≡a(n),b≡b(n) →川|a-a,n|b2-b |(a-a)+(b-b) →n|(a2+b)-(a+b) →[a+b]=[a+b] [a]+([b]+[c]=[a]+[b+c]=[a+(b+c)]=[a+b+c] a]+[b+[c]=[a+b]+[c]=[(a+b)+c]=[a+b+c] [a]+(b]+c]=a]+劻+[c] [0]+[a]=[0+a]=[a] [-a]+[a]=[-a+a]=[0] 所以对于这个加法来说,G作成一个群,这个群叫做模的剩余类加群
例 1 G 是所有整数的集合。 定义 1 若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 的乘方，我们就把 G 叫做循环群。G 例 2 G 包含模 的 个剩余类。 所以对于这个加法来说，G 作成一个群，这个群叫做模 的剩余类加群
[0][1] [n-2][x-1] [][2] [x-1]x-1][0 [n-3][n-2] 定理1假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构造完全可以由a的阶来决定 a的阶若是无限,那么G与整数加群同构 a的阶若是一个有限整数n2,那么G与模的剩余类同构 证明:第一个情形:a的阶无限。这时, 当而且只当h=k 的时候。 是G与整数加群G间的一一映射,但a2a=ah+k,所以GG 第二种情形:a的阶是n,a-日。这时, 当而且只当 的时候。 如21h一k,那么一k,=k+2 a"=a=aa*f=a(a)=aef=a 假如a2=a,设h一k=+”,0≤r≤n-1,那 eaob-k=a-aa=ea'=a' 由阶的定义,厂=0,也就是说,21一k,这样,a[灯]是G与剩余类加群问的一映射 [h+k]=[]+[] 所以GG
定理 1 假定 G 是一个由元 所生成的循环群。那么 G 的构造完全可以由 的阶来决定： 的阶若是无限，那么 G 与整数加群同构； 的阶若是一个有限整数 ，那么 G 与模 的剩余类同构。 证明：第一个情形： 的阶无限。这时， ，当而且只当 的时候。 ： ——> 是 G 与整数加群 间的一一映射。但 ——> ，所以 第二种情形： 的阶是 ， 。这时， ，当而且只当 的时候。 假如 ，那么 ， ， 假如 ，设 ， ，那么 由阶的定义， ，也就是说， 。这样， ——> 是 G 与剩余类加群 间的一一映射。 但 ——> 所以
